知识点一 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象和性质
抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的对称轴是 ，顶点是 .
从二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象可以看出：
如果 $a＞0$，那么当 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，当 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；
如果 $a＜0$，那么当 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
因此，当 $a＞0$（或 $a＜0$）时，抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的顶点是最低点（或最高点）. 也就是说，当 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 时，二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 有最小值（或最大值）.

1. 对称轴：$x=-\dfrac{b}{2a}$
2. 顶点坐标：$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
3. 当a＞0，y随x增大而减小的条件：$x＜-\dfrac{b}{2a}$
4. 当a＞0，y随x增大而增大的条件：$x＞-\dfrac{b}{2a}$
5. 当a＜0，y随x增大而增大的条件：$x＜-\dfrac{b}{2a}$
6. 当a＜0，y随x增大而减小的条件：$x＞-\dfrac{b}{2a}$
7. 二次函数最值：$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$

【分析】
本题考查二次函数一般式的基本性质，解题时可通过配方法将一般式$y=ax^2+bx+c$转化为顶点式，从而直观推导相关结论：首先对二次项和一次项进行配方，得到顶点式后可直接读出对称轴、顶点坐标；再结合$a$的正负判断抛物线开口方向，进而分析对称轴左右两侧的增减性，顶点的纵坐标就是函数的最值。掌握配方法推导过程，就可以不用死记硬背结论，也能避免混淆增减性。
【解析】
我们通过配方法推导二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质：
1. 配方变形：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
2. 推导基本性质：
① 由顶点式可知，抛物线的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$；
② 增减性判断：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，因此在对称轴左侧（即$x＜-\dfrac{b}{2a}$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（即$x＞-\dfrac{b}{2a}$）时，$y$随$x$的增大而增大；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，因此在对称轴左侧（即$x＜-\dfrac{b}{2a}$）时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（即$x＞-\dfrac{b}{2a}$）时，$y$随$x$的增大而减小；
③ 最值推导：
顶点是抛物线的最低点（$a＞0$）或最高点（$a＜0$），因此当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，二次函数取最小值或最大值，为顶点的纵坐标$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。
【答案】
1. 对称轴：$x=-\dfrac{b}{2a}$
2. 顶点坐标：$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$
3. 当$a＞0$，$y$随$x$增大而减小的条件：$x＜-\dfrac{b}{2a}$
4. 当$a＞0$，$y$随$x$增大而增大的条件：$x＞-\dfrac{b}{2a}$
5. 当$a＜0$，$y$随$x$增大而增大的条件：$x＜-\dfrac{b}{2a}$
6. 当$a＜0$，$y$随$x$增大而减小的条件：$x＞-\dfrac{b}{2a}$
7. 二次函数最值：$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
二次函数一般式性质；二次函数对称轴与顶点；二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数的基础核心题，考查的内容是二次函数最核心的基础性质，是解决所有二次函数相关问题的基础，需要熟练掌握，建议结合配方法的推导过程记忆结论，避免混淆增减性规律。
【难度系数】
0.8

例1 若抛物线$y=x^2 -6x +c$的顶点与原点的距离为5，则c的值为（）

A.5
B.9
C.5或13
D.9或13
解析 因为抛物线的顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac - b^2}{4a})$，其中$a=1$，$b=-6$，所以顶点的横坐标为3，顶点的纵坐标为$y=\dfrac{4×1× c - (-6)^2}{4×1}=\dfrac{4c -36}{4}=c -9$
—特别提醒
确定一个二次函数的最值，应先明确自变量的取值范围.当自变量取全体实数时，函数的最值为抛物线顶点的纵坐标；当自变量在某个范围内取值时，应先看顶点的横坐标是否在这个范围内，再比较顶点处和这个范围两端对应的函数值，从而确定最值.
即顶点为$(3,c -9)$.
因为顶点到原点$(0,0)$的距离为5，
所以$\sqrt{(3-0)^2 + (c -9 -0)^2}=5$.
所以$c=13$或$c=5$.
答案 C

答案 C
解析 因为抛物线的顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac - b^2}{4a})$，其中$a=1$，$b=-6$，所以顶点的横坐标为3，顶点的纵坐标为$y=\dfrac{4×1× c - (-6)^2}{4×1}=\dfrac{4c -36}{4}=c -9$，即顶点为$(3,c -9)$。因为顶点到原点$(0,0)$的距离为5，所以$\sqrt{(3-0)^2 + (c -9 -0)^2}=5$，所以$c=13$或$c=5$。

【分析】
解题时先明确已知条件和求解目标：已知含参数c的抛物线解析式，其顶点到原点距离为5，求c的值。第一步，回忆二次函数顶点坐标公式，代入a、b的取值先求出顶点的横坐标，再将纵坐标用含c的代数式表示，得到顶点坐标的表达式；第二步，回忆平面直角坐标系两点间距离公式，结合原点坐标(0,0)和顶点到原点的距离为5，列出关于c的方程；第三步，解方程时注意开平方存在正负两种情况，即可得到c的两个取值，对应选出正确选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。
在抛物线$y=x^2-6x+c$中，$a=1$，$b=-6$，代入公式计算：
顶点横坐标：$-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2×1}=3$
顶点纵坐标：$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{4×1× c - (-6)^2}{4×1}=\dfrac{4c-36}{4}=c-9$
因此抛物线顶点坐标为$(3,c-9)$。
已知该顶点到原点$(0,0)$的距离为5，根据两点间距离公式$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=d$，代入数据得：
$\sqrt{(3-0)^2+(c-9-0)^2}=5$
两边同时平方得：$9+(c-9)^2=25$
整理得：$(c-9)^2=16$
开平方得：$c-9=4$或$c-9=-4$
解得：$c=13$或$c=5$
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点坐标，两点间距离公式，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点坐标的计算方法，结合距离公式建立方程求解，注意开方运算时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7