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三、解答题
10. 如图,在$△ ABC$中,AE是边BC上的中线,$AD ⊥ BC$交BC于点D,F为AB的中点,连接EF.已知$AD=6$,$△ ABC$的面积为24.
(1)求CE的长;
(2)若$AE=7$,求$△ AEF$与$△ BEF$的周长差.
10. 如图,在$△ ABC$中,AE是边BC上的中线,$AD ⊥ BC$交BC于点D,F为AB的中点,连接EF.已知$AD=6$,$△ ABC$的面积为24.
(1)求CE的长;
(2)若$AE=7$,求$△ AEF$与$△ BEF$的周长差.
答案
10. 解:(1)
∵ AD⊥BC,AD = 6,△ABC 的面积为 24,
∴ $\frac{1}{2}BC ×6 =24. ∴ BC =8.$
∵ AE 是边 BC 上的中线,
∴ $CE = BE = \frac{1}{2}BC =4.$
(2)
∵ 点 F 为 AB 的中点,
∴ AF = BF.
∴ $C_{△AEF} - C_{△BEF} = (AE + AF + EF) - (BE + BF + EF) = AE - BE =7 -4 =3.$
∴ △AEF 与△BEF 的周长差为 3.
∵ AD⊥BC,AD = 6,△ABC 的面积为 24,
∴ $\frac{1}{2}BC ×6 =24. ∴ BC =8.$
∵ AE 是边 BC 上的中线,
∴ $CE = BE = \frac{1}{2}BC =4.$
(2)
∵ 点 F 为 AB 的中点,
∴ AF = BF.
∴ $C_{△AEF} - C_{△BEF} = (AE + AF + EF) - (BE + BF + EF) = AE - BE =7 -4 =3.$
∴ △AEF 与△BEF 的周长差为 3.
解析
【分析】
（1）要求CE的长，已知AE是BC边上的中线，可得CE=$\frac{1}{2}$BC，因此先求BC的长度即可。已知△ABC的面积和高AD，利用三角形面积公式代入数值就能算出BC，再根据中线性质求出CE。
（2）求两个三角形的周长差，先分别写出两个三角形的周长表达式，观察可知两个三角形有公共边EF，且F是AB中点，因此AF=BF，两个周长相减后相同项会抵消，仅剩AE与BE的差，代入已知AE的长度和第一问求出的BE长度即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ $AD⊥BC$，$AD = 6$，$△ABC$ 的面积为 24，
根据三角形面积公式可得 $\frac{1}{2} × BC × AD =24$，
代入$AD=6$，得 $\frac{1}{2} × BC × 6 =24$，
解得$BC=8$。
∵ AE 是边 BC 上的中线，
∴ $CE = BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 8 =4$。
(2)
∵ 点 F 为 AB 的中点，
∴ $AF = BF$。
△AEF的周长$C_{△AEF}=AE + AF + EF$，△BEF的周长$C_{△BEF}=BE + BF + EF$，
则$C_{△AEF} - C_{△BEF} = (AE + AF + EF) - (BE + BF + EF)$，
消去相等的$AF$和$BF$、公共边$EF$后，得$C_{△AEF} - C_{△BEF}=AE - BE$，
代入$AE=7$，$BE=4$，得$7-4=3$。
【答案】
(1) $CE$的长为4；
(2) $△AEF$与$△BEF$的周长差为3。
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积公式，周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式和中线的性质，第二问通过消去周长中的相同项可简化计算，无需额外求解未知边长。
【难度系数】
0.8
（1）要求CE的长，已知AE是BC边上的中线，可得CE=$\frac{1}{2}$BC，因此先求BC的长度即可。已知△ABC的面积和高AD，利用三角形面积公式代入数值就能算出BC，再根据中线性质求出CE。
（2）求两个三角形的周长差，先分别写出两个三角形的周长表达式，观察可知两个三角形有公共边EF，且F是AB中点，因此AF=BF，两个周长相减后相同项会抵消，仅剩AE与BE的差，代入已知AE的长度和第一问求出的BE长度即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ $AD⊥BC$，$AD = 6$，$△ABC$ 的面积为 24，
根据三角形面积公式可得 $\frac{1}{2} × BC × AD =24$，
代入$AD=6$，得 $\frac{1}{2} × BC × 6 =24$，
解得$BC=8$。
∵ AE 是边 BC 上的中线，
∴ $CE = BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 8 =4$。
(2)
∵ 点 F 为 AB 的中点，
∴ $AF = BF$。
△AEF的周长$C_{△AEF}=AE + AF + EF$，△BEF的周长$C_{△BEF}=BE + BF + EF$，
则$C_{△AEF} - C_{△BEF} = (AE + AF + EF) - (BE + BF + EF)$，
消去相等的$AF$和$BF$、公共边$EF$后，得$C_{△AEF} - C_{△BEF}=AE - BE$，
代入$AE=7$，$BE=4$，得$7-4=3$。
【答案】
(1) $CE$的长为4；
(2) $△AEF$与$△BEF$的周长差为3。
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积公式，周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式和中线的性质，第二问通过消去周长中的相同项可简化计算，无需额外求解未知边长。
【难度系数】
0.8
11. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ AGF = ∠ ABC$, $∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
(1)求证: $DE // BF$;
(2)若$BF$平分$∠ ABC$, $DE ⊥ AC$于点$E$, $∠ AGF = 84°$,求$∠ AFG$的度数.
