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4. 先化简代数式$(1-\dfrac{3}{a+2})÷\dfrac{a^2-2a+1}{a^2-4}$，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值。
答案
解：原式=$\dfrac{a-2}{a-1}$. 当$a=0$时，原式=2.
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：①先计算括号内的分式减法，通过通分将1转化为与$\dfrac{3}{a+2}$同分母的分式，计算得到括号内的结果；②将分式除法转化为乘法运算；③对分子、分母中的多项式进行因式分解，约分后得到最简分式；④根据分式有意义的条件（分母不为0），排除不能取的a值，从给定的三个数中选择合适的a代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简代数式：
第一步，计算括号内的减法：
$1-\dfrac{3}{a+2}=\dfrac{a+2}{a+2}-\dfrac{3}{a+2}=\dfrac{a+2-3}{a+2}=\dfrac{a-1}{a+2}$
第二步，将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a-1}{a+2} ÷ \dfrac{a^2-2a+1}{a^2-4}=\dfrac{a-1}{a+2} × \dfrac{a^2-4}{a^2-2a+1}$
第三步，因式分解后约分：
其中$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，代入得：
$\dfrac{a-1}{a+2} × \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} = \dfrac{a-2}{a-1}$
第四步，确定a的可取数值：
要使原式有意义，则所有分母不为0：
$a+2≠0$，$a^2-4≠0$，$a^2-2a+1≠0$
解得$a≠ -2$且$a≠ 2$且$a≠1$，因此给定的三个数中只能选$a=0$。
第五步，代入求值：
当$a=0$时，原式$=\dfrac{0-2}{0-1}=\dfrac{-2}{-1}=2$
【答案】
化简结果为$\dfrac{a-2}{a-1}$，当$a=0$时，原式的值为2。
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，难点在于选择代入的a值时，需要保证原分式所有的分母和除数都不为0，不能只看化简后的最简式的取值范围，这是此类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：①先计算括号内的分式减法，通过通分将1转化为与$\dfrac{3}{a+2}$同分母的分式，计算得到括号内的结果；②将分式除法转化为乘法运算；③对分子、分母中的多项式进行因式分解，约分后得到最简分式；④根据分式有意义的条件（分母不为0），排除不能取的a值，从给定的三个数中选择合适的a代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简代数式：
第一步，计算括号内的减法：
$1-\dfrac{3}{a+2}=\dfrac{a+2}{a+2}-\dfrac{3}{a+2}=\dfrac{a+2-3}{a+2}=\dfrac{a-1}{a+2}$
第二步，将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a-1}{a+2} ÷ \dfrac{a^2-2a+1}{a^2-4}=\dfrac{a-1}{a+2} × \dfrac{a^2-4}{a^2-2a+1}$
第三步，因式分解后约分：
其中$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，代入得：
$\dfrac{a-1}{a+2} × \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} = \dfrac{a-2}{a-1}$
第四步，确定a的可取数值：
要使原式有意义，则所有分母不为0：
$a+2≠0$，$a^2-4≠0$，$a^2-2a+1≠0$
解得$a≠ -2$且$a≠ 2$且$a≠1$，因此给定的三个数中只能选$a=0$。
第五步，代入求值：
当$a=0$时，原式$=\dfrac{0-2}{0-1}=\dfrac{-2}{-1}=2$
【答案】
化简结果为$\dfrac{a-2}{a-1}$，当$a=0$时，原式的值为2。
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，难点在于选择代入的a值时，需要保证原分式所有的分母和除数都不为0，不能只看化简后的最简式的取值范围，这是此类题目的常见易错点。
【难度系数】
0.7
5. 已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -3$，求$\frac{5x + xy - 5y}{x - xy - y}$的值。
答案
解：$\because \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=-3$,
$\therefore \dfrac{y-x}{xy}=-3$.
整理，得 $x-y=3xy$.
$\therefore \dfrac{5x+xy-5y}{x-xy-y}$
$=\dfrac{5(x-y)+xy}{(x-y)-xy}$
$=\dfrac{5× 3xy+xy}{3xy-xy}$
$=\dfrac{16xy}{2xy}$
$=8$.
$\therefore \dfrac{y-x}{xy}=-3$.
整理，得 $x-y=3xy$.
