8.(12分)(镇江中考)如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB.
(1)求证:△ABC≌△BAD;
(2)若∠DAB=70°,则∠CAB=°.

8. (1)证明:在$△ ABC$和$△ BAD$ 中,$\begin{cases}∠ C=∠ D, \\∠ CBA=∠ DAB, \\AB=BA,\end{cases}$ $\therefore△ ABC≌△ BAD(\mathrm{AAS}).$ (2) 20

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△BAD，先梳理已知条件：题目给出∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB，同时两个三角形共享公共边AB=BA，刚好满足全等三角形判定的AAS（两角及其中一角的对边相等）条件，即可完成证明。
(2) 计算∠CAB的度数时，先由已知∠CBA=∠DAB得到∠CBA的度数，再结合△ABC是直角三角形，∠C=90°，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可算出∠CAB的度数。
【解析】
(1) 证明：在$△ ABC$和$△ BAD$中，
$\begin{cases}∠C=∠D, \\∠CBA=∠DAB, \\AB=BA,\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ BAD(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：$\because ∠DAB=70°$，且$∠CBA=∠DAB$，
$\therefore ∠CBA=70°$，
又$\because ∠C=90°$，$△ ABC$中三个内角和为$180°$，
$\therefore ∠CAB=180°-∠C-∠CBA=180°-90°-70°=20°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定 2. 直角三角形两锐角互余 3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，主要考查全等三角形的判定和直角三角形角度计算，解题时要注意公共边这类隐含条件的运用，熟练掌握全等判定定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8

9.(12分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是D,E,AD,CE交于点H,AE=CE.
(1)求证:△AEH≌△CEB;
(2)若BE=6,CH=2,求线段AE的长.

9. (1)证明: $\because AD⊥ BC, CE⊥ AB, \therefore ∠ AEH = ∠ CEB = ∠ ADB = 90°. \therefore ∠ B + ∠ BAD = 180° - ∠ ADB = 90°, ∠ B + ∠ BCE = 180° - ∠ CEB = 90°. \therefore ∠ BAD = ∠ BCE,$ 即$∠ HAE = ∠ BCE.$ 在$△ AEH$ 和$△ CEB$ 中, $\because \begin{cases}∠ HAE=∠ BCE, \\AE=CE, \\∠ AEH=∠ CEB,\end{cases}$ $\therefore △ AEH ≌ △ CEB(\mathrm{ASA}).$ (2) 解: 由(1)知$△ AEH≌△ CEB,$ $\therefore AE=CE,EH=BE=6. \therefore AE=CE=CH+EH=8.$

【分析】
(1)要证明△AEH≌△CEB，已知条件给出AE=CE，结合CE⊥AB可直接得到一组直角相等，即∠AEH=∠CEB=90°，只需再推导一组对应角相等即可。由AD⊥BC、CE⊥AB，根据同角的余角相等可推出∠HAE=∠BCE，刚好满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
(2)利用全等三角形对应边相等的性质，可得EH=BE，且AE=CE，结合已知的BE、CH长度，CE的长度为EH与CH的和，代入数值即可求出AE的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because AD⊥ BC, CE⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEH = ∠ CEB = ∠ ADB = 90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ BAD = 180° - ∠ ADB = 90°$，$∠ B + ∠ BCE = 180° - ∠ CEB = 90°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BCE$，即$∠ HAE = ∠ BCE$。
在$△ AEH$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ HAE = ∠ BCE \\AE = CE \\∠ AEH = ∠ CEB\end{cases}$
$\therefore △ AEH ≌ △ CEB(\mathrm{ASA})$。
(2)解：
由(1)知$△ AEH ≌ △ CEB$，
$\therefore EH = BE = 6$，$AE = CE$，
又$\because CE = CH + EH$，$CH=2$，
$\therefore CE = 2 + 6 = 8$，
$\therefore AE = CE = 8$。
【答案】
(1)已证$△ AEH ≌ △ CEB$；(2)AE的长为8
【知识点】
ASA判定三角形全等，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题属于三角形全等的基础常考题，解题核心是结合垂直的性质推导相等的角，再利用全等判定定理证明三角形全等，最后借助全等对应边相等的性质求解线段长度，熟练掌握全等的判定和性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