(1)求证: $DE // BF$;
(2)若$BF$平分$∠ ABC$, $DE ⊥ AC$于点$E$, $∠ AGF = 84°$,求$∠ AFG$的度数.
答案
11. (1)证明:
∵ ∠AGF = ∠ABC,
∴ FG//BC.
∴ ∠1 = ∠DBF.
∵ ∠1 + ∠2 = 180°,
∴ ∠DBF + ∠2 = 180°.
∴ DE//BF.
(2)解:由(1)知 DE//BF,∠1 = ∠DBF.
∵ DE⊥AC,
∴ BF⊥AC.
∴ ∠AFB = 90°.
∵ ∠AGF = ∠ABC = 84°,BF 平分∠ABC,
∴ $∠DBF = \frac{1}{2}∠ABC =42°. ∴ ∠1 =42°.$
∴ ∠AFG = ∠AFB - ∠1 =48°.
∵ ∠AGF = ∠ABC,
∴ FG//BC.
∴ ∠1 = ∠DBF.
∵ ∠1 + ∠2 = 180°,
∴ ∠DBF + ∠2 = 180°.
∴ DE//BF.
(2)解:由(1)知 DE//BF,∠1 = ∠DBF.
∵ DE⊥AC,
∴ BF⊥AC.
∴ ∠AFB = 90°.
∵ ∠AGF = ∠ABC = 84°,BF 平分∠ABC,
∴ $∠DBF = \frac{1}{2}∠ABC =42°. ∴ ∠1 =42°.$
∴ ∠AFG = ∠AFB - ∠1 =48°.
解析
【分析】
(1)要证明$DE// BF$，可通过证明两直线被截形成的同旁内角互补实现。首先由$∠AGF=∠ABC$，根据同位角相等可得$FG// BC$，进而推出$∠1=∠DBF$；再结合已知$∠1+∠2=180°$，等量代换得到$∠DBF+∠2=180°$，即可判定$DE// BF$。
(2)求$∠AFG$的度数，首先由$DE⊥ AC$和(1)的平行结论，可得$BF⊥ AC$，即$∠AFB=90°$；再结合$∠AGF=∠ABC=84°$、$BF$平分$∠ABC$，求出$∠DBF$的度数，代入$∠1=∠DBF$得到$∠1$的度数，最后用$∠AFB$减去$∠1$即可得结果。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠AGF = ∠ABC$，
$\therefore FG// BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠1 = ∠DBF$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠1 + ∠2 = 180°$，
$\therefore ∠DBF + ∠2 = 180°$（等量代换），
$\therefore DE// BF$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)解：
由(1)知$DE// BF$，$∠1 = ∠DBF$，
$\because DE⊥ AC$，
$\therefore ∠DEC=90°$，
$\because DE// BF$，
$\therefore ∠AFB=∠DEC=90°$（两直线平行，同位角相等），即$BF⊥ AC$。
$\because ∠AGF = ∠ABC = 84°$，$BF$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠DBF = \frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×84°=42°$，
$\therefore ∠1=42°$，
$\therefore ∠AFG = ∠AFB - ∠1 = 90°-42°=48°$。
【答案】
(1)证明成立；
(2)$\boxed{48°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合已知条件灵活完成角的等量代换，需要熟练掌握平行线的判定定理、性质，以及角平分线、垂直相关性质的转化应用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$DE// BF$，可通过证明两直线被截形成的同旁内角互补实现。首先由$∠AGF=∠ABC$，根据同位角相等可得$FG// BC$，进而推出$∠1=∠DBF$；再结合已知$∠1+∠2=180°$，等量代换得到$∠DBF+∠2=180°$，即可判定$DE// BF$。
(2)求$∠AFG$的度数，首先由$DE⊥ AC$和(1)的平行结论，可得$BF⊥ AC$，即$∠AFB=90°$；再结合$∠AGF=∠ABC=84°$、$BF$平分$∠ABC$，求出$∠DBF$的度数，代入$∠1=∠DBF$得到$∠1$的度数，最后用$∠AFB$减去$∠1$即可得结果。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠AGF = ∠ABC$，
