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知识点一 二次函数$y=ax^2 + k$的图象和性质
把抛物线$y=ax^2$向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位长度，就可以得到抛物线$y=ax^2 + k$。
二次函数$y=ax^2 + k$的图象的顶点坐标是
当$a＞0$时，抛物线$y=ax^2 + k$的开口
当$a＜0$时，抛物线$y=ax^2 + k$的开口
把抛物线$y=ax^2$向上（$k＞0$）或向下（$k＜0$）平移$|k|$个单位长度，就可以得到抛物线$y=ax^2 + k$。
二次函数$y=ax^2 + k$的图象的顶点坐标是
(0, k)
，对称轴是y轴
。当$a＞0$时，抛物线$y=ax^2 + k$的开口
向上
，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
；当$x=0$时，$y$取得最小值$k$，即顶点是抛物线的最低点
。当$a＜0$时，抛物线$y=ax^2 + k$的开口
向下
，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
；当$x=0$时，$y$取得最大值$k$，即顶点是抛物线的最高点
。答案
顶点坐标：(0, k)，对称轴：y轴
当a＞0时：开口向上，x＜0时y随x的增大而减小，x＞0时y随x的增大而增大，顶点是抛物线的最低点
当a＜0时：开口向下，x＜0时y随x的增大而增大，x＞0时y随x的增大而减小，顶点是抛物线的最高点
当a＞0时：开口向上，x＜0时y随x的增大而减小，x＞0时y随x的增大而增大，顶点是抛物线的最低点
当a＜0时：开口向下，x＜0时y随x的增大而增大，x＞0时y随x的增大而减小，顶点是抛物线的最高点
解析
【分析】
解题时可结合二次函数$y=ax^2$的性质和平移规律推导$y=ax^2+k$的性质：①首先回忆$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$、对称轴为y轴，将其上下平移$|k|$个单位得到$y=ax^2+k$，平移仅改变顶点纵坐标，对称轴不变，由此可得到顶点坐标和对称轴；②开口方向始终由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；③增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，顶点为最低点；开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，顶点为最高点。
【解析】
1. 顶点坐标与对称轴：抛物线$y=ax^2$的顶点是$(0,0)$，上下平移$|k|$个单位后，顶点纵坐标变为$0+k=k$，横坐标不变，因此$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$；平移不改变对称轴，因此对称轴仍是y轴。
2. 当$a＞0$时：二次项系数为正，抛物线开口向上；以对称轴$x=0$为界，$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；此时顶点处y值最小，即顶点是抛物线的最低点。
3. 当$a＜0$时：二次项系数为负，抛物线开口向下；以对称轴$x=0$为界，$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；此时顶点处y值最大，即顶点是抛物线的最高点。
【答案】
顶点坐标：$\boldsymbol{(0,k)}$，对称轴：$\boldsymbol{y轴}$
当$a＞0$时：开口$\boldsymbol{向上}$，$x＜0$时$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{减小}$，$x＞0$时$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{增大}$，顶点是抛物线的$\boldsymbol{最低点}$
当$a＜0$时：开口$\boldsymbol{向下}$，$x＜0$时$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{增大}$，$x＞0$时$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{减小}$，顶点是抛物线的$\boldsymbol{最高点}$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考察题，核心是通过平移规律关联$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的性质，熟练掌握二次项系数$a$对开口方向、增减性的影响，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时可结合二次函数$y=ax^2$的性质和平移规律推导$y=ax^2+k$的性质：①首先回忆$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$、对称轴为y轴，将其上下平移$|k|$个单位得到$y=ax^2+k$，平移仅改变顶点纵坐标，对称轴不变，由此可得到顶点坐标和对称轴；②开口方向始终由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；③增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，顶点为最低点；开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，顶点为最高点。
【解析】
1. 顶点坐标与对称轴：抛物线$y=ax^2$的顶点是$(0,0)$，上下平移$|k|$个单位后，顶点纵坐标变为$0+k=k$，横坐标不变，因此$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$；平移不改变对称轴，因此对称轴仍是y轴。
2. 当$a＞0$时：二次项系数为正，抛物线开口向上；以对称轴$x=0$为界，$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；此时顶点处y值最小，即顶点是抛物线的最低点。
3. 当$a＜0$时：二次项系数为负，抛物线开口向下；以对称轴$x=0$为界，$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；此时顶点处y值最大，即顶点是抛物线的最高点。
【答案】
顶点坐标：$\boldsymbol{(0,k)}$，对称轴：$\boldsymbol{y轴}$
当$a＞0$时：开口$\boldsymbol{向上}$，$x＜0$时$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{减小}$，$x＞0$时$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{增大}$，顶点是抛物线的$\boldsymbol{最低点}$
当$a＜0$时：开口$\boldsymbol{向下}$，$x＜0$时$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{增大}$，$x＞0$时$y$随$x$的增大而$\boldsymbol{减小}$，顶点是抛物线的$\boldsymbol{最高点}$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考察题，核心是通过平移规律关联$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的性质，熟练掌握二次项系数$a$对开口方向、增减性的影响，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
例1 关于二次函数$y=2x^2+6$，下列说法错误的是（
A.y的最大值为6
B.图象开口向上
C.当$x＜0$时，y随x的增大而减小
D.图象的对称轴是y轴
解析 在函数$y=2x^2+6$中，二次项系数$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，顶点为最低点，其纵坐标为$y=6$，即函数有最小值6，而非最大值，A项说法错误；B项说法正确；
—特别提醒
抛物线$y=ax^2$平移后可得到抛物线$y=ax^2+k$，当$k＞0$时，图象向上平移，当$k＜0$时，图象向下平移，可简记为“上加下减”.
