课标新变化 回归教材 用全等三角形证明拼图猜想
（教材拓展）(人教八上P₅₆数学活动2改编)【教材呈现】
如图,△ABC≌△A'B'C'.把△ABC,△A'B'C'剪下来,用它们拼图,使边BC与边B'C'重合,顶点A与顶点A'不重合,画出你拼出的图形.在你画出的图形中,连接AA',用测量、折纸等方法猜想BC,AA'有什么关系,然后用全等三角形的知识证明你的猜想.

请结合教材内容,解决下面问题:
【情景再现】(1)如图1,在正方形网格中,点A,B,C是网格线交点,请在网格中画出△A'B'C',使点B和点B'重合,使点C和点C'重合,顶点A与顶点A'不重合;
【猜想探究】(2)小文猜想BC⊥AA',且BC平分AA'.请你帮他将证明过程补充完整.
已知:如图2,连接AA'交BC于点D,且△ABC≌△A'BC.
求证:BC⊥AA',AD=A'D.
证明:
【拓展应用】如图2,我们将四边形ABA'C这种两组邻边分别相等的四边形叫作"筝形".由全等三角形易证筝形有一组对角相等,即∠BAC=∠BA'C.
(3)如图3,在△ABC中,∠A=80°,∠B=40°,点D,E分别是边BC,AB上的动点,当四边形AEDC为筝形时,请直接写出∠BDE的度数.

解:(1) 如图,△A'B'C'即为所求.
(2)
∵ △ABC≌△A'BC,
∴ AB = A'B,∠ABD = ∠A'BD.
在△ABD 和△A'BD 中,
$\begin{cases}AB = A'B, \\∠ABD = ∠A'BD, \\BD = BD,\end{cases}$
∴ △ABD≌△A'BD(SAS).
∴ AD = A'D,∠BDA = ∠BDA'.
∵ ∠BDA + ∠BDA' = 180°,
∴ ∠BDA = ∠BDA' = 90°.
∴ BC ⊥ AA'.
(3) ∠BDE 的度数为 100°或 20°.

【分析】
(1) 要画出满足条件的△A'B'C'，利用全等三角形的性质，作点A关于直线BC的对称点A'，顺次连接A'、B、C即可，对称后的三角形与△ABC全等，且A与A'不重合。
(2) 证明BC垂直且平分AA'，可通过证明△ABD与△A'BD全等推导：首先由△ABC≌△A'BC得到AB=A'B、∠ABD=∠A'BD，结合公共边BD，利用SAS可证两个三角形全等，进而得到AD=A'D，且∠BDA=∠BDA'，再根据两角和为180°推出∠BDA=90°，即可得证BC⊥AA'。
(3) 先由三角形内角和算出△ABC中∠ACB=60°，筝形的特点是两组邻边分别相等，因此需要分两种情况讨论，结合全等三角形对应角相等、邻补角的性质计算∠BDE的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1) 如图，△A'B'C'即为所求。
(2) 证明：
∵ △ABC≌△A'BC,
∴ AB = A'B,∠ABD = ∠A'BD.
在△ABD 和△A'BD 中,
$\begin{cases}AB = A'B, \\∠ABD = ∠A'BD, \\BD = BD,\end{cases}$
∴ △ABD≌△A'BD(SAS).
∴ AD = A'D,∠BDA = ∠BDA'.
∵ ∠BDA + ∠BDA' = 180°,
∴ ∠BDA = ∠BDA' = 90°.
∴ BC ⊥ AA'.
(3) 首先计算△ABC中∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60°，四边形AEDC为筝形，分两种情况讨论：
① 当AE=AC、DE=DC时，连接CE可证△ACE≌△DCE，得∠CDE=∠A=80°，因此∠BDE=180°-80°=100°；
② 当AC=CD、AE=DE时，连接CE可证△ACE≌△DCE，得∠CDE=∠A=80°，结合∠ACB=60°、AC=CD，可算出∠BDE=20°。
综上，∠BDE的度数为100°或20°。
【答案】
(1) 如图,△A'B'C'即为所求.
(2) 证明过程见解析；
(3) ∠BDE 的度数为 100°或 20°。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，轴对称作图，分类讨论思想
【点评】
本题依托教材拓展内容设置问题，难度逐层递进，既考查了全等三角形、三角形内角和等核心知识点，也锻炼了几何作图能力和分类讨论的逻辑思维，符合几何学习的进阶要求。
【难度系数】
0.65