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(1)计算$(1+\dfrac{1}{x})÷\dfrac{x^2+2x+1}{x}$的结果是（
A.$x+1$
B.$\dfrac{1}{x+1}$
C.$\dfrac{x}{x+1}$
D.$\dfrac{x+1}{x}$
B
）A.$x+1$
B.$\dfrac{1}{x+1}$
C.$\dfrac{x}{x+1}$
D.$\dfrac{x+1}{x}$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道分式混合运算题，解题遵循分式运算的常规顺序：第一步先计算括号内的分式加法，通分后合并；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对分子分母中的多项式因式分解，最后约去分子分母的公因式，化简得到结果即可。
【解析】
解：
1. 计算括号内的加法：
$1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}$
2. 将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{x+1}{x}÷\dfrac{x^2+2x+1}{x}=\dfrac{x+1}{x}×\dfrac{x}{x^2+2x+1}$
3. 因式分解：
由完全平方公式得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，代入得：
原式$=\dfrac{x+1}{x}×\dfrac{x}{(x+1)^2}$
4. 约分化简：
约去分子分母的公因式$x$和$x+1$，得原式$=\dfrac{1}{x+1}$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算，完全平方公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察分式运算的规则和约分技巧，解题时严格遵循运算顺序，将除法转为乘法后再因式分解约分，能有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.8
这是一道分式混合运算题，解题遵循分式运算的常规顺序：第一步先计算括号内的分式加法，通分后合并；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对分子分母中的多项式因式分解，最后约去分子分母的公因式，化简得到结果即可。
【解析】
解：
1. 计算括号内的加法：
$1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}$
2. 将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{x+1}{x}÷\dfrac{x^2+2x+1}{x}=\dfrac{x+1}{x}×\dfrac{x}{x^2+2x+1}$
3. 因式分解：
由完全平方公式得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，代入得：
原式$=\dfrac{x+1}{x}×\dfrac{x}{(x+1)^2}$
4. 约分化简：
约去分子分母的公因式$x$和$x+1$，得原式$=\dfrac{1}{x+1}$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算，完全平方公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察分式运算的规则和约分技巧，解题时严格遵循运算顺序，将除法转为乘法后再因式分解约分，能有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.8
(2)若$x$和$y$互为倒数，则$(x+\dfrac{1}{y})·(2y-\dfrac{1}{x})$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. B
解析
【分析】
解题首先从已知条件入手，x与y互为倒数，根据倒数的定义可直接得到xy=1，这是解题的核心条件。接下来处理代数式有两种简便思路：一是利用倒数的性质，将$\frac{1}{y}$替换为x、$\frac{1}{x}$替换为y，直接简化代数式后计算；二是先利用多项式乘多项式的法则将原式展开，再把xy=1整体代入计算，两种方法都能快速求出结果。
【解析】
解：
∵x和y互为倒数，
∴$xy=1$，且$\frac{1}{y}=x$，$\frac{1}{x}=y$，
将$\frac{1}{y}=x$、$\frac{1}{x}=y$代入原式得：
$\begin{aligned}&(x+x)·(2y - y)\\=&2x·y\\=&2xy\end{aligned}$
把$xy=1$代入上式，得$2×1=2$。
【答案】
B
【知识点】
倒数的性质，代数式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握倒数的性质，灵活运用代换或整体代入的方法简化代数式计算，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题首先从已知条件入手，x与y互为倒数，根据倒数的定义可直接得到xy=1，这是解题的核心条件。接下来处理代数式有两种简便思路：一是利用倒数的性质，将$\frac{1}{y}$替换为x、$\frac{1}{x}$替换为y，直接简化代数式后计算；二是先利用多项式乘多项式的法则将原式展开，再把xy=1整体代入计算，两种方法都能快速求出结果。
