5.【例3】已知:如图,在$△ ABC$中,角平分线$BM$与角平分线$CN$相交于点$P$,过点$P$分别作$AB,BC,AC$的垂线,垂足分别为$D,E,F$.求证:$∠ A$的平分线经过点$P$,且$PD=PE=PF$.

归纳:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.

5. 证明:
∵ BM 是△ABC 的角平分线,点 P 在 BM 上,且 PD⊥AB,PE⊥BC,
∴ PD = PE.
同理,PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
∴ 点 P 在∠A 的平分线上,即∠A 的平分线经过点 P.

【分析】
要证明两个结论，可分两步推导：首先利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，点P在∠B的平分线BM上，且PD⊥AB、PE⊥BC，因此PD=PE；同理点P在∠C的平分线CN上，可得PE=PF，等量代换后即可得到PD=PE=PF。接下来要证∠A的平分线过点P，根据角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，已知PD⊥AB、PF⊥AC，且PD=PF，因此点P在∠A的平分线上，即∠A的平分线经过点P。
【解析】
证明：
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，
∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CN是△ABC的角平分线，点P在CN上，且PE⊥BC，PF⊥AC，
∴ PE = PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ PD = PE = PF。
又
∵ PD⊥AB，PF⊥AC，PD=PF，
∴ 点P在∠A的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即∠A的平分线经过点P。
【答案】
证明:
∵ BM 是△ABC 的角平分线,点 P 在 BM 上,且 PD⊥AB,PE⊥BC,
∴ PD = PE.
同理,PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
∴ 点 P 在∠A 的平分线上,即∠A 的平分线经过点 P.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形角平分线的性质
【点评】
本题是三角形角平分线相关定理的基础应用题型，通过性质推导线段相等，再通过判定证明点在角平分线上，逻辑链条清晰，是理解三角形三条角平分线交于一点、到三边距离相等这一结论的核心证明题，需熟练区分角平分线性质和判定的使用条件。
【难度系数】
0.8

6.（人教八上$\mathrm{P}_{59}$复习题$\mathrm{T}_{8}$变式）如图，直线$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
（1）可选择的地点有几处？
（2）你能画出塔台的位置吗？

6. 解:(1)可选择的地点有4处.
(2)能. 如图,根据角平分线的性质,作三条直线相交形成的角的平分线,平分线的交点 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 就是所求的点.

【分析】
要找到三条公路距离都相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到两条公路距离相等的点，在这两条公路夹角的平分线上。我们需要找三条公路形成的所有夹角的平分线的交点：首先考虑三条公路围成的三角形内部，内角平分线的交点；再考虑三角形外部，每两个外角的平分线的交点，数清所有符合条件的交点即可，作图时按照角平分线的画法作出对应交点即可。
【解析】
(1) 根据角平分线的性质分析：
① 三条直线$l_1$、$l_2$、$l_3$围成$△ ABC$，三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等；
② 任意两条公路相交形成外角，相邻两个外角的角平分线也存在交点，这类交点共有3个，每个点到三条公路的距离同样相等。
因此符合条件的地点总共有$1+3=4$处。
(2) 能画出塔台位置：首先作$△ ABC$三个内角的角平分线，得到交点$P_1$；再分别作$△ ABC$每两组外角的角平分线，得到交点$P_2$、$P_3$、$P_4$，这四个点即为所求的塔台位置。
【答案】
(1)可选择的地点有4处.
(2)能. 如图,根据角平分线的性质,作三条直线相交形成的角的平分线,平分线的交点 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 就是所求的点.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的作图
【点评】
本题是角平分线性质在实际生活中的应用，解题时需注意不要遗漏三角形外部的3个外角平分线交点，结合图形分类讨论能有效避免漏解。
【难度系数】
0.6

1. 如图，$PM ⊥ OA$，$PN ⊥ OB$，$PM = PN$。若$∠ BOC = 30°$，则$∠ AOB$的度数为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$

1. D

【分析】
解题时先梳理已知条件：PM垂直OA、PN垂直OB，说明PM、PN是点P到∠AOB两边的距离，又已知PM=PN，结合角平分线的判定定理，可推出OC是∠AOB的角平分线，即∠AOB等于2倍的∠BOC，代入已知角度即可求出结果。
【解析】
解：
∵PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN
∴根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得OC平分∠AOB
∴∠AOB=2∠BOC
又
∵∠BOC=30°
∴∠AOB=2×30°=60°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题的突破口是根据“点到角两边的距离相等”推出射线为角平分线，牢记相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85

2. 如图，在$△ ABC$中，点$D$是$BC$的中点，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为$E$，$F$，$BE = CF$. 求证：$AD$平分$∠ BAC$.

2. 证明:
∵ 点 D 是 BC 的中点,
∴ DB = DC.
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°.
又 BE = CF,
∴ Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴ DE = DF.
又 DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ AD 平分∠BAC.

