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3. 在同一平面直角坐标系内，函数$y=kx^2$和$y=kx-2$（$k≠0$）的图象大致是
（
（
B
）答案
3. B
解析
【分析】
这是同一坐标系下判断二次函数与一次函数图象的问题，解题核心是两个函数的系数$k$符号一致，结合函数图象性质逐一验证：第一步先根据二次函数$y=kx^2$的开口方向判断$k$的正负；第二步结合$k$的正负判断一次函数$y=kx-2$的斜率、与$y$轴交点是否符合，排除矛盾选项即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论$k$的符号：
① 当$k＞0$时：
二次函数$y=kx^2$的图象开口向上，一次函数$y=kx-2$的斜率为正，且与$y$轴交于$(0,-2)$即$y$轴负半轴。观察选项，C、D的二次函数开口向上，但C中一次函数与$y$轴交于正半轴，D中一次函数斜率为负，均不符合要求，排除C、D。
② 当$k＜0$时：
二次函数$y=kx^2$的图象开口向下，一次函数$y=kx-2$的斜率为负，且与$y$轴交于$(0,-2)$即$y$轴负半轴。观察A、B：A中一次函数斜率为正，与$k＜0$矛盾，排除A；B中二次函数开口向下，一次函数斜率为负、与$y$轴交于负半轴，完全符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质，一次函数的图象性质
【点评】
本题主要考查系数对一次函数、二次函数图象的影响，解题时抓住两个函数共有的系数$k$符号一致的特点，用分类讨论或排除法都能快速求解，是函数图象类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
这是同一坐标系下判断二次函数与一次函数图象的问题，解题核心是两个函数的系数$k$符号一致，结合函数图象性质逐一验证：第一步先根据二次函数$y=kx^2$的开口方向判断$k$的正负；第二步结合$k$的正负判断一次函数$y=kx-2$的斜率、与$y$轴交点是否符合，排除矛盾选项即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论$k$的符号：
① 当$k＞0$时：
二次函数$y=kx^2$的图象开口向上，一次函数$y=kx-2$的斜率为正，且与$y$轴交于$(0,-2)$即$y$轴负半轴。观察选项，C、D的二次函数开口向上，但C中一次函数与$y$轴交于正半轴，D中一次函数斜率为负，均不符合要求，排除C、D。
② 当$k＜0$时：
二次函数$y=kx^2$的图象开口向下，一次函数$y=kx-2$的斜率为负，且与$y$轴交于$(0,-2)$即$y$轴负半轴。观察A、B：A中一次函数斜率为正，与$k＜0$矛盾，排除A；B中二次函数开口向下，一次函数斜率为负、与$y$轴交于负半轴，完全符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质，一次函数的图象性质
【点评】
本题主要考查系数对一次函数、二次函数图象的影响，解题时抓住两个函数共有的系数$k$符号一致的特点，用分类讨论或排除法都能快速求解，是函数图象类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
4. 在同一平面直角坐标系中画出$y_1=2x^2$，$y_2=-2x^2$，$y_3=\frac{1}{2}x^2$的图象，正确的是（
C
）答案
4. C
解析
【分析】
要判断三个二次函数的图像，首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：第一，$a$的正负决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，先通过开口方向排除不符合的选项；第二，$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大开口越窄，相同$x＞0$时函数值越大，图像越靠上，再通过这个判断剩余选项的对错，就能选出正确答案。
【解析】
第一步：根据$a$的正负判断开口方向
对于$y_1=2x^2$，$a=2＞0$，开口向上；
对于$y_2=-2x^2$，$a=-2＜0$，开口向下；
对于$y_3=\frac{1}{2}x^2$，$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上。
选项A中三个函数均开口向上，选项D中$y_2$开口向上，均不符合性质，排除A、D。
第二步：根据$|a|$大小判断开口宽窄
二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大，开口越窄，当$x＞0$时，函数值越大，图像位置越靠上。
$y_1$的$|a|=2$，$y_3$的$|a|=\frac{1}{2}$，$2＞\frac{1}{2}$，因此$y_1$开口比$y_3$窄，$x＞0$时$y_1$的函数值大于$y_3$，即第一象限内$y_1$的图像在$y_3$上方。
选项B中第一象限$y_3$在$y_1$上方，不符合性质；选项C符合所有规律。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；开口方向判断；开口宽窄与$a$的关系
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图像性质，解题核心是明确$a$的正负决定开口方向、$|a|$的大小决定开口宽窄，属于基础类考题，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断三个二次函数的图像，首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：第一，$a$的正负决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下，先通过开口方向排除不符合的选项；第二，$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大开口越窄，相同$x＞0$时函数值越大，图像越靠上，再通过这个判断剩余选项的对错，就能选出正确答案。
【解析】
第一步：根据$a$的正负判断开口方向
对于$y_1=2x^2$，$a=2＞0$，开口向上；
对于$y_2=-2x^2$，$a=-2＜0$，开口向下；
