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1. 函数$y=-x^2+3$的最大值是 （
A.0
B.3
C.$-3$
D.没有最大值
B
）A.0
B.3
C.$-3$
D.没有最大值
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查二次函数的最值求解，解题思路如下：第一步先识别函数类型，这是二次函数，首先看二次项系数的符号判断开口方向：若二次项系数a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；若a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标。第二步确定该函数的顶点坐标，代入即可得到最大值。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+3$，其二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象为开口向下的抛物线，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标。
该函数的顶点坐标为$(0,3)$，因此当$x=0$时，$y$取得最大值$3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的图象性质
2. 二次函数的最值计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次函数开口方向与最值的对应关系，熟练掌握二次函数顶点坐标的求法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的最值求解，解题思路如下：第一步先识别函数类型，这是二次函数，首先看二次项系数的符号判断开口方向：若二次项系数a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；若a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标。第二步确定该函数的顶点坐标，代入即可得到最大值。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+3$，其二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象为开口向下的抛物线，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标。
该函数的顶点坐标为$(0,3)$，因此当$x=0$时，$y$取得最大值$3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的图象性质
2. 二次函数的最值计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次函数开口方向与最值的对应关系，熟练掌握二次函数顶点坐标的求法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 关于二次函数 $ y=-2x^2 $ 与 $ y=\frac{1}{2}x^2 +3 $ 的图象，下列说法正确的是 （
A.开口大小相同
B.开口方向相同
C.对称轴相同
D.顶点相同
C
）A.开口大小相同
B.开口方向相同
C.对称轴相同
D.顶点相同
答案
2. C
解析
【分析】
要判断两个二次函数图象的相关性质是否一致，需先回忆二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：$a$的符号决定开口方向，$\vert a\vert$的大小决定开口大小，对称轴恒为$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,k)$。我们只需分别确定两个函数的对应参数，逐一比对选项即可得出结论。
【解析】
先分别分析两个二次函数的性质：
1. 对于$y=-2x^2$：$a=-2＜0$，开口向下；$\vert a\vert=2$；对称轴为$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,0)$。
2. 对于$y=\frac{1}{2}x^2+3$：$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上；$\vert a\vert=\frac{1}{2}$；对称轴为$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,3)$。
逐一判断选项：
A. 开口大小由$\vert a\vert$决定，两个函数$\vert a\vert$不相等，开口大小不同，A错误；
B. 两个函数$a$的符号一负一正，开口方向一向下一向上，方向不同，B错误；
C. 两个函数的对称轴均为$x=0$（y轴），对称轴相同，C正确；
D. 两个函数顶点坐标分别为$(0,0)$和$(0,3)$，顶点不同，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数开口判断；二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题考查二次函数基础性质的应用，只需牢记参数$a$、$k$对应的图象特征，就能快速分辨各项性质的异同，是对基础概念掌握情况的考查。
【难度系数】
0.8
要判断两个二次函数图象的相关性质是否一致，需先回忆二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：$a$的符号决定开口方向，$\vert a\vert$的大小决定开口大小，对称轴恒为$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,k)$。我们只需分别确定两个函数的对应参数，逐一比对选项即可得出结论。
【解析】
先分别分析两个二次函数的性质：
1. 对于$y=-2x^2$：$a=-2＜0$，开口向下；$\vert a\vert=2$；对称轴为$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,0)$。
2. 对于$y=\frac{1}{2}x^2+3$：$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上；$\vert a\vert=\frac{1}{2}$；对称轴为$x=0$（y轴）；顶点坐标为$(0,3)$。
逐一判断选项：
A. 开口大小由$\vert a\vert$决定，两个函数$\vert a\vert$不相等，开口大小不同，A错误；
B. 两个函数$a$的符号一负一正，开口方向一向下一向上，方向不同，B错误；
C. 两个函数的对称轴均为$x=0$（y轴），对称轴相同，C正确；
