三角形
概念
与三角形有关的线段
三角形的三边关系：三角形两边的和①第三边，
三角形两边的差②第三边
三角形具有③
三角形的线、角平分线、高
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
三角形的内角与外角
三角形的内角和等于④
直角三角形的两个锐角⑤；有两个角⑥的三角形是直角三角形
三角形的外角等于与它不相邻的⑦的和

① 大于
② 小于
③ 稳定性
④ 180°
⑤ 互余
⑥ 互余
⑦ 两个内角

【分析】
本题是三角形基础概念识记类填空题，考察三角形章节核心基础知识点，解题时只需逐一回忆对应知识点匹配填空即可：首先回忆三角形三边关系内容对应①②空；再回忆三角形的特有特性填第③空；接着回忆三角形内角和定理填第④空，再回忆直角三角形的角的性质对应填⑤⑥空；最后回忆三角形外角定理填第⑦空。
【解析】
①根据三角形三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，因此填“大于”；
②根据三角形三边关系的推论：三角形任意两边的差小于第三边，因此填“小于”；
③稳定性是三角形特有的性质，因此填“稳定性”；
④根据三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°，因此填“180°”；
⑤直角三角形内角和为180°，减去直角的90°，剩余两个锐角的和为90°，即两个锐角互余，因此填“互余”；
⑥若三角形有两个角互余，说明这两个角的和为90°，可推出第三个角为180°-90°=90°，该三角形就是直角三角形，因此填“互余”；
⑦根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此填“两个内角”。
【答案】
①大于；②小于；③稳定性；④180°；⑤互余；⑥互余；⑦两个内角
【知识点】
三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，所考知识点都是三角形模块的核心基础内容，是后续开展三角形相关计算、证明的必备知识，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9

1. 如图，AD是△ABC的角平分线，若∠BAC = 30°，则∠BAD的度数为 ()

A.10°
B.15°
C.20°
D.60°

1. B

【分析】
解题时先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个相等的小角。题目中明确AD是△ABC的角平分线，说明AD平分∠BAC，因此要求∠BAD的度数，只需要用已知的∠BAC的度数除以2即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=30°$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}×30°=15°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，直接考查角平分线定义的应用，只要熟练掌握角平分线的基本概念，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.9

2. 如图,点O是$△ ABC$的重心,连接AO并延长,交BC于点D,则AD是 ()

A.$∠ BAC$的平分线
B.BC边上的高
C.BC边上的中线
D.以上都不正确

2. C

【分析】
解题时首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，因此过三角形任意一个顶点和重心的直线，与对边的交点一定是对边的中点，连接顶点和对边中点的线段就是三角形该边上的中线。再结合其余选项的定义判断：角平分线需满足平分对应内角，高需满足与对边垂直，本题均无相关条件，即可推导出正确答案。
【解析】
根据三角形重心的定义可知，三角形的重心是三角形三条中线的交点。
已知点O是△ABC的重心，因此过顶点A与重心O的直线AD交BC于点D时，D是BC的中点，所以AD是BC边上的中线。
题干未给出AD平分∠BAC、AD⊥BC的相关条件，因此A、B选项均不成立，排除A、B、D，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心的定义；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对三角形重心定义的掌握，解题的关键是明确重心与三角形中线的对应关系，日常学习中要注意区分三角形的中线、高、角平分线的概念，避免混淆。
【难度系数】
0.9

3. 在$△ ABC$中,若$∠ A=60°$,则$△ ABC$是 ()

