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知识点二 二次函数 $y=a(x-h)^2$ 的图象和性质
把抛物线 $y=ax^2$ 向左（$h＜0$）或向右（$h＞0$）平移$|h|$个单位长度，就可以得到抛物线 $y=a(x-h)^2$。
二次函数 $y=a(x-h)^2$ 的图象的顶点坐标是________，对称轴是________。
当 $a＞0$ 时，抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的开口________，当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而________；当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而________；当 $x=h$ 时，$y$ 取得最小值0，即顶点 $(h,0)$ 是抛物线的________。
当 $a＜0$ 时，抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的开口________，当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而________；当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而________；当 $x=h$ 时，$y$ 取得最大值0，即顶点 $(h,0)$ 是抛物线的________。
把抛物线 $y=ax^2$ 向左（$h＜0$）或向右（$h＞0$）平移$|h|$个单位长度，就可以得到抛物线 $y=a(x-h)^2$。
二次函数 $y=a(x-h)^2$ 的图象的顶点坐标是________，对称轴是________。
当 $a＞0$ 时，抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的开口________，当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而________；当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而________；当 $x=h$ 时，$y$ 取得最小值0，即顶点 $(h,0)$ 是抛物线的________。
当 $a＜0$ 时，抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的开口________，当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而________；当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而________；当 $x=h$ 时，$y$ 取得最大值0，即顶点 $(h,0)$ 是抛物线的________。
答案
顶点坐标：(h, 0)，对称轴：x=h
当a＞0时：开口向上，x＜h时y随x的增大而减小，x＞h时y随x的增大而增大，顶点(h,0)是抛物线的最低点
当a＜0时：开口向下，x＜h时y随x的增大而增大，x＞h时y随x的增大而减小，顶点(h,0)是抛物线的最高点
当a＞0时：开口向上，x＜h时y随x的增大而减小，x＞h时y随x的增大而增大，顶点(h,0)是抛物线的最低点
当a＜0时：开口向下，x＜h时y随x的增大而增大，x＞h时y随x的增大而减小，顶点(h,0)是抛物线的最高点
解析
【分析】
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质，解题时可从顶点式的结构入手推导：①先确定顶点坐标：当括号内的$x-h=0$时，函数取得最值，此时$x=h$、$y=0$，即可得到顶点坐标，过顶点垂直于x轴的直线就是对称轴；②再根据$a$的正负判断开口方向：$a＞0$时开口向上，图象左降右升，顶点是最低点；$a＜0$时开口向下，图象左升右降，顶点是最高点，对应就能写出不同区间的增减性和顶点的类型。
【解析】
1. 顶点坐标与对称轴：对于$y=a(x-h)^2$，当$x=h$时$y=0$，因此顶点坐标为$(h,0)$；对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，即直线$x=h$。
2. 当$a＞0$时：二次项系数为正，抛物线开口向上；在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而增大；此时顶点是图象的最低位置，即顶点$(h,0)$是抛物线的最低点。
3. 当$a＜0$时：二次项系数为负，抛物线开口向下；在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而减小；此时顶点是图象的最高位置，即顶点$(h,0)$是抛物线的最高点。
【答案】
顶点坐标：$(h, 0)$，对称轴：$x=h$
当$a＞0$时：开口向上，$x＜h$时$y$随$x$的增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$的增大而增大，顶点$(h,0)$是抛物线的最低点
当$a＜0$时：开口向下，$x＜h$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$的增大而减小，顶点$(h,0)$是抛物线的最高点
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题是对二次函数顶点式基础性质的直接考查，属于核心基础知识点，熟练掌握本部分内容是后续学习更复杂二次函数表达式、解决二次函数综合题的前提，只要牢记参数$a$、$h$的意义，结合图象记忆增减性规律即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质，解题时可从顶点式的结构入手推导：①先确定顶点坐标：当括号内的$x-h=0$时，函数取得最值，此时$x=h$、$y=0$，即可得到顶点坐标，过顶点垂直于x轴的直线就是对称轴；②再根据$a$的正负判断开口方向：$a＞0$时开口向上，图象左降右升，顶点是最低点；$a＜0$时开口向下，图象左升右降，顶点是最高点，对应就能写出不同区间的增减性和顶点的类型。
【解析】
1. 顶点坐标与对称轴：对于$y=a(x-h)^2$，当$x=h$时$y=0$，因此顶点坐标为$(h,0)$；对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，即直线$x=h$。
2. 当$a＞0$时：二次项系数为正，抛物线开口向上；在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而增大；此时顶点是图象的最低位置，即顶点$(h,0)$是抛物线的最低点。
3. 当$a＜0$时：二次项系数为负，抛物线开口向下；在对称轴左侧（$x＜h$），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞h$），$y$随$x$的增大而减小；此时顶点是图象的最高位置，即顶点$(h,0)$是抛物线的最高点。
【答案】
顶点坐标：$(h, 0)$，对称轴：$x=h$
