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4. 已知分式方程$\frac{3}{1+x} - \frac{x}{1+x} = □$有解，其中$□$表示一个数。
(1)若$□$表示的数是7，求分式方程的解。
(2)小瑞说：“$□$表示的数不是－1就是0。”请你根据小瑞的说法确定$□$表示的数。
(1)若$□$表示的数是7，求分式方程的解。
(2)小瑞说：“$□$表示的数不是－1就是0。”请你根据小瑞的说法确定$□$表示的数。
答案
4. 解：(1)根据题意，得$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=7$.
去分母，得$3-x=7+7x$.
解得$x=-\frac{1}{2}$.
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解.
$\therefore$ 分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.
(2)若表示的数是－1，
则有$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=-1$.
去分母，得$3-x=-1-x$.
方程无解.
若表示的数是0，
则有$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=0$.
去分母，得$3-x=0$.
解得$x=3$.
经检验，$x=3$是原分式方程的解.
$\therefore$ 表示的数是0.
去分母，得$3-x=7+7x$.
解得$x=-\frac{1}{2}$.
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解.
$\therefore$ 分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.
(2)若表示的数是－1，
则有$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=-1$.
去分母，得$3-x=-1-x$.
方程无解.
若表示的数是0，
则有$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=0$.
去分母，得$3-x=0$.
解得$x=3$.
经检验，$x=3$是原分式方程的解.
$\therefore$ 表示的数是0.
解析
【分析】
(1)第一问已知方框内的数为7，可得到确定的分式方程，解题思路为：先将分式方程去分母转化为整式方程求解，再对求出的解进行检验，判断是否为原分式方程的解，避免出现增根。
(2)第二问需对小瑞给出的两个数分类讨论：分别将-1和0代入方框位置，得到两个分式方程依次求解，结合题目中“分式方程有解”的条件，排除使方程无解的数值，最终确定方框表示的数。
【解析】
(1)根据题意，得$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=7$
方程两边同乘最简公分母$1+x$，去分母得：$3-x=7+7x$
移项、合并同类项得：$-8x=4$
解得$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$1+x=\frac{1}{2}≠0$，因此$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
(2)分别将小瑞所说的两个数代入方框验证：
①若方框表示的数是$-1$，则方程为$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=-1$
两边同乘$1+x$去分母得：$3-x=-1-x$
整理得$3=-1$，等式不成立，该方程无解，不符合题意；
②若方框表示的数是$0$，则方程为$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=0$
两边同乘$1+x$去分母得：$3-x=0$
解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$1+x=4≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解，符合题意。
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{2}$；(2)$0$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，分类讨论思想
【点评】
本题围绕分式方程的相关知识设置问题，第一问为基础的分式方程求解，第二问通过分类讨论判断符合条件的参数值，解题过程中需牢记分式方程必须验根，避免因忽略增根导致判断错误，侧重考查基础运算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
(1)第一问已知方框内的数为7，可得到确定的分式方程，解题思路为：先将分式方程去分母转化为整式方程求解，再对求出的解进行检验，判断是否为原分式方程的解，避免出现增根。
(2)第二问需对小瑞给出的两个数分类讨论：分别将-1和0代入方框位置，得到两个分式方程依次求解，结合题目中“分式方程有解”的条件，排除使方程无解的数值，最终确定方框表示的数。
【解析】
(1)根据题意，得$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=7$
方程两边同乘最简公分母$1+x$，去分母得：$3-x=7+7x$
移项、合并同类项得：$-8x=4$
解得$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$1+x=\frac{1}{2}≠0$，因此$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
(2)分别将小瑞所说的两个数代入方框验证：
①若方框表示的数是$-1$，则方程为$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=-1$
两边同乘$1+x$去分母得：$3-x=-1-x$
整理得$3=-1$，等式不成立，该方程无解，不符合题意；
②若方框表示的数是$0$，则方程为$\frac{3}{1+x}-\frac{x}{1+x}=0$
两边同乘$1+x$去分母得：$3-x=0$
解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$1+x=4≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解，符合题意。
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{2}$；(2)$0$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，分类讨论思想
【点评】
本题围绕分式方程的相关知识设置问题，第一问为基础的分式方程求解，第二问通过分类讨论判断符合条件的参数值，解题过程中需牢记分式方程必须验根，避免因忽略增根导致判断错误，侧重考查基础运算能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
5. 先阅读材料，再回答问题.