A.锐角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.不能确定

3. D

【分析】
要判断三角形的形状，需要明确三角形最大内角的范围，或三个内角的具体情况。首先根据三角形内角和定理，已知∠A=60°可先算出剩余两个角的和，再分析剩余两个角的所有可能情况，就能判断是否能确定三角形类型。
【解析】
解：已知△ABC中∠A=60°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠B + ∠C = 180° - 60° = 120°
接下来分情况讨论：
1. 若∠B=90°，∠C=30°，此时△ABC是直角三角形；
2. 若∠B=100°，∠C=20°，此时△ABC是钝角三角形；
3. 若∠B=∠C=60°，此时△ABC是等边三角形，属于锐角三角形。
三种情况均有可能成立，因此仅靠∠A=60°这一个条件无法确定△ABC的形状。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题容易出现思维定式，误将60°角当作等边三角形的判定条件错选B，解题时要注意全面考虑所有可能的情况，不要漏解。
【难度系数】
0.7

4. 若等腰三角形的两边长分别是4 cm和5 cm，
则这个等腰三角形的周长是 （）

A.9 cm
B.13 cm
C.9 cm或13 cm
D.13 cm或14 cm

4. D

【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形两腰长度相等的性质，由于题目未明确给出4cm和5cm哪个是腰长哪个是底边长，因此需要分两种情况讨论：①4cm为腰长，5cm为底边长；②5cm为腰长，4cm为底边长。每种情况都需要先根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，若能构成再计算对应的周长，最后汇总结果即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为4cm时，三角形的三边长分别为4cm、4cm、5cm。
验证三边关系：$4+4=8＞5$，$4+5=9＞4$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$4+4+5=13\mathrm{cm}$。
② 当腰长为5cm时，三角形的三边长分别为5cm、5cm、4cm。
验证三边关系：$5+5=10＞4$，$5+4=9＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$5+5+4=14\mathrm{cm}$。
综上，这个等腰三角形的周长是13cm或14cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础题型，解题的关键是要有分类讨论的意识，避免漏算其中一种边长组合，同时要注意每种组合都需要验证是否符合三角形三边关系，排除无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.7

5. 如图，直线$a// b$，$∠ 1=63°$，$∠ B=45°$，则$∠ 2$的度数为（）

A.$105°$
B.$108°$
C.$117°$
D.$135°$

5. B

【分析】
解题时先结合平行线的性质找到与∠1相等的角，再利用三角形外角的性质计算∠2的度数。第一步，观察图形，直线a//b，AC是两条平行线的截线，可根据两直线平行同位角相等，得到∠BCD与∠1相等；第二步，发现∠2是△BCD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，将∠B与∠BCD相加即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b$，$∠ 1=63°$
∴ $∠ BCD = ∠ 1 = 63°$（两直线平行，同位角相等）
又
∵ $∠ 2$是$△ BCD$的外角，$∠ B=45°$
∴ $∠ 2 = ∠ B + ∠ BCD = 45° + 63° = 108°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是平行线性质与三角形外角性质的基础综合应用题，解题的关键是准确识别同位角、三角形外角与内角的位置关系，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.85

二、填空题
6. 若三角形的三边长为连续整数，且周长为24 cm，则它的最短边长为 cm.

6. 7

【分析】
解题时结合题目给出的“三边长为连续整数”“周长为24cm”两个条件思考：连续整数之间相差1，我们可以先设最短边的长度为未知数，用未知数表示出另外两条边的长度，再根据“三角形周长=三边长度之和”的公式列一元一次方程，求解后验证三边是否符合三角形三边关系，即可得到正确结果。
【解析】
设该三角形的最短边长为$ x $ cm，由于三边长为连续整数，因此另外两条边的长度分别为$ (x+1) $ cm、$ (x+2) $ cm。
根据三角形周长为24cm，列方程得：
$ x + (x+1) + (x+2) = 24 $
化简得：$ 3x + 3 = 24 $
移项计算得：$ 3x = 21 $
解得：$ x = 7 $
此时三边长为7cm、8cm、9cm，验证可知任意两边之和大于第三边，满足三角形三边关系，结果成立。
【答案】
7
【知识点】
一元一次方程的应用；三角形周长计算；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考察方程思想的应用，解题关键是结合连续整数的特点用未知数准确表示三边长度，代入周长公式求解即可，计算难度低，解题时可通过验证三边是否符合三角形构成条件避免疏漏。
【难度系数】
0.85

7. 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数为.