D. 两个函数顶点坐标分别为$(0,0)$和$(0,3)$，顶点不同，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数开口判断；二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题考查二次函数基础性质的应用，只需牢记参数$a$、$k$对应的图象特征，就能快速分辨各项性质的异同，是对基础概念掌握情况的考查。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数$y=x^2+1$的图象大致是（
B
）答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，可按照两步法思考：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，排除开口方向错误的选项；第二步再结合函数的常数项，判断抛物线与y轴的交点（或顶点坐标），排除剩余的错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的C、D选项；
2. 函数中一次项系数$b=0$，因此抛物线对称轴为$x=0$（即y轴），常数项$c=1$，因此抛物线与y轴交点为$(0,1)$，也就是顶点坐标为$(0,1)$，A选项与y轴交于$(0,-1)$，不符合要求，排除A。
综上，只有B选项的图象符合该二次函数的特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数开口判断；二次函数与y轴交点
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，主要考察二次函数各项系数与图象特征的对应关系，解题时通过开口方向、特殊点坐标两个维度快速排除错误选项即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，可按照两步法思考：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，排除开口方向错误的选项；第二步再结合函数的常数项，判断抛物线与y轴的交点（或顶点坐标），排除剩余的错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=x^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的C、D选项；
2. 函数中一次项系数$b=0$，因此抛物线对称轴为$x=0$（即y轴），常数项$c=1$，因此抛物线与y轴交点为$(0,1)$，也就是顶点坐标为$(0,1)$，A选项与y轴交于$(0,-1)$，不符合要求，排除A。
综上，只有B选项的图象符合该二次函数的特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数开口判断；二次函数与y轴交点
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，主要考察二次函数各项系数与图象特征的对应关系，解题时通过开口方向、特殊点坐标两个维度快速排除错误选项即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
4. 已知$y$关于$x$的二次函数$y=-x^2 + 2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
减小
（填“增大”或“减小”.）答案
4. 减小
解析
【分析】
要判断x＞0时y随x的变化情况，需结合二次函数的性质分析：首先根据二次函数解析式确定开口方向，再找到对称轴，最后判断给定区间在对称轴的哪一侧，结合开口方向即可得出增减性。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 + 2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数没有一次项，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的增减性规律，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断x＞0时y随x的变化情况，需结合二次函数的性质分析：首先根据二次函数解析式确定开口方向，再找到对称轴，最后判断给定区间在对称轴的哪一侧，结合开口方向即可得出增减性。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 + 2$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 该函数没有一次项，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的增减性规律，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 与y轴交于点A，过点A作平行于x轴的直线，与抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 分别交于点B，C，求线段BC的长。
答案
5. 6
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步先确定点A的坐标，点A是抛物线$y=ax^2+3$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，代入解析式即可求出A的纵坐标；第二步，因为BC过点A且平行于x轴，可知B、C两点的纵坐标与A的纵坐标相同，将该纵坐标代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$，即可求出B、C两点的横坐标；第三步，平行于x轴的线段长度为两点横坐标差的绝对值，代入计算即可得到BC的长。
【解析】
1. 求点A的坐标：
当$x=0$时，代入$y=ax^2+3$，得$y=3$，因此点A的坐标为$(0,3)$。
2. 确定直线BC的解析式：
因为BC过点A且平行于x轴，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，所以直线BC的解析式为$y=3$。
3. 求B、C两点的坐标：
将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x_1=3$，$x_2=-3$，因此点B坐标为$(-3,3)$，点C坐标为$(3,3)$。
4. 计算线段BC的长度：
纵坐标相同的两点距离为横坐标差的绝对值，因此$BC=|3-(-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；平行于坐标轴的直线的坐标特征
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用“平行于x轴的直线上点的纵坐标相等”这一性质，结合二次函数图象上点的坐标满足解析式的特点求解，掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题可分三步思考：第一步先确定点A的坐标，点A是抛物线$y=ax^2+3$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，代入解析式即可求出A的纵坐标；第二步，因为BC过点A且平行于x轴，可知B、C两点的纵坐标与A的纵坐标相同，将该纵坐标代入抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$，即可求出B、C两点的横坐标；第三步，平行于x轴的线段长度为两点横坐标差的绝对值，代入计算即可得到BC的长。