【解析】
解：
∵x和y互为倒数，
∴$xy=1$，且$\frac{1}{y}=x$，$\frac{1}{x}=y$，
将$\frac{1}{y}=x$、$\frac{1}{x}=y$代入原式得：
$\begin{aligned}&(x+x)·(2y - y)\\=&2x·y\\=&2xy\end{aligned}$
把$xy=1$代入上式，得$2×1=2$。
【答案】
B
【知识点】
倒数的性质，代数式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握倒数的性质，灵活运用代换或整体代入的方法简化代数式计算，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.8
(3)若$(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}) ÷ \dfrac{2}{○}$的运算结果为整式，
则○代表的式子可能为 （
A.$a - b$
B.$a + b$
C.$ab$
D.$a^2 - b^2$
则○代表的式子可能为 （
C
）A.$a - b$
B.$a + b$
C.$ab$
D.$a^2 - b^2$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们先对已知的分式运算进行化简，再结合“运算结果为整式”的条件判断○的取值要求。首先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，化简后观察分母的因式：要让最终结果为整式，○需要包含分母的所有因式，才能把分母完全约掉。也可以直接将选项逐一代入验证，判断运算结果是否为整式。
【解析】
第一步：先计算括号内的分式减法：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b - a}{ab}$
第二步：将除法转化为乘法，化简原式：
$(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})÷\dfrac{2}{○}=\dfrac{b - a}{ab}×\dfrac{○}{2}=\dfrac{○· (b - a)}{2ab}$
若运算结果为整式，则分母$2ab$能被分子完全约去，即○需要含有因式$ab$，我们逐一验证选项：
代入A选项$a-b$：原式$=\dfrac{(a-b)(b-a)}{2ab}=-\dfrac{(a-b)^2}{2ab}$，结果为分式，不符合要求；
代入B选项$a+b$：原式$=\dfrac{(a+b)(b-a)}{2ab}=\dfrac{b^2 - a^2}{2ab}$，结果为分式，不符合要求；
代入C选项$ab$：原式$=\dfrac{ab· (b - a)}{2ab}=\dfrac{b - a}{2}$，结果为整式，符合要求；
代入D选项$a^2 - b^2$：原式$=\dfrac{(a^2 - b^2)(b - a)}{2ab}=-\dfrac{(a - b)^2(a + b)}{2ab}$，结果为分式，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的混合运算，整式的定义
【点评】
本题考查分式运算和整式概念的结合应用，既可以通过先化简原式推导未知项的特征，也可以通过代入选项逐一验证得到结果，解题核心是掌握分式乘除的运算法则。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们先对已知的分式运算进行化简，再结合“运算结果为整式”的条件判断○的取值要求。首先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，化简后观察分母的因式：要让最终结果为整式，○需要包含分母的所有因式，才能把分母完全约掉。也可以直接将选项逐一代入验证，判断运算结果是否为整式。
【解析】
第一步：先计算括号内的分式减法：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b - a}{ab}$
第二步：将除法转化为乘法，化简原式：
$(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})÷\dfrac{2}{○}=\dfrac{b - a}{ab}×\dfrac{○}{2}=\dfrac{○· (b - a)}{2ab}$
若运算结果为整式，则分母$2ab$能被分子完全约去，即○需要含有因式$ab$，我们逐一验证选项：
代入A选项$a-b$：原式$=\dfrac{(a-b)(b-a)}{2ab}=-\dfrac{(a-b)^2}{2ab}$，结果为分式，不符合要求；
代入B选项$a+b$：原式$=\dfrac{(a+b)(b-a)}{2ab}=\dfrac{b^2 - a^2}{2ab}$，结果为分式，不符合要求；
代入C选项$ab$：原式$=\dfrac{ab· (b - a)}{2ab}=\dfrac{b - a}{2}$，结果为整式，符合要求；
代入D选项$a^2 - b^2$：原式$=\dfrac{(a^2 - b^2)(b - a)}{2ab}=-\dfrac{(a - b)^2(a + b)}{2ab}$，结果为分式，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的混合运算，整式的定义
【点评】
本题考查分式运算和整式概念的结合应用，既可以通过先化简原式推导未知项的特征，也可以通过代入选项逐一验证得到结果，解题核心是掌握分式乘除的运算法则。
【难度系数】
0.7
(4)如图是嘉琪进行分式计算的过程.
