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知识点三 二次函数 $ y=a(x-h)^2+k $ 的图象和性质
抛物线 $ y=a(x-h)^2+k $ 与 $ y=ax^2 $ 形状相同，位置不同.
把抛物线 $ y=ax^2 $ 向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线 $ y=a(x-h)^2+k $. 平移的方向、距离要根据
抛物线 $ y=a(x-h)^2+k $ 有如下特点：
（1）当 $ a＞0 $ 时，开口
（2）对称轴是
（3）顶点是
从二次函数 $ y=a(x-h)^2+k $ 的图象可以看出：如果 $ a＞0 $，那么当 $ x＜h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，当 $ x＞h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，当 $ x=h $ 时，$ y $ 取最小值，最小值为 $ k $；如果 $ a＜0 $，那么当 $ x＜h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，当 $ x＞h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，当 $ x=h $ 时，$ y $ 取最大值，最大值为 $ k $.
抛物线 $ y=a(x-h)^2+k $ 与 $ y=ax^2 $ 形状相同，位置不同.
把抛物线 $ y=ax^2 $ 向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线 $ y=a(x-h)^2+k $. 平移的方向、距离要根据
h, k
的值来决定.抛物线 $ y=a(x-h)^2+k $ 有如下特点：
（1）当 $ a＞0 $ 时，开口
向上
；当 $ a＜0 $ 时，开口向下
.（2）对称轴是
$x=h$
.（3）顶点是
$(h, k)$
.从二次函数 $ y=a(x-h)^2+k $ 的图象可以看出：如果 $ a＞0 $，那么当 $ x＜h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，当 $ x＞h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，当 $ x=h $ 时，$ y $ 取最小值，最小值为 $ k $；如果 $ a＜0 $，那么当 $ x＜h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，当 $ x＞h $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，当 $ x=h $ 时，$ y $ 取最大值，最大值为 $ k $.
答案
平移的方向、距离要根据h, k的值来决定
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下
（2）对称轴是x=h
（3）顶点是(h, k)
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下
（2）对称轴是x=h
（3）顶点是(h, k)
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，其中左右平移对应参数h的变化，上下平移对应参数k的变化，因此平移的方向和距离由h、k决定；再结合二次函数顶点式的性质：二次项系数a决定抛物线的开口方向，a为正开口向上，a为负开口向下；顶点式中对称轴、顶点坐标可直接由参数h、k得到，对称轴是过顶点且平行于y轴的直线，顶点坐标由h、k共同组成。
【解析】
1. 平移规律：将抛物线$y=ax^2$平移得到$y=a(x-h)^2+k$时，左右平移的方向和距离由h决定（h＞0向右移h个单位，h＜0向左移|h|个单位），上下平移的方向和距离由k决定（k＞0向上移k个单位，k＜0向下移|k|个单位），因此平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。
2. 开口方向：二次项系数a决定抛物线开口方向，当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴是直线$x=h$。
4. 顶点坐标：顶点式对应的顶点就是函数取得最值的点，坐标为$(h,k)$。
【答案】
平移的方向、距离要根据h, k的值来决定
（1）当$a＞0$时，开口向上；当$a＜0$时，开口向下
（2）对称轴是$x=h$
（3）顶点是$(h, k)$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移；抛物线基本特征
【点评】
本题是对二次函数顶点式基础知识点的考查，属于识记类基础题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象性质和平移规律，就能快速准确完成解答，这类基础概念是后续解决二次函数综合问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，其中左右平移对应参数h的变化，上下平移对应参数k的变化，因此平移的方向和距离由h、k决定；再结合二次函数顶点式的性质：二次项系数a决定抛物线的开口方向，a为正开口向上，a为负开口向下；顶点式中对称轴、顶点坐标可直接由参数h、k得到，对称轴是过顶点且平行于y轴的直线，顶点坐标由h、k共同组成。
【解析】
1. 平移规律：将抛物线$y=ax^2$平移得到$y=a(x-h)^2+k$时，左右平移的方向和距离由h决定（h＞0向右移h个单位，h＜0向左移|h|个单位），上下平移的方向和距离由k决定（k＞0向上移k个单位，k＜0向下移|k|个单位），因此平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。
2. 开口方向：二次项系数a决定抛物线开口方向，当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴是直线$x=h$。
4. 顶点坐标：顶点式对应的顶点就是函数取得最值的点，坐标为$(h,k)$。
【答案】
平移的方向、距离要根据h, k的值来决定
（1）当$a＞0$时，开口向上；当$a＜0$时，开口向下
（2）对称轴是$x=h$
（3）顶点是$(h, k)$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移；抛物线基本特征
【点评】
本题是对二次函数顶点式基础知识点的考查，属于识记类基础题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象性质和平移规律，就能快速准确完成解答，这类基础概念是后续解决二次函数综合问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
例3 已知函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$.
