5.【例3】(人教八上$P_{52}$习题$T_{1}$改编)如图,在$△ ABC$中,AD是它的角平分线,且$EB = FC$,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为E,F.求证:点D是BC的中点.

5. 证明:
∵ AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ DE = DF,∠BED = ∠CFD = 90°.
在△BED 和△CFD 中,$\begin{cases} DE = DF, \\ ∠BED = ∠CFD, \\ EB = FC, \end{cases}$
∴ △BED≌△CFD(SAS).
∴ BD = CD.
∴ 点 D 是 BC 的中点.

【分析】
要证明点D是BC的中点，核心是证明BD=CD，可通过证明△BED与△CFD全等推导得到。首先根据角平分线的性质，结合AD是角平分线、DE⊥AB、DF⊥AC的条件，可得到DE=DF，且∠BED和∠CFD都是直角，再结合题目给出的EB=FC的条件，即可通过SAS判定两个三角形全等，全等后对应边BD=CD，即可证明D是BC的中点。
【解析】
证明:
∵ AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ DE = DF,∠BED = ∠CFD = 90°.
在△BED 和△CFD 中,
$\begin{cases} DE = DF, \\ ∠BED = ∠CFD, \\ EB = FC, \end{cases}$
∴ △BED≌△CFD(SAS).
∴ BD = CD.
∴ 点 D 是 BC 的中点.
【答案】
点D是BC的中点
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，是角平分线章节的典型习题，解题时可先从证明目标出发逆向推导所需条件，再结合已知的角平分线、垂直、边相等的条件，逐步凑齐三角形全等的判定依据，最终通过全等的性质得到对应边相等即可完成证明。
【难度系数】
0.8

6.（人教八上$\mathrm{P}_{50}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编）如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$BE$，$CD$相交于点$O$，连接$AO$，若$∠ 1 = ∠ 2$，求证：$BD = CE$。

6. 证明:
∵ CD ⊥ AB,BE ⊥ AC,∠1 = ∠2,
∴ ∠BDO = ∠CEO = 90°,OD = OE.
在△BOD 和△COE 中,$\begin{cases} ∠BDO = ∠CEO, \\ OD = OE, \\ ∠BOD = ∠COE, \end{cases}$
∴ △BOD≌△COE(ASA).
∴ BD = CE.

【分析】
要证明BD=CE，可通过证明两条线段所在的△BOD和△COE全等来推导。首先由已知∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，根据角平分线的性质可得O到AB、AC的距离相等，即OD=OE；再结合垂直得到的∠BDO=∠CEO=90°，以及对顶角∠BOD=∠COE，即可用ASA判定△BOD≌△COE，最终由全等三角形对应边相等得到BD=CE。
【解析】
证明:
∵ CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，∠1 = ∠2，
∴ ∠BDO = ∠CEO = 90°，OD = OE。
在△BOD 和△COE 中，
$\begin{cases} ∠BDO = ∠CEO, \\ OD = OE, \\ ∠BOD = ∠COE, \end{cases}$
∴ △BOD≌△COE(ASA)。
∴ BD = CE。
【答案】
BD=CE
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是找准待证线段所在的三角形，结合角平分线性质得到全等所需的等边，再结合垂直、对顶角的等角条件证明三角形全等，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，以及角平分线的性质。
【难度系数】
0.8

1. 如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE = 4.若点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是.

1. 4

【分析】
要求DF的最小值，首先明确：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此当DF垂直于OB时，DF的长度最小。再结合已知条件，OD是∠AOB的角平分线，DE是点D到OA的距离且长为4，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求出DF的最小值。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当DF⊥OB时，DF的长度最小。
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DF⊥OB，
∴由角平分线的性质可得：DF = DE。
∵DE = 4，
∴DF的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何题，解题关键是先通过垂线段最短确定DF取最小值的位置，再结合角平分线的性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB = 5,AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D,DE ⊥ AC$,垂足为$E,△ ABD$的面积为$5$,则$DE$的长为.

2. 2

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AC，因此我们可以过D作AB边上的高DF，可得DF=DE，接下来结合△ABD的面积和AB的长度，利用三角形面积公式即可求出DF的长度，也就是DE的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AB，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DF=DE。
已知△ABD的面积为5，AB=5，由三角形面积公式$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×DF$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×5×DF=5$
解得：DF=2
∴DE=DF=2
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的灵活应用，解题的关键是通过作辅助线构造出AB边上的高，将未知的DE转化为可求的三角形ABD的高，这类题型是角平分线性质的典型应用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

3. 如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD，交OP于点E. 求证：CE = DE.

3. 证明:
∵ P 是 ∠AOB 的平分线上的一点, PC ⊥ OA, PD ⊥ OB,
∴ PC = PD, ∠POC = ∠POD, ∠PCO = ∠PDO = 90°.
∴ ∠POC + ∠CPE = 90°, ∠POD + ∠DPE = 90°.
∴ ∠CPE = ∠DPE.
在△CPE 和△DPE 中,
$\begin{cases} PC = PD,\\ ∠ CPE = ∠ DPE,\\ PE = PE, \end{cases}$
∴ △CPE≌△DPE(SAS).
∴ CE = DE.