下列判断中，不正确的是 (
第1(4)题
A.第二步运用了分式的基本性质
B.从第三步开始出现错误
C.原式的计算结果为$\frac{1}{x-1}$
D.当$x=1$时，原式的值为0
下列判断中，不正确的是 (
D
)第1(4)题
A.第二步运用了分式的基本性质
B.从第三步开始出现错误
C.原式的计算结果为$\frac{1}{x-1}$
D.当$x=1$时，原式的值为0
答案
4. D
解析
【分析】
解题时需结合分式运算的相关规则逐一判断选项：首先明确分式基本性质、分式加减运算法则、分式有意义的条件三个核心要点，先核对嘉琪的计算步骤判断A、B选项是否正确，再重新计算原式验证C选项，最后根据分式有意义的要求判断D选项，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐个判断选项：
1. 判断A选项：第二步将$\frac{1}{x+1}$变形为$\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，是给分式分子、分母同时乘不为0的整式$x-1$，符合分式的基本性质，A描述正确，不符合题意。
2. 判断B选项：同分母分式加减的规则是分母不变、分子相加减，第三步错误去掉了分母，因此从第三步开始出错，B描述正确，不符合题意。
3. 判断C选项：正确计算原式如下：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x^2-1}-\frac{1}{x+1}&=\frac{2x}{(x+1)(x-1)}-\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2x-(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{1}{x-1}\end{aligned}$
因此原式结果为$\frac{1}{x-1}$，C描述正确，不符合题意。
4. 判断D选项：当$x=1$时，原式分母$x^2-1=0$，分式无意义，不存在取值，因此“原式的值为0”的描述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，分式的基本性质，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式运算的常见易错点，运算时要注意不能随意省略分母，代入求值前必须先验证分式是否有意义。
【难度系数】
0.7
解题时需结合分式运算的相关规则逐一判断选项：首先明确分式基本性质、分式加减运算法则、分式有意义的条件三个核心要点，先核对嘉琪的计算步骤判断A、B选项是否正确，再重新计算原式验证C选项，最后根据分式有意义的要求判断D选项，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐个判断选项：
1. 判断A选项：第二步将$\frac{1}{x+1}$变形为$\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，是给分式分子、分母同时乘不为0的整式$x-1$，符合分式的基本性质，A描述正确，不符合题意。
2. 判断B选项：同分母分式加减的规则是分母不变、分子相加减，第三步错误去掉了分母，因此从第三步开始出错，B描述正确，不符合题意。
3. 判断C选项：正确计算原式如下：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x^2-1}-\frac{1}{x+1}&=\frac{2x}{(x+1)(x-1)}-\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2x-(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{1}{x-1}\end{aligned}$
因此原式结果为$\frac{1}{x-1}$，C描述正确，不符合题意。
4. 判断D选项：当$x=1$时，原式分母$x^2-1=0$，分式无意义，不存在取值，因此“原式的值为0”的描述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，分式的基本性质，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式运算的常见易错点，运算时要注意不能随意省略分母，代入求值前必须先验证分式是否有意义。
【难度系数】
0.7
(5)如图，若$x$为正整数，则表示$\frac{(x+2)^2}{x^2+4x+4} - \frac{1}{x+1}$的值的点落在 （
第1(5)题
A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
B
）第1(5)题
A.段①
B.段②
C.段③
D.段④
答案
5. B
解析
【分析】
解题首先要先对原式进行化简，第一步先观察第一个分式的分母，是完全平方式，可因式分解后和分子约分，再进行分式的减法运算，得到化简后的最简式；再结合x是正整数的条件，求出最简式的取值范围，最后对比数轴上的四个区间，判断落点即可。
【解析】
先化简原式：
1. 对分母因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，因此第一个分式可约分为$\frac{(x+2)^2}{(x+2)^2}=1$（x是正整数，满足$x≠-2$，约分成立）。
2. 原式化简为：$1 - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1}$。
3. 确定取值范围：x是正整数，即$x≥1$且x为整数。
当$x=1$时，$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}=0.5$；
当x增大时，$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，$\frac{1}{x+1}$逐渐减小，因此$\frac{x}{x+1}$逐渐趋近于1，始终小于1。
因此原式的取值范围是$0.5≤ \frac{x}{x+1}＜1$。
4. 对比数轴区间：段②的范围是0.4~1，原式的值落在这个区间内。
