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8. 已知 $ a＞0 $，设函数 $ y_1 = a(x-1)^2 $，$ y_2 = a(x-2)^2 $，$ y_3 = a(x-3)^2 $。直线 $ x=m $ 与函数 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的图象分别交于点 $ A(m, c_1) $，$ B(m, c_2) $，$ C(m, c_3) $。若 $ c_2 ＜ c_3 ＜ c_1 $，求 $ m $ 的取值范围。
答案
$2＜m＜\frac{5}{2}$
解析
【分析】
首先，函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，因此$c_1$、$c_2$、$c_3$可分别表示为$x=m$代入三个二次函数后的函数值。已知$a＞0$，我们可以将$c_2＜c_3＜c_1$的大小关系转化为关于$m$的不等式组，利用不等式的性质消去正数$a$后，分别解两个一元一次不等式，最后取两个解集的公共部分即可得到$m$的取值范围。
【解析】
由题意得：
$c_1=a(m-1)^2$，$c_2=a(m-2)^2$，$c_3=a(m-3)^2$
∵ $a＞0$，不等式两边同时除以正数$a$，不等号方向不变，
∴ $c_2 ＜ c_3 ＜ c_1$ 可转化为不等式组：
$\begin{cases}a(m-2)^2 ＜ a(m-3)^2 \\a(m-3)^2 ＜ a(m-1)^2\end{cases}$
约去$a$后得：
$\begin{cases}(m-2)^2 ＜ (m-3)^2 ① \\(m-3)^2 ＜ (m-1)^2 ②\end{cases}$
解不等式①：
展开得 $m^2 -4m +4 ＜ m^2 -6m +9$
移项合并同类项得：$2m ＜ 5$
解得：$m ＜ \frac{5}{2}$
解不等式②：
展开得 $m^2 -6m +9 ＜ m^2 -2m +1$
移项合并同类项得：$-4m ＜ -8$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，解得：$m ＞ 2$
∴ 不等式组的解集为 $2 ＜ m ＜ \frac{5}{2}$
【答案】
$2＜m＜\frac{5}{2}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；一元一次不等式组的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题考查二次函数与不等式的结合，解题的关键是将函数值的大小关系转化为不等式组求解，也可结合二次函数开口向上时“点到对称轴距离越远，函数值越大”的性质简化计算，是二次函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
首先，函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式，因此$c_1$、$c_2$、$c_3$可分别表示为$x=m$代入三个二次函数后的函数值。已知$a＞0$，我们可以将$c_2＜c_3＜c_1$的大小关系转化为关于$m$的不等式组，利用不等式的性质消去正数$a$后，分别解两个一元一次不等式，最后取两个解集的公共部分即可得到$m$的取值范围。
【解析】
由题意得：
$c_1=a(m-1)^2$，$c_2=a(m-2)^2$，$c_3=a(m-3)^2$
∵ $a＞0$，不等式两边同时除以正数$a$，不等号方向不变，
∴ $c_2 ＜ c_3 ＜ c_1$ 可转化为不等式组：
$\begin{cases}a(m-2)^2 ＜ a(m-3)^2 \\a(m-3)^2 ＜ a(m-1)^2\end{cases}$
约去$a$后得：
$\begin{cases}(m-2)^2 ＜ (m-3)^2 ① \\(m-3)^2 ＜ (m-1)^2 ②\end{cases}$
解不等式①：
展开得 $m^2 -4m +4 ＜ m^2 -6m +9$
移项合并同类项得：$2m ＜ 5$
解得：$m ＜ \frac{5}{2}$
解不等式②：
展开得 $m^2 -6m +9 ＜ m^2 -2m +1$
移项合并同类项得：$-4m ＜ -8$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，解得：$m ＞ 2$
∴ 不等式组的解集为 $2 ＜ m ＜ \frac{5}{2}$
【答案】
$2＜m＜\frac{5}{2}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；一元一次不等式组的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题考查二次函数与不等式的结合，解题的关键是将函数值的大小关系转化为不等式组求解，也可结合二次函数开口向上时“点到对称轴距离越远，函数值越大”的性质简化计算，是二次函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
9. 对于二次函数 $y=-3(x-1)^2+7$，下列结论正确的是 （
A.函数图象的顶点坐标是（3，7）
B.当 $x=-1$ 时，$y$ 有最小值为7
C.当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
D.函数图象的对称轴是 $x=1$
D
）A.函数图象的顶点坐标是（3，7）
B.当 $x=-1$ 时，$y$ 有最小值为7
C.当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
D.函数图象的对称轴是 $x=1$
答案
9. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时首先明确给出的解析式是顶点式$y=a(x-h)^2+k$，先从解析式中提取参数$a=-3$、$h=1$、$k=7$，再结合顶点式的性质，依次对四个选项涉及的顶点坐标、最值、增减性、对称轴逐一判断即可。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，$x=h$时$y$取最大值$k$；$x＜h$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$的增大而减小。
结合本题解析式$y=-3(x-1)^2+7$，可得$a=-3＜0$，$h=1$，$k=7$：
选项A：顶点坐标为$(h,k)=(1,7)$，不是$(3,7)$，A错误；
选项B：抛物线开口向下，$x=1$时$y$有最大值7，不是$x=-1$时取最小值，B错误；
选项C：对称轴为$x=1$，开口向下，故$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，C错误；
选项D：函数图象的对称轴是$x=h=1$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数的意义，熟练掌握顶点式对应的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时首先明确给出的解析式是顶点式$y=a(x-h)^2+k$，先从解析式中提取参数$a=-3$、$h=1$、$k=7$，再结合顶点式的性质，依次对四个选项涉及的顶点坐标、最值、增减性、对称轴逐一判断即可。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，$x=h$时$y$取最大值$k$；$x＜h$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$的增大而减小。
结合本题解析式$y=-3(x-1)^2+7$，可得$a=-3＜0$，$h=1$，$k=7$：
选项A：顶点坐标为$(h,k)=(1,7)$，不是$(3,7)$，A错误；
选项B：抛物线开口向下，$x=1$时$y$有最大值7，不是$x=-1$时取最小值，B错误；
选项C：对称轴为$x=1$，开口向下，故$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，C错误；
选项D：函数图象的对称轴是$x=h=1$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数的意义，熟练掌握顶点式对应的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 已知 y 关于 x 的二次函数 $y=-(x+m)^2+1$，当 $x＞3$ 时，y 随 x 的增大而减小，则实数 m 的取值范围是（
A.$m≤ 3$
B.$m≤ -3$
C.$m≥ -3$
D.$0＜ m≤ 3$
C
）A.$m≤ 3$
B.$m≤ -3$
C.$m≥ -3$
D.$0＜ m≤ 3$
答案
10. C
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式的性质：对于二次函数$y=a(x-h)^2+k$，$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$。本题中函数开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，结合题目给出的“$x＞3$时$y$随$x$的增大而减小”的条件，可知$x＞3$的区间需在对称轴右侧，据此列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
1. 确定二次函数的开口方向：
二次函数$y=-(x+m)^2+1$的二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下。
2. 求对称轴：
该函数为顶点式，变形为$y=-(x-(-m))^2+1$，可得对称轴为直线$x=-m$。
3. 结合增减性列不等式：
因为抛物线开口向下，所以在对称轴右侧（即$x≥ -m$时），$y$随$x$的增大而减小。
已知当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＞3$的区间在对称轴右侧，因此对称轴需满足：
$-m ≤ 3$
4. 解不等式：
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m≥ -3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的增减性
2. 二次函数顶点式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查二次函数图象性质的应用，解题的关键是准确判断开口方向、确定对称轴，再结合增减区间的要求列不等式求解，是二次函数部分的基础常考题，需要熟练掌握二次函数的增减性规律。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数顶点式的性质：对于二次函数$y=a(x-h)^2+k$，$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$。本题中函数开口向下，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，结合题目给出的“$x＞3$时$y$随$x$的增大而减小”的条件，可知$x＞3$的区间需在对称轴右侧，据此列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
1. 确定二次函数的开口方向：
二次函数$y=-(x+m)^2+1$的二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下。
2. 求对称轴：