$\therefore FG// BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠1 = ∠DBF$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠1 + ∠2 = 180°$，
$\therefore ∠DBF + ∠2 = 180°$（等量代换），
$\therefore DE// BF$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)解：
由(1)知$DE// BF$，$∠1 = ∠DBF$，
$\because DE⊥ AC$，
$\therefore ∠DEC=90°$，
$\because DE// BF$，
$\therefore ∠AFB=∠DEC=90°$（两直线平行，同位角相等），即$BF⊥ AC$。
$\because ∠AGF = ∠ABC = 84°$，$BF$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠DBF = \frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×84°=42°$，
$\therefore ∠1=42°$，
$\therefore ∠AFG = ∠AFB - ∠1 = 90°-42°=48°$。
【答案】
(1)证明成立；
(2)$\boxed{48°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合已知条件灵活完成角的等量代换，需要熟练掌握平行线的判定定理、性质，以及角平分线、垂直相关性质的转化应用。
【难度系数】
0.7
12. 如图,将一块直角三角尺$DEF(∠D = 90°)$放置在锐角三角形$ABC$上,使得该三角尺的两条直角边$DE, DF$恰好分别经过点$B,C.$
(1)如图1,当点$D$在$△ ABC$内时,
①小明同学不断改变$∠A$的度数,探究的结果如下:
若$∠A = 30°$,则$∠ABD + ∠ACD = 60°$;
若$∠A = 50°$,则$∠ABD + ∠ACD = 40°$;
若$∠A = 70°$,则$∠ABD + ∠ACD =$
②请判断$∠ABD, ∠ACD$与$∠A$之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,当点$D$在$△ ABC$外,且在边$AC$的右侧时,$DE$与$AC$交于点$H$,请直接写出$∠ABD, ∠ACD$与$∠A$之间的数量关系.
(1)如图1,当点$D$在$△ ABC$内时,
①小明同学不断改变$∠A$的度数,探究的结果如下:
若$∠A = 30°$,则$∠ABD + ∠ACD = 60°$;
若$∠A = 50°$,则$∠ABD + ∠ACD = 40°$;
若$∠A = 70°$,则$∠ABD + ∠ACD =$
20
$°$.②请判断$∠ABD, ∠ACD$与$∠A$之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,当点$D$在$△ ABC$外,且在边$AC$的右侧时,$DE$与$AC$交于点$H$,请直接写出$∠ABD, ∠ACD$与$∠A$之间的数量关系.
答案
12. 解:(1)①20
②$∠ABD + ∠ACD = 90° - ∠A$. 理由如下:
在△ABC 中,$∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A$.
在△DBC 中,$∠DBC + ∠DCB = 90°$.
∴ $∠ABD + ∠ACD = ∠ABC + ∠ACB - (∠DBC + ∠DCB) = 180° - ∠A -90° =90° - ∠A$.
(2)$∠ABD - ∠ACD = 90° - ∠A$.
②$∠ABD + ∠ACD = 90° - ∠A$. 理由如下:
在△ABC 中,$∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A$.
在△DBC 中,$∠DBC + ∠DCB = 90°$.
∴ $∠ABD + ∠ACD = ∠ABC + ∠ACB - (∠DBC + ∠DCB) = 180° - ∠A -90° =90° - ∠A$.
(2)$∠ABD - ∠ACD = 90° - ∠A$.