方程$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}$的解为$x=1$，方程$\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}$的解为$x=2$，方程$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-5}$的解为$x=3$……
(1)请观察以上方程与解的特征，写出能反映以上方程一般规律的方程，并写出这个方程的解.
(2)根据(1)中所得的结论，直接写出符合这个规律的解为$x=-5$的分式方程.
方程$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}$的解为$x=1$，方程$\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}$的解为$x=2$，方程$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-5}$的解为$x=3$……
(1)请观察以上方程与解的特征，写出能反映以上方程一般规律的方程，并写出这个方程的解.
(2)根据(1)中所得的结论，直接写出符合这个规律的解为$x=-5$的分式方程.
答案
(1)$\frac{1}{x-(n-2)}-\frac{1}{x-(n-1)}=\frac{1}{x-(n+1)}-\frac{1}{x-(n+2)}$，方程的解为$x=n$（n是整数）.
(2)$\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+6}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+3}$
(2)$\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+6}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+3}$
解析
【分析】
解题时先从已知的3组方程和解入手，先观察每个方程的结构特征：所有方程左右两边均为两个分式相减，且四个分母都是x减去某个常数的形式；再对比分母的常数项与方程解的关系，会发现每个方程的四个分母常数项是连续整数，中间恰好缺失的数就是方程的解。以此归纳出一般规律后，再将解x=-5代入一般规律，就能反推出对应的分式方程。
【解析】
(1) 先整理已知方程的对应关系：
解为$x=1$的方程，分母常数项为-1、0、2、3，缺失的整数为1（即方程的解）；
解为$x=2$的方程，分母常数项为0、1、3、4，缺失的整数为2（即方程的解）；
解为$x=3$的方程，分母常数项为1、2、4、5，缺失的整数为3（即方程的解）。
设方程的解为$x=n$（n为整数），则四个分母的常数项应为连续整数且缺n，即依次为$n-2$、$n-1$、$n+1$、$n+2$，因此一般规律的方程为：
$\frac{1}{x-(n-2)}-\frac{1}{x-(n-1)}=\frac{1}{x-(n+1)}-\frac{1}{x-(n+2)}$，解为$x=n$。
(2) 若解为$x=-5$，即$n=-5$，代入上述一般式：
$n-2=-7$，$n-1=-6$，$n+1=-4$，$n+2=-3$，代入后化简得：
$\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+6}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{x-(n-2)}-\frac{1}{x-(n-1)}=\frac{1}{x-(n+1)}-\frac{1}{x-(n+2)}$，方程的解为$x=n$（n是整数）。
(2)$\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+6}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+3}$
【知识点】
1. 规律探究 2. 分式方程的概念
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，核心是从特殊案例中归纳共性，再利用规律进行反向推导，能有效提升归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的3组方程和解入手，先观察每个方程的结构特征：所有方程左右两边均为两个分式相减，且四个分母都是x减去某个常数的形式；再对比分母的常数项与方程解的关系，会发现每个方程的四个分母常数项是连续整数，中间恰好缺失的数就是方程的解。以此归纳出一般规律后，再将解x=-5代入一般规律，就能反推出对应的分式方程。
【解析】
(1) 先整理已知方程的对应关系：
解为$x=1$的方程，分母常数项为-1、0、2、3，缺失的整数为1（即方程的解）；
解为$x=2$的方程，分母常数项为0、1、3、4，缺失的整数为2（即方程的解）；
解为$x=3$的方程，分母常数项为1、2、4、5，缺失的整数为3（即方程的解）。
设方程的解为$x=n$（n为整数），则四个分母的常数项应为连续整数且缺n，即依次为$n-2$、$n-1$、$n+1$、$n+2$，因此一般规律的方程为：
$\frac{1}{x-(n-2)}-\frac{1}{x-(n-1)}=\frac{1}{x-(n+1)}-\frac{1}{x-(n+2)}$，解为$x=n$。
(2) 若解为$x=-5$，即$n=-5$，代入上述一般式：
$n-2=-7$，$n-1=-6$，$n+1=-4$，$n+2=-3$，代入后化简得：
$\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+6}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{x-(n-2)}-\frac{1}{x-(n-1)}=\frac{1}{x-(n+1)}-\frac{1}{x-(n+2)}$，方程的解为$x=n$（n是整数）。
(2)$\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+6}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+3}$
【知识点】
1. 规律探究 2. 分式方程的概念
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，核心是从特殊案例中归纳共性，再利用规律进行反向推导，能有效提升归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
