登录
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
【主题】探究平面图形的重心
【素材】一张任意四边形纸板
步骤1:如图1,连接四边形ABCD的一条对角线AC,将四边形ABCD分成两个三角形(即△ABC,△ACD),分别作△ABC,△ACD的重心(三角形三条中线的交点)为$G_1$和$G_2$;
步骤2:如图1,连接四边形ABCD的另一条对角线BD,将四边形ABCD分成两个三角形(即△ABD,△BCD),分别作△ABD,△BCD的重心(三角形三条中线的交点)为$G_3$和$G_4$;
步骤3:连接$G_1G_2$,$G_3G_4$,两线段交于点G,则点G就是四边形ABCD的重心.
猜想与操作:(1)请你按照上面的步骤作出如图2所示的平行四边形ABCD的重心G;
(2)根据(1)中的作图,我们发现点G是平行四边形ABCD的对角线AC和BD的交点,请你用所学知识说明$G_1G_2=\frac{1}{3}BD$.
(提示:平行四边形两条对角线的交点也是这两条对角线的中点)
【主题】探究平面图形的重心
【素材】一张任意四边形纸板
步骤1:如图1,连接四边形ABCD的一条对角线AC,将四边形ABCD分成两个三角形(即△ABC,△ACD),分别作△ABC,△ACD的重心(三角形三条中线的交点)为$G_1$和$G_2$;
步骤2:如图1,连接四边形ABCD的另一条对角线BD,将四边形ABCD分成两个三角形(即△ABD,△BCD),分别作△ABD,△BCD的重心(三角形三条中线的交点)为$G_3$和$G_4$;
步骤3:连接$G_1G_2$,$G_3G_4$,两线段交于点G,则点G就是四边形ABCD的重心.
猜想与操作:(1)请你按照上面的步骤作出如图2所示的平行四边形ABCD的重心G;
(2)根据(1)中的作图,我们发现点G是平行四边形ABCD的对角线AC和BD的交点,请你用所学知识说明$G_1G_2=\frac{1}{3}BD$.
(提示:平行四边形两条对角线的交点也是这两条对角线的中点)
答案
1. 如图1,重心G即为所求. (点E,F,N,M分别为AB,BC,CD,AD的中点)，作图结果见
2. 如图2,连接AF,CE,则AF,CE,BG为△ABC的三条中线.
∴ $S_{△ ABF}=S_{△ ACF}$.
∴ 点B,C到AF的距离相等.
∴ $S_{△ ABG_1}=S_{△ ACG_1}$.
同理可得$S_{△ CBG_1}=S_{△ ACG_1}$,$S_{△ ABG_1}=S_{△ CBG_1}$.
∴ $S_{△ ABG_1}=S_{△ ACG_1}=S_{△ CBG_1}$.
∵ 点E,F,G分别为AB,BC,AC的中点，
∴ $G_1E,G_1F,G_1G$分别为$△ ABG_1$,$△ BCG_1$,$△ ACG_1$的中线.
∴ $S_{△ AEG_1}=S_{△ BEG_1}=S_{△ BFG_1}=S_{△ CFG_1}=S_{△ CGG_1}=S_{△ AGG_1}$.
∴ $S_{△ AGG_1}=\frac{1}{3}S_{△ ABG}$.
又
∵ $△ AGG_1$与$△ ABG$是同高三角形,
∴ $GG_1=\frac{1}{3}BG$.
同理可得$GG_2=\frac{1}{3}DG$.
∵ 点G是对角线AC和BD的交点,
∴ $BG=\frac{1}{2}BD$,$DG=\frac{1}{2}BD$.
∴ $GG_1=\frac{1}{3}BG=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BD=\frac{1}{6}BD$,$GG_2=\frac{1}{3}DG=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BD=\frac{1}{6}BD$.
∴ $G_1G_2=GG_1+GG_2=\frac{1}{6}BD+\frac{1}{6}BD=\frac{1}{3}BD$.