（1）函数图象的开口________，对称轴是________，顶点坐标为________；
（2）当$x$______时，$y$随$x$的增大而减小；
（3）怎样平移抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$，可以得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$？
解（1）向下 $x=4$ $(4,-1)$
（2）$＞4$
（3）把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$. 也可以先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度.
—特别提醒
对于抛物线 $y=a(x-h)^2+k$，当$a＞0$时，顶点$(h,k)$是抛物线的最低点；当$a＜0$时，顶点$(h,k)$是抛物线的最高点.
（1）函数图象的开口________，对称轴是________，顶点坐标为________；
（2）当$x$______时，$y$随$x$的增大而减小；
（3）怎样平移抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$，可以得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$？
解（1）向下 $x=4$ $(4,-1)$
（2）$＞4$
（3）把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$. 也可以先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度.
—特别提醒
对于抛物线 $y=a(x-h)^2+k$，当$a＞0$时，顶点$(h,k)$是抛物线的最低点；当$a＜0$时，顶点$(h,k)$是抛物线的最高点.
答案
1. 向下，对称轴是x=4，顶点坐标为(4,-1)
2. ＞4
3. 把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$. 也可以先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度.
2. ＞4
3. 把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$. 也可以先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质与图象平移规律，解题思路如下：1. 先明确顶点式中参数$a$、$h$、$k$的意义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，由此解决第（1）问；2. 结合开口方向判断增减性：开口向下时，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，即可解决第（2）问；3. 依据“左加右减（针对自变量$x$）、上加下减（针对常数项）”的平移规则，对比两个抛物线的参数差异，就能得出平移方式，解决第（3）问。
【解析】
（1）已知函数为顶点式$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$，其中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此函数图象开口向下；根据顶点式性质，对称轴为直线$x=h=4$，顶点坐标为$(h,k)=(4,-1)$。
（2）由于抛物线开口向下，在对称轴右侧的图象上，$y$随$x$的增大而减小，结合对称轴为$x=4$，可得当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而减小。
（3）根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律：将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的自变量$x$替换为$x-4$，对应向右平移4个单位长度，得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2$；再在表达式整体后减1，对应向下平移1个单位长度，即可得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$。由于水平平移和竖直平移的顺序互不影响，也可以先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度。
【答案】
（1）向下，$x=4$，$(4,-1)$
（2）$＞4$
（3）把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$。也可以先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察对顶点式各参数含义和平移规则的理解与记忆，熟练掌握相关结论即可快速求解，是学习二次函数相关知识的必备基础内容。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质与图象平移规律，解题思路如下：1. 先明确顶点式中参数$a$、$h$、$k$的意义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，由此解决第（1）问；2. 结合开口方向判断增减性：开口向下时，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，即可解决第（2）问；3. 依据“左加右减（针对自变量$x$）、上加下减（针对常数项）”的平移规则，对比两个抛物线的参数差异，就能得出平移方式，解决第（3）问。
【解析】
（1）已知函数为顶点式$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$，其中$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此函数图象开口向下；根据顶点式性质，对称轴为直线$x=h=4$，顶点坐标为$(h,k)=(4,-1)$。
（2）由于抛物线开口向下，在对称轴右侧的图象上，$y$随$x$的增大而减小，结合对称轴为$x=4$，可得当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而减小。
（3）根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律：将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的自变量$x$替换为$x-4$，对应向右平移4个单位长度，得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2$；再在表达式整体后减1，对应向下平移1个单位长度，即可得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$。由于水平平移和竖直平移的顺序互不影响，也可以先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度。
【答案】
（1）向下，$x=4$，$(4,-1)$
（2）$＞4$
（3）把抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以得到抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2-1$。也可以先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察对顶点式各参数含义和平移规则的理解与记忆，熟练掌握相关结论即可快速求解，是学习二次函数相关知识的必备基础内容。
【难度系数】
0.85