解析
【分析】
(1)①解决本题可先利用三角形内角和定理，分别得到△ABC中∠ABC+∠ACB=180°-∠A，直角△DBC中∠DBC+∠DCB=90°，而∠ABD+∠ACD=(∠ABC-∠DBC)+(∠ACB-∠DCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠DBC+∠DCB)，代入∠A=70°即可算出结果；
②要推导∠ABD、∠ACD与∠A的普遍关系，沿用①的思路，将两个三角形的内角和作差，消去公共部分的∠DBC和∠DCB，即可得到三者的数量关系；
(2)当点D在△ABC外时，可利用三角形外角的性质，找到∠AHD分别与△ABH、△DCH内角的关系，整理即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)①已知∠A=70°，在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°，
∵△DEF是直角三角尺，∠D=90°，在△DBC中，∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=(∠ABC+∠ACB)-(∠DBC+∠DCB)=110°-90°=20°。
②数量关系：$\boldsymbol{∠ABD + ∠ACD = 90° - ∠A}$，理由如下：
在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$，
在Rt△DBC中，根据三角形内角和定理，$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ D = 90°$，
∴$∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC - ∠ DBC) + (∠ ACB - ∠ DCB) = (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB)$，
代入化简得：$∠ ABD + ∠ ACD = (180° - ∠ A) - 90° = 90° - ∠ A$。
(2)数量关系：$\boldsymbol{∠ABD - ∠ACD = 90° - ∠A}$，推导参考：
∵∠AHD是△ABH的外角，
∴∠AHD=∠A+∠ABD，
又
∵∠AHD也是△DCH的外角，
∴∠AHD=∠D+∠ACD=90°+∠ACD，
联立两式整理得∠ABD - ∠ACD = 90° - ∠A。
【答案】
(1)①$\boxed{20}$；
②$\boxed{∠ABD + ∠ACD = 90° - ∠A}$；
(2)$\boxed{∠ABD - ∠ACD = 90° - ∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算，三角形外角性质
【点评】
本题结合直角三角尺的特性，考查三角形内角和与外角性质的灵活应用，解题的关键是找准不同三角形中角的公共部分，通过和差转化建立未知角与已知角的关系，是三角形角度探究类的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1)①解决本题可先利用三角形内角和定理，分别得到△ABC中∠ABC+∠ACB=180°-∠A，直角△DBC中∠DBC+∠DCB=90°，而∠ABD+∠ACD=(∠ABC-∠DBC)+(∠ACB-∠DCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠DBC+∠DCB)，代入∠A=70°即可算出结果；
②要推导∠ABD、∠ACD与∠A的普遍关系，沿用①的思路，将两个三角形的内角和作差，消去公共部分的∠DBC和∠DCB，即可得到三者的数量关系；
(2)当点D在△ABC外时，可利用三角形外角的性质，找到∠AHD分别与△ABH、△DCH内角的关系，整理即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)①已知∠A=70°，在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°，
∵△DEF是直角三角尺，∠D=90°，在△DBC中，∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=(∠ABC+∠ACB)-(∠DBC+∠DCB)=110°-90°=20°。
②数量关系：$\boldsymbol{∠ABD + ∠ACD = 90° - ∠A}$，理由如下：
在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$，
在Rt△DBC中，根据三角形内角和定理，$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ D = 90°$，
∴$∠ ABD + ∠ ACD = (∠ ABC - ∠ DBC) + (∠ ACB - ∠ DCB) = (∠ ABC + ∠ ACB) - (∠ DBC + ∠ DCB)$，
代入化简得：$∠ ABD + ∠ ACD = (180° - ∠ A) - 90° = 90° - ∠ A$。
(2)数量关系：$\boldsymbol{∠ABD - ∠ACD = 90° - ∠A}$，推导参考：
∵∠AHD是△ABH的外角，
∴∠AHD=∠A+∠ABD，
又
∵∠AHD也是△DCH的外角，
∴∠AHD=∠D+∠ACD=90°+∠ACD，
联立两式整理得∠ABD - ∠ACD = 90° - ∠A。
【答案】
(1)①$\boxed{20}$；
②$\boxed{∠ABD + ∠ACD = 90° - ∠A}$；
(2)$\boxed{∠ABD - ∠ACD = 90° - ∠A}$
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算，三角形外角性质
【点评】
本题结合直角三角尺的特性，考查三角形内角和与外角性质的灵活应用，解题的关键是找准不同三角形中角的公共部分，通过和差转化建立未知角与已知角的关系，是三角形角度探究类的典型题型。
【难度系数】
0.7