该函数为顶点式，变形为$y=-(x-(-m))^2+1$，可得对称轴为直线$x=-m$。
3. 结合增减性列不等式：
因为抛物线开口向下，所以在对称轴右侧（即$x≥ -m$时），$y$随$x$的增大而减小。
已知当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＞3$的区间在对称轴右侧，因此对称轴需满足：
$-m ≤ 3$
4. 解不等式：
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$m≥ -3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的增减性
2. 二次函数顶点式
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查二次函数图象性质的应用，解题的关键是准确判断开口方向、确定对称轴，再结合增减区间的要求列不等式求解，是二次函数部分的基础常考题，需要熟练掌握二次函数的增减性规律。
【难度系数】
0.7
11. 若二次函数$y=(a+2)x^2 + a - 2$的图象开口向下，则a的取值范围是
$a＜-2$
.答案
11. $a＜-2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数的图象性质：二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$）的开口方向由二次项系数$A$决定，当$A＜0$时，图象开口向下。题目明确给出是二次函数，因此二次项系数不能为0，结合开口向下的条件，列出关于$a$的不等式求解即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=(a+2)x^2 + a - 2$的图象开口向下，
∴ 二次项系数需小于0（该条件已自动满足二次项系数不为0，符合二次函数的定义），可得不等式：
$a+2＜0$
移项解得：
$a＜-2$
【答案】
$a＜-2$
【知识点】
二次函数的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是明确二次项系数的符号直接决定抛物线的开口方向，解题时需注意二次项系数不为0的隐含要求，本题通过开口向下的条件可直接排除二次项系数为0的情况，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数的图象性质：二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$）的开口方向由二次项系数$A$决定，当$A＜0$时，图象开口向下。题目明确给出是二次函数，因此二次项系数不能为0，结合开口向下的条件，列出关于$a$的不等式求解即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=(a+2)x^2 + a - 2$的图象开口向下，
∴ 二次项系数需小于0（该条件已自动满足二次项系数不为0，符合二次函数的定义），可得不等式：
$a+2＜0$
移项解得：
$a＜-2$
【答案】
$a＜-2$
【知识点】
二次函数的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是明确二次项系数的符号直接决定抛物线的开口方向，解题时需注意二次项系数不为0的隐含要求，本题通过开口向下的条件可直接排除二次项系数为0的情况，难度较低。
【难度系数】
0.8
12. 二次函数 $y=-(x-1)^2+3$，求当 $0≤ x≤3$ 时，$y$ 的取值范围.
答案
$-1≤y≤3$
解析
【分析】
解决本题首先要从二次函数的顶点式入手，先明确函数的基本性质：①由二次项系数的符号判断开口方向，②确定对称轴和顶点坐标；接下来判断对称轴是否落在给定的x的取值区间[0,3]内：因为抛物线开口向下，若对称轴在区间内，顶点处就是y的最大值点；最后计算区间两个端点对应的函数值，比较后得到y的最小值，即可确定y的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-1)^2+3$：
1. 分析函数基本性质：
二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
2. 求最大值：
对称轴$x=1$在$0≤ x≤3$的范围内，且抛物线开口向下，因此当$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=3$。
3. 求最小值：
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=-(0-1)^2+3=2$；
当$x=3$时，$y=-(3-1)^2+3=-1$。
比较两个端点的函数值，$-1＜2$，因此在$0≤ x≤3$范围内，$y$的最小值为$-1$。
综上，当$0≤ x≤3$时，$y$的取值范围是$-1≤ y≤3$。
【答案】
$-1≤y≤3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数区间最值，二次函数顶点式
【点评】
本题考查给定取值区间内二次函数值域的求解，解题的核心是不要直接代入区间端点计算最值，要先结合抛物线的开口方向、对称轴与区间的位置关系，判断最值的具体位置，避免因忽略顶点在区间内的情况导致错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要从二次函数的顶点式入手，先明确函数的基本性质：①由二次项系数的符号判断开口方向，②确定对称轴和顶点坐标；接下来判断对称轴是否落在给定的x的取值区间[0,3]内：因为抛物线开口向下，若对称轴在区间内，顶点处就是y的最大值点；最后计算区间两个端点对应的函数值，比较后得到y的最小值，即可确定y的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-1)^2+3$：
1. 分析函数基本性质：