【答案】
B
【知识点】
分式化简，完全平方公式，代数式取值范围
【点评】
本题考查分式的化简与取值判断，解题的核心是先正确约分再做分式减法，结合正整数的条件确定取值范围即可快速得出结果，解题时要注意先化简再计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题首先要先对原式进行化简，第一步先观察第一个分式的分母，是完全平方式，可因式分解后和分子约分，再进行分式的减法运算，得到化简后的最简式；再结合x是正整数的条件，求出最简式的取值范围，最后对比数轴上的四个区间，判断落点即可。
【解析】
先化简原式：
1. 对分母因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，因此第一个分式可约分为$\frac{(x+2)^2}{(x+2)^2}=1$（x是正整数，满足$x≠-2$，约分成立）。
2. 原式化简为：$1 - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1}$。
3. 确定取值范围：x是正整数，即$x≥1$且x为整数。
当$x=1$时，$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}=0.5$；
当x增大时，$\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，$\frac{1}{x+1}$逐渐减小，因此$\frac{x}{x+1}$逐渐趋近于1，始终小于1。
因此原式的取值范围是$0.5≤ \frac{x}{x+1}＜1$。
4. 对比数轴区间：段②的范围是0.4~1，原式的值落在这个区间内。
【答案】
B
【知识点】
分式化简，完全平方公式，代数式取值范围
【点评】
本题考查分式的化简与取值判断，解题的核心是先正确约分再做分式减法，结合正整数的条件确定取值范围即可快速得出结果，解题时要注意先化简再计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
(1)$\frac{2}{m-2} + \frac{m}{2 - m} =$
-1
.答案
1. -1
解析
【分析】
这是分式加减运算题，解题时先观察两个分式的分母，可发现$m-2$和$2-m$互为相反数，首先将分母统一为同分母，即把第二个分式的分母转化为$m-2$，此时分子要同步变号，再按照同分母分式加减法的规则计算，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
解：首先对第二个分式变形，因为$2-m=-(m-2)$，所以：
$\frac{m}{2-m}=\frac{m}{-(m-2)}=-\frac{m}{m-2}$
代入原式可得：
$\frac{2}{m-2} + \frac{m}{2 - m} = \frac{2}{m-2} - \frac{m}{m-2}$
根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减：
$=\frac{2 - m}{m - 2}$
对分子提取负号：
$=\frac{-(m - 2)}{m - 2}$
分式有意义时$m≠2$，约去分子分母的公因式$m-2$，得：
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式加减运算、同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是正确处理互为相反数的分母，注意变形过程中的符号变化，计算后要记得约分得到最简结果。
【难度系数】
0.8
这是分式加减运算题，解题时先观察两个分式的分母，可发现$m-2$和$2-m$互为相反数，首先将分母统一为同分母，即把第二个分式的分母转化为$m-2$，此时分子要同步变号，再按照同分母分式加减法的规则计算，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
解：首先对第二个分式变形，因为$2-m=-(m-2)$，所以：
$\frac{m}{2-m}=\frac{m}{-(m-2)}=-\frac{m}{m-2}$
代入原式可得：
$\frac{2}{m-2} + \frac{m}{2 - m} = \frac{2}{m-2} - \frac{m}{m-2}$
根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减：
$=\frac{2 - m}{m - 2}$
对分子提取负号：
$=\frac{-(m - 2)}{m - 2}$
分式有意义时$m≠2$，约去分子分母的公因式$m-2$，得：
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式加减运算、同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是正确处理互为相反数的分母，注意变形过程中的符号变化，计算后要记得约分得到最简结果。
【难度系数】
0.8
(2)$\frac{2}{x-2} - \frac{4x}{x^2 -4} =$
$-\dfrac{2}{x+2}$
答案
2. $-\dfrac{2}{x+2}$
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：①先对第二个分式的分母因式分解，利用平方差公式可得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，由此确定两个分式的最简公分母为$(x+2)(x-2)$；②将两个分式通分，转化为同分母分式；③按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；④对化简后的分子进行整理，最后约分化为最简分式即可。
【解析】
解：先对分母因式分解：$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，