对于$y_3=\frac{1}{2}x^2$，$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上。
选项A中三个函数均开口向上，选项D中$y_2$开口向上，均不符合性质，排除A、D。
第二步：根据$|a|$大小判断开口宽窄
二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大，开口越窄，当$x＞0$时，函数值越大，图像位置越靠上。
$y_1$的$|a|=2$，$y_3$的$|a|=\frac{1}{2}$，$2＞\frac{1}{2}$，因此$y_1$开口比$y_3$窄，$x＞0$时$y_1$的函数值大于$y_3$，即第一象限内$y_1$的图像在$y_3$上方。
选项B中第一象限$y_3$在$y_1$上方，不符合性质；选项C符合所有规律。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；开口方向判断；开口宽窄与$a$的关系
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图像性质，解题核心是明确$a$的正负决定开口方向、$|a|$的大小决定开口宽窄，属于基础类考题，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5. 如图，根据函数 $y=3x^2$，$y=-\dfrac{1}{3}x^2$ 的图象填空。
(1) 二次函数 $y=3x^2$ 的图象的顶点坐标是
(2) 二次函数 $y=-\dfrac{1}{3}x^2$ 的图象的开口向
(1) 二次函数 $y=3x^2$ 的图象的顶点坐标是
(0, 0)
，对称轴是 y轴
。当 $x=$ 0
时，函数值最 小
，最 小
值是 0
。(2) 二次函数 $y=-\dfrac{1}{3}x^2$ 的图象的开口向
下
，当 $x=$ 0
时，函数值最 大
，最 大
值是 0
，当 $x＜0$ 时，二次函数 $y=-\dfrac{1}{3}x^2$ 的值随自变量 $x$ 的增大而 增大
。答案
5. (1) (0, 0) y轴 0 小 小 0
(2) 下 0 大 大 0 增大
(2) 下 0 大 大 0 增大
解析
【分析】
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的图象与性质，解题思路如下：首先明确$y=ax^2$类二次函数的共同特征：顶点均为原点$(0,0)$，对称轴为y轴；再结合$a$的符号判断其余性质：若$a＞0$，抛物线开口向上，$x=0$时函数取最小值0，$x＜0$时y随x增大而减小，$x＞0$时y随x增大而增大；若$a＜0$，抛物线开口向下，$x=0$时函数取最大值0，$x＜0$时y随x增大而增大，$x＞0$时y随x增大而减小。结合两个函数$a$的取值分别分析即可得到结果。
【解析】
(1) 二次函数$y=3x^2$中$a=3＞0$，因此图象顶点坐标为$(0,0)$，对称轴是y轴；由于抛物线开口向上，所以当$x=0$时，函数值最小，最小值为0。
(2) 二次函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$中$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，因此图象开口向下；由于抛物线开口向下，所以当$x=0$时，函数值最大，最大值为0；根据增减性规律，当$x＜0$时，函数值随自变量$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $(0,0)$；y轴；$0$；小；小；$0$
(2) 下；$0$；大；大；$0$；增大
【知识点】
$y=ax^2$的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心是掌握二次项系数$a$的符号对$y=ax^2$型抛物线的开口方向、最值、增减性的影响，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的图象与性质，解题思路如下：首先明确$y=ax^2$类二次函数的共同特征：顶点均为原点$(0,0)$，对称轴为y轴；再结合$a$的符号判断其余性质：若$a＞0$，抛物线开口向上，$x=0$时函数取最小值0，$x＜0$时y随x增大而减小，$x＞0$时y随x增大而增大；若$a＜0$，抛物线开口向下，$x=0$时函数取最大值0，$x＜0$时y随x增大而增大，$x＞0$时y随x增大而减小。结合两个函数$a$的取值分别分析即可得到结果。
【解析】
(1) 二次函数$y=3x^2$中$a=3＞0$，因此图象顶点坐标为$(0,0)$，对称轴是y轴；由于抛物线开口向上，所以当$x=0$时，函数值最小，最小值为0。
(2) 二次函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$中$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，因此图象开口向下；由于抛物线开口向下，所以当$x=0$时，函数值最大，最大值为0；根据增减性规律，当$x＜0$时，函数值随自变量$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $(0,0)$；y轴；$0$；小；小；$0$
(2) 下；$0$；大；大；$0$；增大
【知识点】
$y=ax^2$的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心是掌握二次项系数$a$的符号对$y=ax^2$型抛物线的开口方向、最值、增减性的影响，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9
6. 二次函数 $y=(k+1)x^2$ 的图象如图所示，则k的取值范围为
$k＞-1$
。答案
6. $k＞-1$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合二次函数的图像性质逐步推导：首先回忆二次函数$y=ax^2$的图像规律：当二次项系数$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。本题给出的图像开口向上，因此可以先确定二次项系数的符号，再列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
观察图像可知，二次函数$y=(k+1)x^2$的图象开口向上，
根据二次函数$y=ax^2$的性质，开口向上时二次项系数大于0，因此可得：