【解析】
1. 求点A的坐标：
当$x=0$时，代入$y=ax^2+3$，得$y=3$，因此点A的坐标为$(0,3)$。
2. 确定直线BC的解析式：
因为BC过点A且平行于x轴，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，所以直线BC的解析式为$y=3$。
3. 求B、C两点的坐标：
将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x_1=3$，$x_2=-3$，因此点B坐标为$(-3,3)$，点C坐标为$(3,3)$。
4. 计算线段BC的长度：
纵坐标相同的两点距离为横坐标差的绝对值，因此$BC=|3-(-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；平行于坐标轴的直线的坐标特征
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用“平行于x轴的直线上点的纵坐标相等”这一性质，结合二次函数图象上点的坐标满足解析式的特点求解，掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 抛物线$y=-(x+1)^2$的开口
向下
，对称轴是$x=-1$
，顶点坐标是$(-1, 0)$
，在对称轴左侧，y随x的增大而增大
。答案
6. 向下 x=-1 (-1, 0) 增大
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的核心性质：1. $a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$；3. 顶点坐标为$(h,k)$；4. 开口向下的抛物线，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小。接下来将题中解析式转化为标准顶点式形式，对应找到$a、h、k$的取值，再逐一对应性质求解即可。
【解析】
将抛物线解析式$y=-(x+1)^2$变形为标准顶点式：$y=-1×[x-(-1)]^2+0$，可得参数$a=-1$，$h=-1$，$k=0$。
1. 开口方向：因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下；
2. 对称轴：根据顶点式性质，对称轴为直线$x=h=-1$；
3. 顶点坐标：代入$h、k$的取值，得顶点坐标为$(-1,0)$；
4. 增减性：由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
向下；x=-1；(-1, 0)；增大
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式的基本特征，熟练记忆顶点式中各参数对应的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的核心性质：1. $a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$；3. 顶点坐标为$(h,k)$；4. 开口向下的抛物线，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小。接下来将题中解析式转化为标准顶点式形式，对应找到$a、h、k$的取值，再逐一对应性质求解即可。
【解析】
将抛物线解析式$y=-(x+1)^2$变形为标准顶点式：$y=-1×[x-(-1)]^2+0$，可得参数$a=-1$，$h=-1$，$k=0$。
1. 开口方向：因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下；
2. 对称轴：根据顶点式性质，对称轴为直线$x=h=-1$；
3. 顶点坐标：代入$h、k$的取值，得顶点坐标为$(-1,0)$；
4. 增减性：由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
向下；x=-1；(-1, 0)；增大
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式的基本特征，熟练记忆顶点式中各参数对应的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7. 顶点是（2，0），且与抛物线$y=-3x^2$的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为
$y=-3(x-2)^2$
。答案
7. $y=-3(x-2)^2$
解析
【分析】
要确定该抛物线的解析式，首先回忆二次函数的性质：两个抛物线形状、开口方向完全相同时，二次项系数a相等；其次已知抛物线的顶点坐标，优先选用顶点式来写解析式，顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），接下来只需要把a的值和顶点坐标代入顶点式化简即可。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
因为所求抛物线与$y=-3x^2$的形状、开口方向都相同，所以二次项系数$a=-3$。
2. 代入顶点式计算：
已知抛物线顶点为$(2,0)$，对应顶点式中的$h=2$，$k=0$，将$a=-3$、$h=2$、$k=0$代入顶点式得：
$y=-3(x-2)^2+0$，化简后为$y=-3(x-2)^2$。
【答案】
$y=-3(x-2)^2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是明确“形状和开口方向相同的抛物线二次项系数相等”的性质，同时要注意顶点式中h的符号，避免出现符号写反的错误。
【难度系数】
0.8
要确定该抛物线的解析式，首先回忆二次函数的性质：两个抛物线形状、开口方向完全相同时，二次项系数a相等；其次已知抛物线的顶点坐标，优先选用顶点式来写解析式，顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），接下来只需要把a的值和顶点坐标代入顶点式化简即可。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
因为所求抛物线与$y=-3x^2$的形状、开口方向都相同，所以二次项系数$a=-3$。
2. 代入顶点式计算：
已知抛物线顶点为$(2,0)$，对应顶点式中的$h=2$，$k=0$，将$a=-3$、$h=2$、$k=0$代入顶点式得：
$y=-3(x-2)^2+0$，化简后为$y=-3(x-2)^2$。
【答案】
$y=-3(x-2)^2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是明确“形状和开口方向相同的抛物线二次项系数相等”的性质，同时要注意顶点式中h的符号，避免出现符号写反的错误。
【难度系数】
0.8