当$a＞0$时：开口向上，$x＜h$时$y$随$x$的增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$的增大而增大，顶点$(h,0)$是抛物线的最低点
当$a＜0$时：开口向下，$x＜h$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$的增大而减小，顶点$(h,0)$是抛物线的最高点
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题是对二次函数顶点式基础性质的直接考查，属于核心基础知识点，熟练掌握本部分内容是后续学习更复杂二次函数表达式、解决二次函数综合题的前提，只要牢记参数$a$、$h$的意义，结合图象记忆增减性规律即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
例2 点$P_1(-2, y_1)$，$P_2(2, y_2)$，$P_3(5, y_3)$均在函数$y=-(x-1)^2$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1=y_2$
D.$y_1=y_2＞y_3$
解析 因为函数$y=-(x-1)^2$，$a=-1＜0$，
所以抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，有最大值，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大。
因为点$P_1(-2, y_1)$，$P_2(2, y_2)$，$P_3(5, y_3)$均在函数$y=-(x-1)^2$的图象上，
且$|2-1|＜|1-(-2)|＜|5-1|$，
所以$y_2＞y_1＞y_3$。
答案 B
—特别提醒
平移只改变抛物线的位置，
开口方向、开口大小均不变。
B
）A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1=y_2$
D.$y_1=y_2＞y_3$
解析 因为函数$y=-(x-1)^2$，$a=-1＜0$，
所以抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，有最大值，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大。
因为点$P_1(-2, y_1)$，$P_2(2, y_2)$，$P_3(5, y_3)$均在函数$y=-(x-1)^2$的图象上，
且$|2-1|＜|1-(-2)|＜|5-1|$，
所以$y_2＞y_1＞y_3$。
答案 B
—特别提醒
平移只改变抛物线的位置，
开口方向、开口大小均不变。
答案
解析 因为函数$y=-(x-1)^2$，$a=-1＜0$，
所以抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，有最大值，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大。
因为点$P_1(-2, y_1)$，$P_2(2, y_2)$，$P_3(5, y_3)$均在函数$y=-(x-1)^2$的图象上，
且$|2-1|＜|1-(-2)|＜|5-1|$，
所以$y_2＞y_1＞y_3$。
答案 B
—特别提醒
平移只改变抛物线的位置，
开口方向、开口大小均不变。
所以抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，有最大值，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大。
因为点$P_1(-2, y_1)$，$P_2(2, y_2)$，$P_3(5, y_3)$均在函数$y=-(x-1)^2$的图象上，
且$|2-1|＜|1-(-2)|＜|5-1|$，
所以$y_2＞y_1＞y_3$。
答案 B
—特别提醒
平移只改变抛物线的位置，
开口方向、开口大小均不变。
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，首先需明确该二次函数的基本性质：先根据函数解析式确定开口方向和对称轴，对于开口向下的抛物线，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可推出函数值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入解析式计算y值后比较。
【解析】
解：已知二次函数解析式为$y=-(x-1)^2$，
∵ 二次项系数$a=-1＜0$，
∴ 该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，抛物线有最大值，且抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大。
分别计算三个点的横坐标到对称轴$x=1$的距离：
点$P_1(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|1 - (-2)|=3$，
点$P_2(2,y_2)$到对称轴的距离：$|2 - 1|=1$，
点$P_3(5,y_3)$到对称轴的距离：$|5 - 1|=4$，
∵ $1＜3＜4$，即$P_2$离对称轴最近，$P_3$离对称轴最远，
∴ $y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质 2. 二次函数对称性 3. 函数值大小比较
【点评】
这道题是二次函数性质的常规应用，既可以通过代入法直接计算函数值比较大小，也可以利用抛物线的对称性和增减性，通过比较点到对称轴的距离快速得出结果，后者解题效率更高。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，首先需明确该二次函数的基本性质：先根据函数解析式确定开口方向和对称轴，对于开口向下的抛物线，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可推出函数值的大小关系，也可直接将三点横坐标代入解析式计算y值后比较。
【解析】
解：已知二次函数解析式为$y=-(x-1)^2$，
∵ 二次项系数$a=-1＜0$，
∴ 该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，抛物线有最大值，且抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大。
分别计算三个点的横坐标到对称轴$x=1$的距离：
点$P_1(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|1 - (-2)|=3$，
点$P_2(2,y_2)$到对称轴的距离：$|2 - 1|=1$，
点$P_3(5,y_3)$到对称轴的距离：$|5 - 1|=4$，
∵ $1＜3＜4$，即$P_2$离对称轴最近，$P_3$离对称轴最远，
∴ $y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质 2. 二次函数对称性 3. 函数值大小比较
【点评】
这道题是二次函数性质的常规应用，既可以通过代入法直接计算函数值比较大小，也可以利用抛物线的对称性和增减性，通过比较点到对称轴的距离快速得出结果，后者解题效率更高。
【难度系数】
0.8