$k+1＞0$
解该不等式，移项得：
$k＞-1$
【答案】
$k＞-1$
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以结合二次函数的图像性质逐步推导：首先回忆二次函数$y=ax^2$的图像规律：当二次项系数$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。本题给出的图像开口向上，因此可以先确定二次项系数的符号，再列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
观察图像可知，二次函数$y=(k+1)x^2$的图象开口向上，
根据二次函数$y=ax^2$的性质，开口向上时二次项系数大于0，因此可得：
$k+1＞0$
解该不等式，移项得：
$k＞-1$
【答案】
$k＞-1$
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象，则阴影部分的面积是
8
。答案
7. 8
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：①函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象关于x轴对称；②以原点为中心的正方形也关于x轴对称。利用对称性可知，x轴下方的阴影部分面积与x轴上方抛物线外侧的空白区域面积完全相等，因此可以通过割补法，将阴影部分转化为规则图形（正方形的一半）来计算面积，无需复杂运算。
【解析】
首先计算正方形的面积：
已知正方形边长为4，因此正方形的面积为 $S_{\mathrm{正方形}}=4×4=16$。
由二次函数的性质可知，$y=2x^2$ 与 $y=-2x^2$ 的图象关于x轴对称，且正方形也关于x轴对称，因此x轴下方的阴影部分可割补到x轴上方对应的空白位置，最终阴影部分的总面积等于正方形面积的一半：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}}=\frac{1}{2}×16=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的对称性，割补法求面积，正方形面积计算
【点评】
本题侧重考查对图形对称性的运用，将不规则的阴影面积通过割补转化为规则图形的面积，简化了计算过程，解题的核心是快速发现二次函数图象与正方形的对称关系。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：①函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象关于x轴对称；②以原点为中心的正方形也关于x轴对称。利用对称性可知，x轴下方的阴影部分面积与x轴上方抛物线外侧的空白区域面积完全相等，因此可以通过割补法，将阴影部分转化为规则图形（正方形的一半）来计算面积，无需复杂运算。
【解析】
首先计算正方形的面积：
已知正方形边长为4，因此正方形的面积为 $S_{\mathrm{正方形}}=4×4=16$。
由二次函数的性质可知，$y=2x^2$ 与 $y=-2x^2$ 的图象关于x轴对称，且正方形也关于x轴对称，因此x轴下方的阴影部分可割补到x轴上方对应的空白位置，最终阴影部分的总面积等于正方形面积的一半：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}}=\frac{1}{2}×16=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的对称性，割补法求面积，正方形面积计算
【点评】
本题侧重考查对图形对称性的运用，将不规则的阴影面积通过割补转化为规则图形的面积，简化了计算过程，解题的核心是快速发现二次函数图象与正方形的对称关系。
【难度系数】
0.7
8. 二次函数①$y=ax^2$；②$y=bx^2$；③$y=cx^2$；④$y=dx^2$图象的草图如图所示.比较a，b，c，d的大小：
$a＞b＞d＞c$
（用“＞”连接）.答案
8. $a＞b＞d＞c$
解析
【分析】
要比较a、b、c、d的大小，需结合二次函数y=kx²的图象性质解题：第一步先根据抛物线开口方向判断系数的正负：开口向上则系数为正，开口向下则系数为负，先将四个系数分为正、负两组；第二步根据开口宽窄判断系数绝对值的大小：|k|越大，抛物线开口越窄，分别比较正数组、负数组的大小，最后合并排序即可。
【解析】
1. 判断系数正负：观察图象，①、②的抛物线开口向上，因此a＞0，b＞0；③、④的抛物线开口向下，因此c＜0，d＜0。
2. 比较正数a、b的大小：抛物线①的开口比②更窄，说明|a|＞|b|，由于a、b均为正数，因此a＞b＞0。
3. 比较负数c、d的大小：抛物线③的开口比④更窄，说明|c|＞|d|，由于c、d均为负数，负数的绝对值越大数值越小，因此0＞d＞c。
4. 综合可得四个系数的大小关系为：a＞b＞d＞c。
【答案】
a＞b＞d＞c
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，核心考查二次项系数对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，解题时分组比较的思路能有效降低出错概率，熟练掌握该性质是后续学习二次函数相关内容的基础。
【难度系数】
0.7
要比较a、b、c、d的大小，需结合二次函数y=kx²的图象性质解题：第一步先根据抛物线开口方向判断系数的正负：开口向上则系数为正，开口向下则系数为负，先将四个系数分为正、负两组；第二步根据开口宽窄判断系数绝对值的大小：|k|越大，抛物线开口越窄，分别比较正数组、负数组的大小，最后合并排序即可。
【解析】
1. 判断系数正负：观察图象，①、②的抛物线开口向上，因此a＞0，b＞0；③、④的抛物线开口向下，因此c＜0，d＜0。
2. 比较正数a、b的大小：抛物线①的开口比②更窄，说明|a|＞|b|，由于a、b均为正数，因此a＞b＞0。
3. 比较负数c、d的大小：抛物线③的开口比④更窄，说明|c|＞|d|，由于c、d均为负数，负数的绝对值越大数值越小，因此0＞d＞c。
4. 综合可得四个系数的大小关系为：a＞b＞d＞c。
【答案】
a＞b＞d＞c
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，核心考查二次项系数对抛物线开口方向、开口宽窄的影响，解题时分组比较的思路能有效降低出错概率，熟练掌握该性质是后续学习二次函数相关内容的基础。
【难度系数】
0.7