$\therefore \dfrac{5x+xy-5y}{x-xy-y}$
$=\dfrac{5(x-y)+xy}{(x-y)-xy}$
$=\dfrac{5× 3xy+xy}{3xy-xy}$
$=\dfrac{16xy}{2xy}$
$=8$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件和待求代数式的结构特征：已知是关于x、y的倒数的差，待求式的分子、分母均为x、y的一次项与xy的组合，因此不需要单独求出x、y的具体值。第一步先对已知的分式等式通分变形，推导得到x-y与xy的等量关系；第二步将待求代数式的分子、分母整理为含(x-y)和xy的形式；最后将x-y与xy的关系整体代入，约分后即可求出结果。
【解析】
已知$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = -3$，对左边通分可得：
$\dfrac{y - x}{xy} = -3$
等式两边同乘$xy$，整理得：$x - y = 3xy$
将待求式$\dfrac{5x + xy - 5y}{x - xy - y}$变形，把含x、y的项组合：
$\dfrac{5(x - y) + xy}{(x - y) - xy}$
把$x - y = 3xy$整体代入上式：
$=\dfrac{5× 3xy + xy}{3xy - xy}$
$=\dfrac{15xy + xy}{2xy}$
$=\dfrac{16xy}{2xy}$
约分化简得结果为8。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
分式的加减运算、整体代入求值、分式约分
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是从已知条件中提炼出两个代数式的等量关系，避免单独求解未知数带来的复杂计算，掌握这类变形技巧可以大幅提高分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件和待求代数式的结构特征：已知是关于x、y的倒数的差，待求式的分子、分母均为x、y的一次项与xy的组合，因此不需要单独求出x、y的具体值。第一步先对已知的分式等式通分变形，推导得到x-y与xy的等量关系；第二步将待求代数式的分子、分母整理为含(x-y)和xy的形式；最后将x-y与xy的关系整体代入，约分后即可求出结果。
【解析】
已知$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = -3$，对左边通分可得：
$\dfrac{y - x}{xy} = -3$
等式两边同乘$xy$，整理得：$x - y = 3xy$
将待求式$\dfrac{5x + xy - 5y}{x - xy - y}$变形，把含x、y的项组合：
$\dfrac{5(x - y) + xy}{(x - y) - xy}$
把$x - y = 3xy$整体代入上式：
$=\dfrac{5× 3xy + xy}{3xy - xy}$
$=\dfrac{15xy + xy}{2xy}$
$=\dfrac{16xy}{2xy}$
约分化简得结果为8。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
分式的加减运算、整体代入求值、分式约分
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是从已知条件中提炼出两个代数式的等量关系，避免单独求解未知数带来的复杂计算，掌握这类变形技巧可以大幅提高分式求值类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 先阅读材料，再回答问题.
比较代数式的大小常用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，可以用$M-N$.若$M-N＞0$，则$M＞N$；若$M-N=0$，则$M=N$；若$M-N＜0$，则$M＜N$.
(1)若$n＞0$，试判断：$\frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n+1}$
(2)嘉嘉和琪琪两次购物均购买了同一种商品，嘉嘉两次都购买了$m$ kg该商品，琪琪两次购买该商品均花了$n$元.已知第一次购买该商品的价格为$a$元/千克，第二次购买该商品的价格为$b$元/千克.请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次购买该商品平均每千克价格的高低.（$a$，$b$是正整数，且$a≠b$）
比较代数式的大小常用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，可以用$M-N$.若$M-N＞0$，则$M＞N$；若$M-N=0$，则$M=N$；若$M-N＜0$，则$M＜N$.
(1)若$n＞0$，试判断：$\frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n+1}$
＞
0.（填“＞”“＜”或“=”）(2)嘉嘉和琪琪两次购物均购买了同一种商品，嘉嘉两次都购买了$m$ kg该商品，琪琪两次购买该商品均花了$n$元.已知第一次购买该商品的价格为$a$元/千克，第二次购买该商品的价格为$b$元/千克.请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次购买该商品平均每千克价格的高低.（$a$，$b$是正整数，且$a≠b$）
答案
(1) ＞
(2) 嘉嘉两次购买该商品平均每千克的价格为$\dfrac{ma+mb}{2m}=\dfrac{a+b}{2}$(元)，琪琪两次购买该商品平均每千克的价格为$\dfrac{2n}{\dfrac{n}{a}+\dfrac{n}{b}}=\dfrac{2ab}{a+b}$(元)，
$\therefore \dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2ab}{a+b}=\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}$.
$\because a，b$是正整数，且$a≠ b$，
$\therefore 易得\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,
即$\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2ab}{a+b}＞0$.
$\therefore \dfrac{a+b}{2}＞\dfrac{2ab}{a+b}$.
$\therefore$嘉嘉两次购买该商品平均每千克的价格比琪琪两次购买该商品平均每千克的价格高.
(2) 嘉嘉两次购买该商品平均每千克的价格为$\dfrac{ma+mb}{2m}=\dfrac{a+b}{2}$(元)，琪琪两次购买该商品平均每千克的价格为$\dfrac{2n}{\dfrac{n}{a}+\dfrac{n}{b}}=\dfrac{2ab}{a+b}$(元)，
$\therefore \dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2ab}{a+b}=\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}$.
$\because a，b$是正整数，且$a≠ b$，
$\therefore 易得\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,
即$\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2ab}{a+b}＞0$.