10.（10分）项目式学习
项目背景：数学小组想知道一堵墙上点A距地面的高度AO(墙与地面垂直，即$AO⊥OD$)，但又不便直接测量，于是设计了如下测量方案
示意图：
测量方案：
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角$∠ABO$；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到$∠$$=∠ABO$.标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量的长度，即为点A的高度
任务一：
①请补全上述测量方案；
②请利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由
任务二：
数学小组通过观察和思考，提出线段$AE=DE$，你同意他们的观点吗？请说明理由

10. 解:(任务一)①$DCO$ $OD$ ②理由如下:$\because AO⊥ OD,\therefore ∠ AOB=∠ DOC=90°.$ 在$△ AOB$ 和$△ DOC$ 中, $\begin{cases}∠ AOB=∠ DOC, \\∠ ABO=∠ DCO, \\AB=DC,\end{cases}$ $\therefore△ AOB≌△ DOC(\mathrm{AAS}).$ $\therefore OA=OD.$ (任务二)同意. 理由如下:$\because△ AOB≌△ DOC,\therefore OB=OC,OA=OD,∠ OAB=∠ ODC.$ $\therefore OA-OC=OD-OB,$ 即 $AC=DB.$ 在$△ ACE$ 和$△ DBE$ 中, $\begin{cases}∠ CAE=∠ BDE, \\∠ AEC=∠ DEB, \\AC=DB,\end{cases}$ $\therefore△ ACE≌△ DBE(\mathrm{AAS}).$ $\therefore AE=DE.$

【分析】
任务一解题思路：我们的目标是测量无法直接得到的AO长度，可通过构造全等三角形转化为可测量的线段。已知AO⊥OD可得∠AOB=∠DOC=90°，直杆长度不变所以AB=DC，要通过AAS证明三角形全等，还需要一组锐角相等，因此第二步要让∠DCO=∠ABO，此时△AOB和△DOC全等，对应边AO=OD，所以第三步测量OD的长度即可得到AO的高度。
任务二解题思路：要证明AE=DE，可证明两条线段所在的三角形全等。由任务一的全等结论可得OB=OC、OA=OD、∠OAB=∠ODC，进而推出AC=DB，结合对顶角相等的条件，可通过AAS证明△ACE≌△DBE，即可得到AE=DE。
【解析】
任务一
① 补全测量方案：第二步横线处填$\boldsymbol{DCO}$，第三步横线处填$\boldsymbol{OD}$；
② 设计理由：
$\because AO⊥ OD$，$\therefore ∠ AOB=∠ DOC=90°$
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ DOC \\∠ ABO=∠ DCO \\AB=DC\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{AAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$OA=OD$，因此测量OD的长度即为点A的高度。
任务二
同意该观点，理由如下：
$\because △ AOB≌△ DOC$
$\therefore OB=OC$，$OA=OD$，$∠ OAB=∠ ODC$
$\therefore OA-OC=OD-OB$，即$AC=DB$
在$△ ACE$和$△ DBE$中：
$\begin{cases}∠ CAE=∠ BDE \\∠ AEC=∠ DEB \\AC=DB\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ DBE(\mathrm{AAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$AE=DE$。
【答案】
任务一：① $\boldsymbol{DCO}$，$\boldsymbol{OD}$；② 理由如上，通过证明$△ AOB≌△ DOC$可得$OA=OD$；
任务二：同意，$AE=DE$成立，理由如上。
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的综合应用，解题核心是挖掘题目中隐含的等边、等角条件，通过构造全等三角形将不可测量的长度转化为可测量的长度，既考查了逻辑推理能力，也体现了数学知识在实际生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7