∴ 最简公分母为$(x+2)(x-2)$，将原式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x+2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{4x}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{2(x+2)-4x}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{2x + 4 - 4x}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{-2x + 4}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{-2(x - 2)}{(x+2)(x-2)} \quad (x≠\pm2) \\&=-\frac{2}{x+2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{2}{x+2}$
【知识点】
异分母分式加减，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算顺序，易错点是通分时分子去括号容易出现符号错误，约分时要注意分母不为0的隐含条件，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：①先对第二个分式的分母因式分解，利用平方差公式可得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，由此确定两个分式的最简公分母为$(x+2)(x-2)$；②将两个分式通分，转化为同分母分式；③按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；④对化简后的分子进行整理，最后约分化为最简分式即可。
【解析】
解：先对分母因式分解：$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，
∴ 最简公分母为$(x+2)(x-2)$，将原式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x+2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{4x}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{2(x+2)-4x}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{2x + 4 - 4x}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{-2x + 4}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{-2(x - 2)}{(x+2)(x-2)} \quad (x≠\pm2) \\&=-\frac{2}{x+2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{2}{x+2}$
【知识点】
异分母分式加减，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算顺序，易错点是通分时分子去括号容易出现符号错误，约分时要注意分母不为0的隐含条件，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
(3)$\frac{x}{x+3} - \frac{6}{9 - x^2} ÷ \frac{2}{x - 3} =$
答案
3. 1
解析
【分析】
这是分式混合运算题目，解题遵循“先乘除后加减”的运算顺序：首先对可因式分解的分母用平方差公式变形，再将除法运算转化为乘法运算，计算出乘除部分的结果后，再和前面的分式通分做加减运算，最后化简得到结果。
【解析】
解：原式=$\frac{x}{x+3} - \frac{6}{(3-x)(3+x)} × \frac{x-3}{2}$
将$3-x$变形为$-(x-3)$，代入得：
=$\frac{x}{x+3} - \frac{6}{-(x-3)(x+3)} × \frac{x-3}{2}$
约分化简乘法部分：分子6和分母2约分得3，$(x-3)$项相互抵消，得：
=$\frac{x}{x+3} + \frac{3}{x+3}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
=$\frac{x+3}{x+3}$
约分后得：
=$1$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题核心考查分式混合运算的基本规则，解题的关键是正确对平方差形式的分母因式分解，同时注意符号变化，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是分式混合运算题目，解题遵循“先乘除后加减”的运算顺序：首先对可因式分解的分母用平方差公式变形，再将除法运算转化为乘法运算，计算出乘除部分的结果后，再和前面的分式通分做加减运算，最后化简得到结果。
【解析】
解：原式=$\frac{x}{x+3} - \frac{6}{(3-x)(3+x)} × \frac{x-3}{2}$
将$3-x$变形为$-(x-3)$，代入得：
=$\frac{x}{x+3} - \frac{6}{-(x-3)(x+3)} × \frac{x-3}{2}$
约分化简乘法部分：分子6和分母2约分得3，$(x-3)$项相互抵消，得：
=$\frac{x}{x+3} + \frac{3}{x+3}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
=$\frac{x+3}{x+3}$
约分后得：
=$1$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题核心考查分式混合运算的基本规则，解题的关键是正确对平方差形式的分母因式分解，同时注意符号变化，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(4)$( \frac{m^2}{m - 1} + \frac{1}{1 - m} ) · \frac{1}{m + 1} =$