抛物线的对称轴为y轴，当$x＜0$时（对称轴左侧），函数值y随x的增大而减小，C项，D项说法正确.
答案 A
A
）A.y的最大值为6
B.图象开口向上
C.当$x＜0$时，y随x的增大而减小
D.图象的对称轴是y轴
解析 在函数$y=2x^2+6$中，二次项系数$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，顶点为最低点，其纵坐标为$y=6$，即函数有最小值6，而非最大值，A项说法错误；B项说法正确；
—特别提醒
抛物线$y=ax^2$平移后可得到抛物线$y=ax^2+k$，当$k＞0$时，图象向上平移，当$k＜0$时，图象向下平移，可简记为“上加下减”.
抛物线的对称轴为y轴，当$x＜0$时（对称轴左侧），函数值y随x的增大而减小，C项，D项说法正确.
答案 A
答案
解析 在函数$y=2x^2+6$中，二次项系数$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，顶点为最低点，其纵坐标为$y=6$，即函数有最小值6，而非最大值，A项说法错误；B项说法正确；
—特别提醒
抛物线$y=ax^2$平移后可得到抛物线$y=ax^2+k$，当$k＞0$时，图象向上平移，当$k＜0$时，图象向下平移，可简记为“上加下减”.
抛物线的对称轴为y轴，当$x＜0$时（对称轴左侧），函数值y随x的增大而减小，C项，D项说法正确.
答案 A
—特别提醒
抛物线$y=ax^2$平移后可得到抛物线$y=ax^2+k$，当$k＞0$时，图象向上平移，当$k＜0$时，图象向下平移，可简记为“上加下减”.
抛物线的对称轴为y轴，当$x＜0$时（对称轴左侧），函数值y随x的增大而减小，C项，D项说法正确.
答案 A
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质，解题思路如下：第一步先确定二次项系数$a$的正负，以此判断抛物线开口方向，进而确定函数有最大值还是最小值；第二步明确该类型二次函数的对称轴为y轴，再根据开口方向判断对称轴两侧的增减性；最后将推导结果逐一和选项对比，找出说法错误的选项即可。
【解析】
在二次函数$y=2x^2+6$中，二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，顶点为抛物线的最低点，顶点纵坐标为6，即函数有最小值6，没有最大值，因此A选项说法错误，B选项说法正确；
该函数属于$y=ax^2+k$型二次函数，图象对称轴为y轴，当$x＜0$时（对称轴左侧），y随x的增大而减小，因此C、D选项说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. $y=ax^2+k$的图象与性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查$y=ax^2+k$型二次函数的核心性质，只要熟练掌握二次项系数与开口方向、最值的关系，以及对称轴两侧的增减性规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质，解题思路如下：第一步先确定二次项系数$a$的正负，以此判断抛物线开口方向，进而确定函数有最大值还是最小值；第二步明确该类型二次函数的对称轴为y轴，再根据开口方向判断对称轴两侧的增减性；最后将推导结果逐一和选项对比，找出说法错误的选项即可。
【解析】
在二次函数$y=2x^2+6$中，二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，顶点为抛物线的最低点，顶点纵坐标为6，即函数有最小值6，没有最大值，因此A选项说法错误，B选项说法正确；
该函数属于$y=ax^2+k$型二次函数，图象对称轴为y轴，当$x＜0$时（对称轴左侧），y随x的增大而减小，因此C、D选项说法正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. $y=ax^2+k$的图象与性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查$y=ax^2+k$型二次函数的核心性质，只要熟练掌握二次项系数与开口方向、最值的关系，以及对称轴两侧的增减性规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