【分析】
要证明AD平分∠BAC，可依据角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的垂线段DE=DF即可。要证DE=DF，可证明DE、DF所在的直角三角形全等：已知D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC可得△DEB和△DFC都是直角三角形，再结合已知BE=CF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到DE=DF，最终推出结论。
【解析】
证明:
∵ 点 D 是 BC 的中点,
∴ DB = DC.
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°.
又 BE = CF,
∴ Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴ DE = DF.
又 DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ AD 平分∠BAC.
【答案】
证明:
∵ 点 D 是 BC 的中点,
∴ DB = DC.
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°.
又 BE = CF,
∴ Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴ DE = DF.
又 DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ AD 平分∠BAC.
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 角平分线的判定定理
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，是对基础定理应用的典型考察，解题思路清晰，需要熟练掌握相关定理的应用条件，先通过全等得到线段相等，再结合角平分线的判定即可完成证明。
【难度系数】
0.8

3. (人教八上$\mathrm{P}_{53}$习题$\mathrm{T}_{8}$改编) 如图, $∠ B = ∠ C=90°$,点$M$是$BC$的中点,$DM$平分$∠ ADC$.
(1)求证:$AM$平分$∠ BAD$.
(2)试说明线段$DM$与$AM$有怎样的位置关系？

3. (1) 证明:如图,过点 M 作 ME ⊥ AD 于点 E.
∵ ∠C = 90°,DM 平分∠ADC,
∴ ME = MC.
∵ 点 M 为 BC 的中点,
∴ MB = MC.
∴ ME = MB.
∵ ME ⊥ AD,∠B = 90°,
∴ AM 平分∠BAD.
(2) 解:DM ⊥ AM. 理由如下:
如图,
∵ DM 平分∠ADC,AM 平分∠BAD,
∴ ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4.
∵ ∠B + ∠C = 180°,
∴ DC//AB.
∴ ∠ADC + ∠BAD = 180°.
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
∴ ∠1 + ∠3 = 90°.
∴ ∠DMA = 180° - (∠1 + ∠3) = 90°,即 DM ⊥ AM.

【分析】
(1) 要证明AM平分∠BAD，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此考虑过M作AD的垂线ME，只需证ME=MB即可。已知DM平分∠ADC，结合∠C=90°，根据角平分线的性质可得ME=MC，再结合M是BC中点的条件得到MC=MB，即可推出ME=MB，完成证明。
(2) 判断DM和AM的位置关系，优先考虑垂直。首先由∠B、∠C均为90°可推出DC//AB，得到同旁内角∠ADC+∠BAD=180°，再结合两个角平分线的性质，可推导得到∠1+∠3=90°，最后根据三角形内角和即可得到∠AMD=90°，得到垂直关系。
【解析】
(1) 证明：如图，过点M作ME⊥AD于点E。
∵ ∠C = 90°，DM平分∠ADC，
∴ ME = MC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ 点M为BC的中点，
∴ MB = MC。
∴ ME = MB。
∵ ME⊥AD，∠B = 90°即MB⊥AB，
∴ AM平分∠BAD（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。

(2) 解：DM⊥AM，理由如下：
∵ DM平分∠ADC，AM平分∠BAD，
∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。
∵ ∠B + ∠C = 90°+90°=180°，
∴ DC//AB（同旁内角互补，两直线平行）。
∴ ∠ADC + ∠BAD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°，将∠2=∠1、∠4=∠3代入得2(∠1+∠3)=180°，
∴ ∠1 + ∠3 = 90°。
在△AMD中，∠DMA = 180° - (∠1 + ∠3) = 90°，即DM⊥AM。
【答案】
(1) 证明:如图,过点 M 作 ME ⊥ AD 于点 E.
∵ ∠C = 90°,DM 平分∠ADC,
∴ ME = MC.
∵ 点 M 为 BC 的中点,
∴ MB = MC.
∴ ME = MB.
∵ ME ⊥ AD,∠B = 90°,
∴ AM 平分∠BAD.
(2) DM ⊥ AM，理由如下:
∵ DM 平分∠ADC,AM 平分∠BAD,
∴ ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4.
∵ ∠B + ∠C = 180°,
∴ DC//AB.
∴ ∠ADC + ∠BAD = 180°.
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.
∴ ∠1 + ∠3 = 90°.
∴ ∠DMA = 180° - (∠1 + ∠3) = 90°,即 DM ⊥ AM.
【知识点】
1.角平分线的性质与判定
2.平行线的判定与性质
3.垂直的判定
【点评】
本题是角平分线相关的基础综合题，作垂线段构造点到直线的距离是解决第一问的核心突破口，第二问结合平行线的性质推导角度关系即可得到线段位置关系，能够有效考查几何逻辑推理能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.7