二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
2. 求最大值：
对称轴$x=1$在$0≤ x≤3$的范围内，且抛物线开口向下，因此当$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=3$。
3. 求最小值：
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=-(0-1)^2+3=2$；
当$x=3$时，$y=-(3-1)^2+3=-1$。
比较两个端点的函数值，$-1＜2$，因此在$0≤ x≤3$范围内，$y$的最小值为$-1$。
综上，当$0≤ x≤3$时，$y$的取值范围是$-1≤ y≤3$。
【答案】
$-1≤y≤3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数区间最值，二次函数顶点式
【点评】
本题考查给定取值区间内二次函数值域的求解，解题的核心是不要直接代入区间端点计算最值，要先结合抛物线的开口方向、对称轴与区间的位置关系，判断最值的具体位置，避免因忽略顶点在区间内的情况导致错误。
【难度系数】
0.7
13. 已知一条抛物线的形状与二次函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2$的图象形状相同，且顶点坐标是$(-4, 2)$，求它的函数解析式.
答案
$y=-\frac{1}{3}(x+4)^2+2$ 或 $y=\frac{1}{3}(x+4)^2+2$
解析
【分析】
解题时要抓住两个核心要点：1. 抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，形状相同的抛物线二次项系数绝对值相等；2. 已知顶点坐标时，用顶点式设二次函数解析式计算更简便。首先根据形状相同确定所求解析式二次项系数a的取值范围，再将顶点坐标代入顶点式即可求出结果，注意要考虑a取正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵ 所求抛物线与$y=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2$的图象形状相同
∴ 所求抛物线的二次项系数$a$满足$|a|=\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$，即$a=\dfrac{1}{3}$或$a=-\dfrac{1}{3}$
又
∵ 抛物线顶点坐标为$(-4,2)$，设二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标）
将$h=-4$、$k=2$代入顶点式，得$y=a(x+4)^2+2$
分别将$a$的两个取值代入上式：
当$a=-\dfrac{1}{3}$时，解析式为$y=-\dfrac{1}{3}(x+4)^2+2$
当$a=\dfrac{1}{3}$时，解析式为$y=\dfrac{1}{3}(x+4)^2+2$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{3}(x+4)^2+2$ 或 $y=\dfrac{1}{3}(x+4)^2+2$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 二次函数的顶点式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题关键是掌握“形状相同的抛物线二次项系数绝对值相等”的性质，需要注意不要忽略开口方向相反的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解题时要抓住两个核心要点：1. 抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，形状相同的抛物线二次项系数绝对值相等；2. 已知顶点坐标时，用顶点式设二次函数解析式计算更简便。首先根据形状相同确定所求解析式二次项系数a的取值范围，再将顶点坐标代入顶点式即可求出结果，注意要考虑a取正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵ 所求抛物线与$y=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2$的图象形状相同
∴ 所求抛物线的二次项系数$a$满足$|a|=\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$，即$a=\dfrac{1}{3}$或$a=-\dfrac{1}{3}$
又
∵ 抛物线顶点坐标为$(-4,2)$，设二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标）
将$h=-4$、$k=2$代入顶点式，得$y=a(x+4)^2+2$
分别将$a$的两个取值代入上式：
当$a=-\dfrac{1}{3}$时，解析式为$y=-\dfrac{1}{3}(x+4)^2+2$
当$a=\dfrac{1}{3}$时，解析式为$y=\dfrac{1}{3}(x+4)^2+2$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{3}(x+4)^2+2$ 或 $y=\dfrac{1}{3}(x+4)^2+2$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 二次函数的顶点式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题关键是掌握“形状相同的抛物线二次项系数绝对值相等”的性质，需要注意不要忽略开口方向相反的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