【分析】
要证明CE=DE，初中阶段证明两条线段相等最常用的方法是证明两条线段所在的三角形全等，因此首先定位CE在△CPE中、DE在△DPE中，核心目标为证明△CPE≌△DPE。首先根据角平分线的性质，可得PC=PD，且∠POC=∠POD；PE是两个三角形的公共边，此时已具备两条边相等的条件，还需证明两边的夹角∠CPE=∠DPE，结合PC⊥OA、PD⊥OB得到的直角，利用等角的余角相等即可推出该夹角相等，凑齐SAS全等判定条件后，即可通过全等三角形对应边相等得到CE=DE。
【解析】
证明:
∵ P 是 ∠AOB 的平分线上的一点, PC ⊥ OA, PD ⊥ OB,
∴ PC = PD, ∠POC = ∠POD, ∠PCO = ∠PDO = 90°.
∴ ∠POC + ∠CPE = 90°, ∠POD + ∠DPE = 90°.
∴ ∠CPE = ∠DPE.
在△CPE 和△DPE 中,
$\begin{cases} PC = PD,\\ ∠ CPE = ∠ DPE,\\ PE = PE, \end{cases}$
∴ △CPE≌△DPE(SAS).
∴ CE = DE.
【答案】
CE = DE
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题时从结论倒推所需条件，再结合已知信息逐步推导判定条件是常用的几何证明思路，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.85

4.（人教八上$\mathrm{P}_{60}$复习题$\mathrm{T}_{12}$改编）如图的三角形纸片$ABC$中，$AB = 8\ \mathrm{cm}$，$BC = 6\ \mathrm{cm}$，$AC = 5\ \mathrm{cm}$. 沿过点$B$的直线折叠这个三角形，使点$C$落在$AB$边上的点$E$处，折痕为$BD$，则$△ ADE$的周长为$\mathrm{cm}$.

4. 7

【分析】
本题属于折叠类几何计算题，解题思路如下：首先根据折叠的性质，得到折叠前后对应边相等，即DE=DC、BE=BC；再将△ADE的周长拆解为AD+DE+AE，利用等量代换把DE替换为DC，可得AD+DC=AC，只需要再求出AE的长度，将AE和AC的长度相加即可得到△ADE的周长。
【解析】
解：由折叠的性质可知，△BCD沿BD折叠后与△BED重合，即△BCD≌△BED，
∴ $DE = DC$，$BE = BC = 6\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ $AE = AB - BE = 8 - 6 = 2\ \mathrm{cm}$，
△ADE的周长 $= AD + DE + AE$，
将$DE=DC$代入上式可得：
周长 $= AD + DC + AE = AC + AE$，
又
∵ $AC = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ 周长 $= 5 + 2 = 7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
7
【知识点】
折叠的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题是折叠变换的基础题型，解题关键是熟练掌握折叠前后对应边相等的性质，通过等量代换将未知线段转化为已知长度的线段，无需复杂推理即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.7

5. 如图，BF是∠ABC的平分线，点P在BF上。点D，E分别在AB，BC上，∠BDP + ∠BEP = 180°，且∠BDP，∠BEP都不是直角. 求证：PD = PE.

5. 证明: 如图,过点 P 作 PM ⊥ AB 于点 M,PN ⊥ BC 于点 N.
∴ ∠PMD = ∠PNE = 90°.
∵ BF 平分 ∠ABC, PM ⊥ AB, PN ⊥ BC,
∴ PM = PN.
∵ ∠BDP + ∠BEP = 180°, ∠BDP + ∠PDM = 180°,
∴ ∠PDM = ∠PEN.
在△DPM 和△EPN 中,
$\begin{cases} ∠ PMD = ∠ PNE,\\ ∠ PDM = ∠ PEN,\\ PM = PN, \end{cases}$
∴ △DPM≌△EPN(AAS).
∴ PD = PE.

【分析】
要证明PD=PE，可通过证明PD、PE所在的三角形全等实现。已知BF是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此先考虑过点P作AB、BC的垂线，得到两条相等的垂线段；再结合已知∠BDP+∠BEP=180°，利用同角的补角相等得到两个三角形的对应角相等，即可用AAS证明三角形全等，从而推出对应边PD=PE。
【解析】
证明：如图，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N。
∴∠PMD = ∠PNE = 90°。
∵BF平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM = PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵∠BDP + ∠BEP = 180°，∠BDP + ∠PDM = 180°（邻补角的定义），
∴∠PDM = ∠PEN（同角的补角相等）。
在△DPM和△EPN中，
$\begin{cases} ∠PMD = ∠PNE,\\ ∠PDM = ∠PEN,\\ PM = PN, \end{cases}$
∴△DPM≌△EPN（AAS）。
∴PD = PE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明: 如图,过点 P 作 PM ⊥ AB 于点 M,PN ⊥ BC 于点 N.
∴ ∠PMD = ∠PNE = 90°.
∵ BF 平分 ∠ABC, PM ⊥ AB, PN ⊥ BC,
∴ PM = PN.
∵ ∠BDP + ∠BEP = 180°, ∠BDP + ∠PDM = 180°,
∴ ∠PDM = ∠PEN.
在△DPM 和△EPN 中,
$\begin{cases} ∠ PMD = ∠ PNE,\\ ∠ PDM = ∠ PEN,\\ PM = PN, \end{cases}$
∴ △DPM≌△EPN(AAS).
∴ PD = PE.

【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的典型题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，学会通过作垂线构造全等三角形的常用辅助线方法，结合补角的性质找到全等的条件，进而推导线段相等关系。
【难度系数】
0.7