解析
【分析】
(1) 作图类问题按照题干给出的步骤操作即可：先取平行四边形各边中点，连接对角线将平行四边形分成两组三角形，分别作出每组三角形的重心，连接两组重心得到的交点就是平行四边形的重心G。
(2) 要证明$G_1G_2=\frac{1}{3}BD$，首先结合三角形重心、中线的性质，推导得到重心分中线的长度关系，再利用平行四边形对角线互相平分的性质，分别求出$GG_1$、$GG_2$与BD的数量关系，最后根据$G_1$、G、$G_2$三点共线，将两段长度相加即可得到结论。
【解析】
(1) 作图步骤：①分别取AB中点E、BC中点F、CD中点N、AD中点M；②连接AF、CE交于$G_1$（即△ABC的重心），连接AN、CM交于$G_2$（即△ACD的重心），连接EM、BN交于$G_3$（即△ABD的重心），连接FN、DM交于$G_4$（即△BCD的重心）；③连接$G_1G_2$、$G_3G_4$，两线段的交点即为所求的重心G。
(2) 证明：
连接AF、CE，二者是△ABC的两条中线，交点$G_1$为△ABC的重心。
∵三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，
∴$S_{△ABF}=S_{△ACF}$，$S_{△BEC}=S_{△AEC}$，
由此可推得$S_{△ABG_1}=S_{△ACG_1}=S_{△CBG_1}$。
∵平行四边形对角线的交点G是AC的中点，
∴$G_1G$是△$ACG_1$的中线，
∴$S_{△AGG_1}=S_{△CGG_1}=\frac{1}{2}S_{△ACG_1}=\frac{1}{6}S_{△ABC}$，
又$S_{△ABG}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，且△$AGG_1$和△$ABG$同高，三角形面积比等于对应底的比，
∴$\frac{GG_1}{BG}=\frac{S_{△AGG_1}}{S_{△ABG}}=\frac{\frac{1}{6}S_{△ABC}}{\frac{1}{2}S_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，即$GG_1=\frac{1}{3}BG$。
同理可证$GG_2=\frac{1}{3}DG$。
∵平行四边形对角线互相平分，
∴$BG=DG=\frac{1}{2}BD$，
∴$GG_1=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BD=\frac{1}{6}BD$，$GG_2=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BD=\frac{1}{6}BD$，
又$G_1$、G、$G_2$三点共线，
∴$G_1G_2=GG_1+GG_2=\frac{1}{6}BD+\frac{1}{6}BD=\frac{1}{3}BD$，得证。
【答案】
(1) 如图1，重心G即为所求. (点E,F,N,M分别为AB,BC,CD,AD的中点)，作图结果见
(2) $G_1G_2=\frac{1}{3}BD$，证明如上。
【知识点】
三角形重心的性质，平行四边形的性质，三角形中线的性质
【点评】
本题将动手操作和逻辑证明结合，既考查了几何作图能力，也考查了三角形、平行四边形相关性质的综合运用能力，能帮助学生理解平面图形重心的确定方法，提升几何直观和逻辑推理素养。
【难度系数】
0.6
(1) 作图类问题按照题干给出的步骤操作即可：先取平行四边形各边中点，连接对角线将平行四边形分成两组三角形，分别作出每组三角形的重心，连接两组重心得到的交点就是平行四边形的重心G。
(2) 要证明$G_1G_2=\frac{1}{3}BD$，首先结合三角形重心、中线的性质，推导得到重心分中线的长度关系，再利用平行四边形对角线互相平分的性质，分别求出$GG_1$、$GG_2$与BD的数量关系，最后根据$G_1$、G、$G_2$三点共线，将两段长度相加即可得到结论。
【解析】
(1) 作图步骤：①分别取AB中点E、BC中点F、CD中点N、AD中点M；②连接AF、CE交于$G_1$（即△ABC的重心），连接AN、CM交于$G_2$（即△ACD的重心），连接EM、BN交于$G_3$（即△ABD的重心），连接FN、DM交于$G_4$（即△BCD的重心）；③连接$G_1G_2$、$G_3G_4$，两线段的交点即为所求的重心G。
(2) 证明：
连接AF、CE，二者是△ABC的两条中线，交点$G_1$为△ABC的重心。
∵三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，
∴$S_{△ABF}=S_{△ACF}$，$S_{△BEC}=S_{△AEC}$，
由此可推得$S_{△ABG_1}=S_{△ACG_1}=S_{△CBG_1}$。
∵平行四边形对角线的交点G是AC的中点，
∴$G_1G$是△$ACG_1$的中线，
∴$S_{△AGG_1}=S_{△CGG_1}=\frac{1}{2}S_{△ACG_1}=\frac{1}{6}S_{△ABC}$，
又$S_{△ABG}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，且△$AGG_1$和△$ABG$同高，三角形面积比等于对应底的比，
∴$\frac{GG_1}{BG}=\frac{S_{△AGG_1}}{S_{△ABG}}=\frac{\frac{1}{6}S_{△ABC}}{\frac{1}{2}S_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，即$GG_1=\frac{1}{3}BG$。
同理可证$GG_2=\frac{1}{3}DG$。
∵平行四边形对角线互相平分，
∴$BG=DG=\frac{1}{2}BD$，
∴$GG_1=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BD=\frac{1}{6}BD$，$GG_2=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BD=\frac{1}{6}BD$，
又$G_1$、G、$G_2$三点共线，
∴$G_1G_2=GG_1+GG_2=\frac{1}{6}BD+\frac{1}{6}BD=\frac{1}{3}BD$，得证。
【答案】
(1) 如图1，重心G即为所求. (点E,F,N,M分别为AB,BC,CD,AD的中点)，作图结果见
(2) $G_1G_2=\frac{1}{3}BD$，证明如上。
【知识点】
三角形重心的性质，平行四边形的性质，三角形中线的性质
【点评】
本题将动手操作和逻辑证明结合，既考查了几何作图能力，也考查了三角形、平行四边形相关性质的综合运用能力，能帮助学生理解平面图形重心的确定方法，提升几何直观和逻辑推理素养。
【难度系数】
0.6
