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探究 我们知道角的平分线上的点到角两边的距离相等.那么反过来,到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗?
猜测:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
试证明:已知:如图,在∠BAC的内部存在一点P,作PB⊥AB,PC⊥AC,垂足分别为B,C.若PB=PC,求证:AP平分∠BAC.
猜测:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
试证明:已知:如图,在∠BAC的内部存在一点P,作PB⊥AB,PC⊥AC,垂足分别为B,C.若PB=PC,求证:AP平分∠BAC.
答案
证明:
∵ PB⊥AB,PC⊥AC,
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°.
∵ AP = AP,PB = PC,
∴ Rt△ABP≌Rt△ACP(HL).
∴ ∠BAP = ∠CAP.
∴ AP 平分∠BAC.
∵ PB⊥AB,PC⊥AC,
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°.
∵ AP = AP,PB = PC,
∴ Rt△ABP≌Rt△ACP(HL).
∴ ∠BAP = ∠CAP.
∴ AP 平分∠BAC.
解析
【分析】
要证明AP平分∠BAC，本质是证明∠BAP=∠CAP。观察图形可知，∠BAP、∠CAP分别在Rt△ABP和Rt△ACP中，已知两个三角形均为直角三角形，有公共斜边AP，且题目给出直角边PB=PC，满足直角三角形全等的HL判定条件，证明两个三角形全等后，利用全等三角形对应角相等即可得到两角相等，进而得出AP平分∠BAC的结论。
【解析】
证明：
∵ PB⊥AB，PC⊥AC，
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°。
∵ AP = AP，PB = PC，
∴ Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）。
∴ ∠BAP = ∠CAP。
∴ AP平分∠BAC。
【答案】
证明过程如上，AP平分∠BAC得证。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定定理的推导证明，核心是通过证明直角三角形全等实现角的等量关系转化，体现了几何证明中的转化思想，为后续角平分线相关的证明、计算问题提供了理论依据。
【难度系数】
0.8
要证明AP平分∠BAC，本质是证明∠BAP=∠CAP。观察图形可知，∠BAP、∠CAP分别在Rt△ABP和Rt△ACP中，已知两个三角形均为直角三角形，有公共斜边AP，且题目给出直角边PB=PC，满足直角三角形全等的HL判定条件，证明两个三角形全等后，利用全等三角形对应角相等即可得到两角相等，进而得出AP平分∠BAC的结论。
【解析】
证明：
∵ PB⊥AB，PC⊥AC，
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°。
∵ AP = AP，PB = PC，
∴ Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）。
∴ ∠BAP = ∠CAP。
∴ AP平分∠BAC。
【答案】
证明过程如上，AP平分∠BAC得证。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定定理的推导证明，核心是通过证明直角三角形全等实现角的等量关系转化，体现了几何证明中的转化思想，为后续角平分线相关的证明、计算问题提供了理论依据。
【难度系数】
0.8
1.【例1】如图，$DA ⊥ AC$于点$A$，$DE ⊥ BC$于点$E$.若$AD=5$，$DE=5$，$∠ ACD=30°$，则$∠ DCE=$（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
1. A
解析
【分析】
首先梳理已知条件：有DA⊥AC、DE⊥BC两个垂直关系，说明AD是点D到边AC的距离，DE是点D到边BC的距离，同时给出AD=DE。结合角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可推出CD平分∠ACB，因此∠DCE和∠ACD相等，代入已知∠ACD的度数就能得到结果。
【解析】
解：
∵DA⊥AC，DE⊥BC，
∴AD是点D到AC的距离，DE是点D到BC的距离，
又
∵AD=DE=5，
∴CD平分∠ACB（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠DCE=∠ACD，
∵∠ACD=30°，
∴∠DCE=30°。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，解题关键是结合垂直条件明确线段是点到角两边的距离，再利用角平分线的判定定理判断CD为角平分线，熟记相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：有DA⊥AC、DE⊥BC两个垂直关系，说明AD是点D到边AC的距离，DE是点D到边BC的距离，同时给出AD=DE。结合角平分线的判定定理，角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可推出CD平分∠ACB，因此∠DCE和∠ACD相等，代入已知∠ACD的度数就能得到结果。
【解析】
解：
∵DA⊥AC，DE⊥BC，
∴AD是点D到AC的距离，DE是点D到BC的距离，
又
∵AD=DE=5，
∴CD平分∠ACB（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠DCE=∠ACD，
∵∠ACD=30°，
∴∠DCE=30°。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，解题关键是结合垂直条件明确线段是点到角两边的距离，再利用角平分线的判定定理判断CD为角平分线，熟记相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.【例2】如图，$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。若$BD = CD$，$BE = CF$。求证：$AD$平分$∠ BAC$。
答案
3. 证明:
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠E = ∠CFD = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,$\begin{cases} BD = CD, \\ BE = CF, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴ DE = DF.
又 DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ AD 平分∠BAC.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠E = ∠CFD = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,$\begin{cases} BD = CD, \\ BE = CF, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴ DE = DF.
又 DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ AD 平分∠BAC.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF。观察图形可知DE、DF分别在Rt△BDE和Rt△CDF中，已知两个直角三角形的斜边BD=CD、直角边BE=CF，可通过HL定理证明两三角形全等，得到DE=DF，进而推出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠E = ∠CFD = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases} BD = CD \\ BE = CF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$，
又
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $AD$平分$∠BAC$。
【答案】
证明:
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠E = ∠CFD = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,$\begin{cases} BD = CD, \\ BE = CF, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴ DE = DF.
又 DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ AD 平分∠BAC.
【知识点】
HL定理，全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是先通过直角三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理推导结论，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF。观察图形可知DE、DF分别在Rt△BDE和Rt△CDF中，已知两个直角三角形的斜边BD=CD、直角边BE=CF，可通过HL定理证明两三角形全等，得到DE=DF，进而推出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $∠E = ∠CFD = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases} BD = CD \\ BE = CF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE = DF$，
又
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴ $AD$平分$∠BAC$。
【答案】
证明:
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠E = ∠CFD = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,$\begin{cases} BD = CD, \\ BE = CF, \end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴ DE = DF.
又 DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ AD 平分∠BAC.
【知识点】
HL定理，全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是先通过直角三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理推导结论，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
2. 如图, 在△ABC中, ∠C = 90°, ∠A = 36°, DE ⊥ AB于点D,且EC = ED,则∠EBD =
27
°答案
2. 27
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先利用三角形内角和定理，在Rt△ABC中已知两个角的度数，求出∠ABC的度数；再结合已知条件EC⊥BC、ED⊥AB且EC=ED，根据角平分线的判定定理，判断出BE是∠ABC的角平分线，最后根据角平分线的定义求出∠EBD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，根据三角形内角和为180°可得：
∠ABC = 180° - ∠C - ∠A = 180° - 90° - 36° = 54°
∵ ∠C=90°，
∴ EC⊥BC，
又
∵ DE⊥AB，且EC=ED，
根据“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，可得BE平分∠ABC，
∴ ∠EBD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×54° = 27°
【答案】
27
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是结合角平分线的判定定理识别角平分线，再结合三角形内角和计算角度，熟记相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题思路可分为两步：首先利用三角形内角和定理，在Rt△ABC中已知两个角的度数，求出∠ABC的度数；再结合已知条件EC⊥BC、ED⊥AB且EC=ED，根据角平分线的判定定理，判断出BE是∠ABC的角平分线，最后根据角平分线的定义求出∠EBD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，根据三角形内角和为180°可得：
∠ABC = 180° - ∠C - ∠A = 180° - 90° - 36° = 54°
∵ ∠C=90°，
∴ EC⊥BC，
又
∵ DE⊥AB，且EC=ED，
根据“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，可得BE平分∠ABC，
∴ ∠EBD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×54° = 27°
【答案】
27
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是结合角平分线的判定定理识别角平分线，再结合三角形内角和计算角度，熟记相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
4. 如图，$BF ⊥ AC$ 于点 $F$，$CE ⊥ AB$ 于点 $E$，$BF$ 和 $CE$ 相交于点 $D$，$BE = CF$. 求证：$AD$ 平分 $∠ BAC$.
答案
4. 证明:
∵ CE⊥AB,BF⊥AC,
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°.
在△BDE 和△CDF 中,$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD, \\ ∠BDE = ∠CDF, \\ BE = CF, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF(AAS).
∴ DE = DF.
又
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ AD 平分∠BAC.
∵ CE⊥AB,BF⊥AC,
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°.
在△BDE 和△CDF 中,$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD, \\ ∠BDE = ∠CDF, \\ BE = CF, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF(AAS).
∴ DE = DF.
又
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ AD 平分∠BAC.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此只需证明点D到AB的距离DE与到AC的距离DF相等。要证DE=DF，可通过证明DE、DF所在的△BDE和△CDF全等来推导。已知BE=CF，结合CE⊥AB、BF⊥AC可得两个直角相等，再加上对顶角相等，即可用AAS判定两三角形全等，进而得到DE=DF，完成证明。
【解析】
证明：
∵ CE⊥AB，BF⊥AC，
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BDE 和△CDF 中，
$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD \\ ∠BDE = ∠CDF \\ BE = CF \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF(AAS)。
∴ DE = DF。
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ AD 平分∠BAC。
【答案】
AD平分∠BAC
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；垂直的定义
【点评】
本题是角平分线证明的基础题型，解题的核心是将角平分线的证明转化为证明点到角两边的距离相等，再通过三角形全等完成线段相等的推导，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的判定定理。
【难度系数】
0.75
要证明AD平分∠BAC，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此只需证明点D到AB的距离DE与到AC的距离DF相等。要证DE=DF，可通过证明DE、DF所在的△BDE和△CDF全等来推导。已知BE=CF，结合CE⊥AB、BF⊥AC可得两个直角相等，再加上对顶角相等，即可用AAS判定两三角形全等，进而得到DE=DF，完成证明。
【解析】
证明：
∵ CE⊥AB，BF⊥AC，
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BDE 和△CDF 中，
$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD \\ ∠BDE = ∠CDF \\ BE = CF \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF(AAS)。
∴ DE = DF。
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ AD 平分∠BAC。
【答案】
AD平分∠BAC
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；垂直的定义
【点评】
本题是角平分线证明的基础题型，解题的核心是将角平分线的证明转化为证明点到角两边的距离相等，再通过三角形全等完成线段相等的推导，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的判定定理。
【难度系数】
0.75