7. 15°

【分析】
解题第一步先明确一副三角板的固定内角度数：等腰直角三角板的三个内角为90°、45°、45°，含30°角的直角三角板的三个内角为90°、60°、30°。观察图形可发现，60°角是由45°角和∠α共同组成的，结合三角形外角的性质即可求出∠α的度数，也可直接通过两个已知锐角作差计算。
【解析】
由三角板的角度特征可知，图中叠放的两个锐角分别为60°和45°，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得$60°=45°+∠α$，因此$∠α=60°-45°=15°$。
【答案】
15°
【知识点】
三角板角度特征，角度计算，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心考查对三角板固定角度的记忆和对图形中角度关系的识别，解题时找准两个已知角和所求角的数量关系即可快速得到答案，是几何角度类的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 在$△ ABC$中，$∠ B + ∠ C = 2∠ A$，$∠ A: ∠ B = 4:5$，则$∠ C$的度数为。

8. 45°

【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°这一隐含定理，结合题目给出的∠B+∠C=2∠A的条件，可以先求出∠A的度数；再根据∠A与∠B的比例关系求出∠B的度数；最后利用三角形内角和减去∠A和∠B的度数，即可得到∠C的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，得$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
$\because ∠ B + ∠ C = 2∠ A$，
$\therefore$ 代入得：$∠ A + 2∠ A = 180°$，即$3∠ A = 180°$，
解得$∠ A = 60°$。
$\because ∠ A:∠ B = 4:5$，设$∠ A = 4x$，$∠ B = 5x$，
$\therefore 4x = 60°$，解得$x = 15°$，
$\therefore ∠ B = 5x = 5×15° = 75°$，
$\therefore ∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 75° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 比例的应用
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理，结合已知的角的数量关系逐步推导未知角的度数，计算过程简单，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8

9. 如图，把一张$\mathrm{Rt}△ ABC$纸片沿$DE$折叠，若$∠ 1 = 70°$，$∠ C = 90°$，则$∠ 2$的度数为.

9. 50°

【分析】
本题是三角形折叠类的角度计算问题，解题核心是利用折叠的性质得到对应角相等，再结合平角定义、三角形和四边形内角和定理逐步推导。首先根据折叠性质确定折叠后∠C'=∠C=90°，对应角∠CDE=∠C'DE、∠CED=∠C'ED；再利用平角性质求出∠CDE的度数，在Rt△CDE中求出∠CED的度数；最后结合四边形内角和求出∠2的度数即可。
【解析】
解：根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得：
$∠ C' = ∠ C = 90°$，$∠ CDE = ∠ C'DE$，$∠ CED = ∠ C'ED$。
由平角的定义，$∠ 1 + ∠ CDE + ∠ C'DE = 180°$，已知$∠1=70°$，代入得：
$∠ CDE = \frac{180° - ∠1}{2} = \frac{180° -70°}{2} =55°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ C=90°$，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ CED = 90° - ∠ CDE = 90° -55° =35°$，因此$∠ C'ED = ∠ CED=35°$。
可得$∠ C'EC = ∠ CED + ∠ C'ED = 35°+35°=70°$，再由平角定义得$∠ AEC' = 180° - ∠ C'EC = 180° -70°=110°$。
又$∠ ADC' = 180° - ∠1 = 180° -70°=110°$，四边形$ADC'E$内角和为$360°$，因此：
$∠2 = 360° - ∠ C' - ∠ ADC' - ∠ AEC' = 360° -90° -110° -110°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；四边形内角和定理
【点评】
本题主要考查折叠变换的性质和角度运算，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的特点，结合平角、多边形内角和的性质进行推导，是角度计算类的基础题型。
【难度系数】
0.7