1
答案
4. 1
解析
【分析】
解题时先观察括号内两个分式的分母，发现m-1和1-m互为相反数，第一步先将两个分式化为同分母分式，按照同分母分式加减法则计算括号内的结果，再将结果与括号外的分式相乘，计算过程中结合因式分解约分，最终得到化简结果。
【解析】
解：原式$=( \frac{m^2}{m - 1} - \frac{1}{m - 1} ) · \frac{1}{m + 1}$
$=\frac{m^2 - 1}{m - 1} · \frac{1}{m + 1}$
利用平方差公式分解分子$m^2-1=(m+1)(m-1)$，代入得：
$=\frac{(m+1)(m-1)}{m - 1} · \frac{1}{m + 1}$
约分得：
$=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算，分式的乘法运算，因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心是先处理异分母分式的符号问题，转化为同分母分式后再计算，运算过程中注意约分的适用条件，遵循先括号内后括号外的运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察括号内两个分式的分母，发现m-1和1-m互为相反数，第一步先将两个分式化为同分母分式，按照同分母分式加减法则计算括号内的结果，再将结果与括号外的分式相乘，计算过程中结合因式分解约分，最终得到化简结果。
【解析】
解：原式$=( \frac{m^2}{m - 1} - \frac{1}{m - 1} ) · \frac{1}{m + 1}$
$=\frac{m^2 - 1}{m - 1} · \frac{1}{m + 1}$
利用平方差公式分解分子$m^2-1=(m+1)(m-1)$，代入得：
$=\frac{(m+1)(m-1)}{m - 1} · \frac{1}{m + 1}$
约分得：
$=1$
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算，分式的乘法运算，因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心是先处理异分母分式的符号问题，转化为同分母分式后再计算，运算过程中注意约分的适用条件，遵循先括号内后括号外的运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(5)已知$\frac{a}{x+2}$与$\frac{b}{x-2}$的和等于$\frac{4x}{x^2 -4}$，则$a=$
2
，$b=$2
。答案
5. 2，2
解析
【分析】
要解决这道题，首先按照分式加法法则计算两个分式的和，通分后和已知的结果对比，由于两个分式相等且分母相同，因此分子必然相等，再通过合并同类项、对比多项式对应系数，列出方程组即可求解a、b的值。
【解析】
解：先计算$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-2}$，两个分式的最简公分母为$(x+2)(x-2)=x^2-4$，通分后得：
$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2) + b(x+2)}{x^2-4}$
由题意得$\frac{a(x-2) + b(x+2)}{x^2-4} = \frac{4x}{x^2-4}$，在分母不为0的前提下，分子相等：
$a(x-2) + b(x+2) = 4x$
展开并整理左边的式子：
$ax - 2a + bx + 2b = (a+b)x + (-2a + 2b)$
对比等号两边多项式的对应系数，可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 4 \\-2a + 2b = 0\end{cases}$
化简第二个方程得$b = a$，代入第一个方程得$a + a = 4$，解得$a=2$，因此$b=2$。
【答案】
2，2
【知识点】
分式的加减运算、多项式恒等条件、解二元一次方程组
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，核心是掌握分式加减的通分规则，以及两个多项式相等时同类项的对应系数相等的性质，熟练掌握上述知识点就能快速求解这类参数求解问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先按照分式加法法则计算两个分式的和，通分后和已知的结果对比，由于两个分式相等且分母相同，因此分子必然相等，再通过合并同类项、对比多项式对应系数，列出方程组即可求解a、b的值。
【解析】
解：先计算$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-2}$，两个分式的最简公分母为$(x+2)(x-2)=x^2-4$，通分后得：
$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2) + b(x+2)}{x^2-4}$
由题意得$\frac{a(x-2) + b(x+2)}{x^2-4} = \frac{4x}{x^2-4}$，在分母不为0的前提下，分子相等：
$a(x-2) + b(x+2) = 4x$
展开并整理左边的式子：
$ax - 2a + bx + 2b = (a+b)x + (-2a + 2b)$
对比等号两边多项式的对应系数，可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 4 \\-2a + 2b = 0\end{cases}$
化简第二个方程得$b = a$，代入第一个方程得$a + a = 4$，解得$a=2$，因此$b=2$。
【答案】
2，2
【知识点】
分式的加减运算、多项式恒等条件、解二元一次方程组
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，核心是掌握分式加减的通分规则，以及两个多项式相等时同类项的对应系数相等的性质，熟练掌握上述知识点就能快速求解这类参数求解问题。
【难度系数】
0.7
3. 计算.