$\therefore \dfrac{a+b}{2}＞\dfrac{2ab}{a+b}$.
$\therefore$嘉嘉两次购买该商品平均每千克的价格比琪琪两次购买该商品平均每千克的价格高.
解析
【分析】
(1) 要判断两个分式的差和0的大小关系，先对分式通分计算出差的最简形式，再结合$n＞0$的条件判断差的正负即可。
(2) 首先根据“平均价格=总花费÷总购买质量”分别计算嘉嘉和琪琪两次购物的平均价格，再按照题目给出的作差法，计算两个平均价格的差，将差通分化简后，结合$a、b$是正整数且$a≠b$的条件判断差的正负，即可得出两者平均价格的高低关系。
【解析】
(1) 对原式通分计算：
$\dfrac{n+1}{n} - \dfrac{n+2}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{n(n+1)}$
展开分子：$(n^2+2n+1) - (n^2+2n) = 1$
因此原式$=\dfrac{1}{n(n+1)}$
∵$n＞0$，
∴$n(n+1)＞0$，
∴$\dfrac{1}{n(n+1)}＞0$。
(2) 第一步：计算两人的平均价格
嘉嘉两次购物总花费为$ma+mb$元，总购买质量为$2m$kg，因此平均价格为：
$\dfrac{ma+mb}{2m} = \dfrac{a+b}{2}$（元/千克）
琪琪两次购物总花费为$2n$元，总购买质量为$\dfrac{n}{a}+\dfrac{n}{b}$kg，因此平均价格为：
$\dfrac{2n}{\dfrac{n}{a}+\dfrac{n}{b}} = \dfrac{2n}{n(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})} = \dfrac{2}{\dfrac{a+b}{ab}} = \dfrac{2ab}{a+b}$（元/千克）
第二步：作差比较大小
计算两个平均价格的差：
$\dfrac{a+b}{2} - \dfrac{2ab}{a+b} = \dfrac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} = \dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2(a+b)} = \dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
∵$a、b$是正整数，且$a≠b$，
∴$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，因此$\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，
即$\dfrac{a+b}{2} ＞ \dfrac{2ab}{a+b}$。
【答案】
(1) $\boxed{＞}$
(2) 嘉嘉两次购买该商品平均每千克的价格比琪琪的高。
【知识点】
作差法比较大小，分式的运算，完全平方公式
【点评】
本题属于材料阅读应用题，核心考查对作差法的灵活运用，同时结合了分式化简、平均量计算的基础知识点，解题的关键是正确计算两人的平均单价，再通过作差变形判断差的正负即可，是代数应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断两个分式的差和0的大小关系，先对分式通分计算出差的最简形式，再结合$n＞0$的条件判断差的正负即可。
(2) 首先根据“平均价格=总花费÷总购买质量”分别计算嘉嘉和琪琪两次购物的平均价格，再按照题目给出的作差法，计算两个平均价格的差，将差通分化简后，结合$a、b$是正整数且$a≠b$的条件判断差的正负，即可得出两者平均价格的高低关系。
【解析】
(1) 对原式通分计算：
$\dfrac{n+1}{n} - \dfrac{n+2}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{n(n+1)}$
展开分子：$(n^2+2n+1) - (n^2+2n) = 1$
因此原式$=\dfrac{1}{n(n+1)}$
∵$n＞0$，
∴$n(n+1)＞0$，
∴$\dfrac{1}{n(n+1)}＞0$。
(2) 第一步：计算两人的平均价格
嘉嘉两次购物总花费为$ma+mb$元，总购买质量为$2m$kg，因此平均价格为：
$\dfrac{ma+mb}{2m} = \dfrac{a+b}{2}$（元/千克）
琪琪两次购物总花费为$2n$元，总购买质量为$\dfrac{n}{a}+\dfrac{n}{b}$kg，因此平均价格为：
$\dfrac{2n}{\dfrac{n}{a}+\dfrac{n}{b}} = \dfrac{2n}{n(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})} = \dfrac{2}{\dfrac{a+b}{ab}} = \dfrac{2ab}{a+b}$（元/千克）
第二步：作差比较大小
计算两个平均价格的差：
$\dfrac{a+b}{2} - \dfrac{2ab}{a+b} = \dfrac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} = \dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2(a+b)} = \dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
∵$a、b$是正整数，且$a≠b$，
∴$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，因此$\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，
即$\dfrac{a+b}{2} ＞ \dfrac{2ab}{a+b}$。
【答案】
(1) $\boxed{＞}$
(2) 嘉嘉两次购买该商品平均每千克的价格比琪琪的高。
【知识点】
作差法比较大小，分式的运算，完全平方公式
【点评】
本题属于材料阅读应用题，核心考查对作差法的灵活运用，同时结合了分式化简、平均量计算的基础知识点，解题的关键是正确计算两人的平均单价，再通过作差变形判断差的正负即可，是代数应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