(1)$\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x-2}· \frac{x^2 -4}{x};$
(2)$\frac{y^2}{y-1}-y-1;$
(3)$(1+\frac{1}{a+1})÷ \frac{a^2 +2a}{a+1};$
(4)$\frac{a^2 -b^2}{ab}-\frac{ab -b^2}{ab -a^2}.$
(1)$\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x-2}· \frac{x^2 -4}{x};$
(2)$\frac{y^2}{y-1}-y-1;$
(3)$(1+\frac{1}{a+1})÷ \frac{a^2 +2a}{a+1};$
(4)$\frac{a^2 -b^2}{ab}-\frac{ab -b^2}{ab -a^2}.$
答案
(1) $\dfrac{5-x^2}{x-2}$
(2) $\dfrac{1}{y-1}$
(3) $\dfrac{1}{a}$
(4) $\dfrac{a}{b}$
(2) $\dfrac{1}{y-1}$
(3) $\dfrac{1}{a}$
(4) $\dfrac{a}{b}$
解析
【分析】
分式混合运算遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，解题步骤可按以下思路展开：①先观察可因式分解的多项式，优先因式分解；②乘除运算中先约分再计算，加减运算中先通分再计算；③注意符号处理，最终结果需化为最简分式。
针对每道小题的具体思路：
(1) 先计算乘法部分，将$x^2-4$分解为$(x+2)(x-2)$，约分后再做分式减法；
(2) 把整式部分$y+1$看作分母为1的分式，通分后合并计算；
(3) 先计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，约分后得结果；
(4) 先对第二个分式的分子、分母因式分解并约分，再通分做减法运算。
【解析】
(1) 先计算乘法部分，再通分做减法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{x}\\&=\frac{1}{x-2}-(x+2)\\&=\frac{1}{x-2}-\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\\&=\frac{1-(x^2-4)}{x-2}\\&=\frac{5-x^2}{x-2}\end{aligned}$
(2) 将整式部分通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{y^2}{y-1}-(y+1)\\&=\frac{y^2}{y-1}-\frac{(y+1)(y-1)}{y-1}\\&=\frac{y^2-(y^2-1)}{y-1}\\&=\frac{1}{y-1}\end{aligned}$
(3) 先算括号内加法，再将除法转为乘法约分：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{a+1}{a+1}+\frac{1}{a+1})·\frac{a+1}{a(a+2)}\\&=\frac{a+2}{a+1}·\frac{a+1}{a(a+2)}\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
(4) 先化简第二个分式，再通分做减法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+b)(a-b)}{ab}-\frac{b(a-b)}{a(b-a)}\\&=\frac{a^2-b^2}{ab}-\frac{b(a-b)}{-a(a-b)}\\&=\frac{a^2-b^2}{ab}+\frac{b}{a}\\&=\frac{a^2-b^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\\&=\frac{a^2}{ab}\\&=\frac{a}{b}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{5-x^2}{x-2}$
(2) $\dfrac{1}{y-1}$
(3) $\dfrac{1}{a}$
(4) $\dfrac{a}{b}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考察运算顺序和运算规则的掌握，计算时要注意符号处理，尤其是分母因式分解后出现互为相反数的因式时，要正确变换符号避免出错，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，解题步骤可按以下思路展开：①先观察可因式分解的多项式，优先因式分解；②乘除运算中先约分再计算，加减运算中先通分再计算；③注意符号处理，最终结果需化为最简分式。
针对每道小题的具体思路：
(1) 先计算乘法部分，将$x^2-4$分解为$(x+2)(x-2)$，约分后再做分式减法；
(2) 把整式部分$y+1$看作分母为1的分式，通分后合并计算；
(3) 先计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，约分后得结果；
(4) 先对第二个分式的分子、分母因式分解并约分，再通分做减法运算。
【解析】
(1) 先计算乘法部分，再通分做减法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{x}\\&=\frac{1}{x-2}-(x+2)\\&=\frac{1}{x-2}-\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\\&=\frac{1-(x^2-4)}{x-2}\\&=\frac{5-x^2}{x-2}\end{aligned}$
(2) 将整式部分通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{y^2}{y-1}-(y+1)\\&=\frac{y^2}{y-1}-\frac{(y+1)(y-1)}{y-1}\\&=\frac{y^2-(y^2-1)}{y-1}\\&=\frac{1}{y-1}\end{aligned}$
(3) 先算括号内加法，再将除法转为乘法约分：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{a+1}{a+1}+\frac{1}{a+1})·\frac{a+1}{a(a+2)}\\&=\frac{a+2}{a+1}·\frac{a+1}{a(a+2)}\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}$
(4) 先化简第二个分式，再通分做减法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+b)(a-b)}{ab}-\frac{b(a-b)}{a(b-a)}\\&=\frac{a^2-b^2}{ab}-\frac{b(a-b)}{-a(a-b)}\\&=\frac{a^2-b^2}{ab}+\frac{b}{a}\\&=\frac{a^2-b^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\\&=\frac{a^2}{ab}\\&=\frac{a}{b}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{5-x^2}{x-2}$
(2) $\dfrac{1}{y-1}$
(3) $\dfrac{1}{a}$
(4) $\dfrac{a}{b}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考察运算顺序和运算规则的掌握，计算时要注意符号处理，尤其是分母因式分解后出现互为相反数的因式时，要正确变换符号避免出错，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
