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一、选择题
1. 如图，已知直线$AB// CD// EF$，$\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{3}{5}$，那么下列结论中，正确的是（
A.$\dfrac{BD}{DF}=\dfrac{2}{3}$；
B.$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{2}{3}$；
C.$\dfrac{CD}{EF}=\dfrac{3}{5}$；
D.$\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{2}{5}$。
1. 如图，已知直线$AB// CD// EF$，$\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{3}{5}$，那么下列结论中，正确的是（
D
）A.$\dfrac{BD}{DF}=\dfrac{2}{3}$；
B.$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{2}{3}$；
C.$\dfrac{CD}{EF}=\dfrac{3}{5}$；
D.$\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{2}{5}$。
答案
1. D.
解析
【分析】
解题时首先运用平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。已知$AB// CD// EF$，因此截得的左侧线段$AC、CE、AE$和右侧线段$BD、DF、BF$对应成比例。结合已知$\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{3}{5}$，先推导各相关线段的份数关系，再逐一核对选项即可，注意无相关条件时不能推导平行线自身的长度比值。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BD}{BF}=\dfrac{3}{5}$
设$BD=3k(k≠ 0)$，则$BF=5k$，
$\therefore DF=BF-BD=5k-3k=2k$。
逐一分析选项：
A. $\dfrac{BD}{DF}=\dfrac{3k}{2k}=\dfrac{3}{2}$，选项错误；
B、C. 题目未给出$AB、CD、EF$的长度相关条件，无法推出三者的比值，两个选项均错误；
D. $\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{2k}{5k}=\dfrac{2}{5}$，选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是准确找到平行线所截的对应线段，不要混淆线段的对应关系，同时注意不要随意推导题目未给出的线段长度比值。
【难度系数】
0.8
解题时首先运用平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。已知$AB// CD// EF$，因此截得的左侧线段$AC、CE、AE$和右侧线段$BD、DF、BF$对应成比例。结合已知$\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{3}{5}$，先推导各相关线段的份数关系，再逐一核对选项即可，注意无相关条件时不能推导平行线自身的长度比值。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BD}{BF}=\dfrac{3}{5}$
设$BD=3k(k≠ 0)$，则$BF=5k$，
$\therefore DF=BF-BD=5k-3k=2k$。
逐一分析选项：
A. $\dfrac{BD}{DF}=\dfrac{3k}{2k}=\dfrac{3}{2}$，选项错误；
B、C. 题目未给出$AB、CD、EF$的长度相关条件，无法推出三者的比值，两个选项均错误；
D. $\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{2k}{5k}=\dfrac{2}{5}$，选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是准确找到平行线所截的对应线段，不要混淆线段的对应关系，同时注意不要随意推导题目未给出的线段长度比值。
【难度系数】
0.8
2. 已知在抛物线$y=x^2 -2x -3$上有$A(-2,y_1)$、$B(3,y_2)$、$C(5,y_3)$三点，那么$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系为 （
A.$y_2＜y_3＜y_1$；
B.$y_2＜y_1＜y_3$；
C.$y_1＜y_2＜y_3$；
D.$y_3＜y_2＜y_1$。
B
）A.$y_2＜y_3＜y_1$；
B.$y_2＜y_1＜y_3$；
C.$y_1＜y_2＜y_3$；
D.$y_3＜y_2＜y_1$。
答案
2. B.
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：一是直接将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的函数值后直接比较大小，该方法思路直接，不易出错；二是利用二次函数的图象性质求解：先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向上的抛物线中，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，该方法运算量小，解题速度更快。
【解析】
方法一：代入求值法
将三点横坐标分别代入抛物线$y=x^2 -2x -3$：
1. 把$x=-2$代入得：$y_1=(-2)^2 -2×(-2) -3=4+4-3=5$；
2. 把$x=3$代入得：$y_2=3^2 -2×3 -3=9-6-3=0$；
3. 把$x=5$代入得：$y_3=5^2 -2×5 -3=25-10-3=12$。
比较得$0＜5＜12$，即$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：性质判断法
抛物线$y=x^2 -2x -3$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1、b=-2$得对称轴为$x=1$；
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大：
点A到对称轴的距离：$\vert -2-1\vert=3$
点B到对称轴的距离：$\vert 3-1\vert=2$
点C到对称轴的距离：$\vert 5-1\vert=4$
距离大小为$2＜3＜4$，因此函数值大小为$y_2＜y_1＜y_3$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数值比较；二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法各有优势，代入法思路直白易掌握，性质法更节省做题时间，同学们可以熟练掌握两种方法，根据实际情况灵活选择。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：一是直接将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的函数值后直接比较大小，该方法思路直接，不易出错；二是利用二次函数的图象性质求解：先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向上的抛物线中，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，该方法运算量小，解题速度更快。
【解析】
方法一：代入求值法
将三点横坐标分别代入抛物线$y=x^2 -2x -3$：
1. 把$x=-2$代入得：$y_1=(-2)^2 -2×(-2) -3=4+4-3=5$；
2. 把$x=3$代入得：$y_2=3^2 -2×3 -3=9-6-3=0$；
3. 把$x=5$代入得：$y_3=5^2 -2×5 -3=25-10-3=12$。
比较得$0＜5＜12$，即$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：性质判断法
抛物线$y=x^2 -2x -3$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1、b=-2$得对称轴为$x=1$；
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大：
点A到对称轴的距离：$\vert -2-1\vert=3$
点B到对称轴的距离：$\vert 3-1\vert=2$
点C到对称轴的距离：$\vert 5-1\vert=4$
距离大小为$2＜3＜4$，因此函数值大小为$y_2＜y_1＜y_3$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数值比较；二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法各有优势，代入法思路直白易掌握，性质法更节省做题时间，同学们可以熟练掌握两种方法，根据实际情况灵活选择。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知四边形OABC是正方形，点A、C恰好在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$上，点B在y轴上，那么OB的长为 （
A.2；
B.$2\sqrt{2}$；
C.4；
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C
）A.2；
B.$2\sqrt{2}$；
C.4；
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
3. C.
解析
【分析】
首先利用抛物线关于y轴对称的性质，结合正方形OABC的点B在y轴上，可推出点A、C关于y轴对称，且正方形对角线OB与边OA的夹角为45°，因此点A的横坐标与纵坐标相等。我们可以先设点A坐标，代入抛物线解析式求出点A坐标，再结合正方形对角线与边长的关系即可求出OB的长度。
【解析】
∵ 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的对称轴为y轴，四边形OABC是正方形且点B在y轴上，
∴ 点A、C关于y轴对称，且$∠ AOB=45°$。
过点A作x轴的垂线，垂足为D，则$△ AOD$为等腰直角三角形，即点A的横坐标与纵坐标相等。
设点A坐标为$(a,a)$（$a＞0$），将其代入抛物线解析式得：
$a=\frac{1}{2}a^2$
解得$a=2$（$a=0$对应原点，舍去），即点A坐标为$(2,2)$。
由勾股定理得正方形边长$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
正方形对角线长度为边长的$\sqrt{2}$倍，因此$OB=\sqrt{2} × OA=\sqrt{2} × 2\sqrt{2}=4$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题关键是根据正方形的角度特征推导得出点A横纵坐标相等的关系，再代入解析式求解，考查了学生对基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
首先利用抛物线关于y轴对称的性质，结合正方形OABC的点B在y轴上，可推出点A、C关于y轴对称，且正方形对角线OB与边OA的夹角为45°，因此点A的横坐标与纵坐标相等。我们可以先设点A坐标，代入抛物线解析式求出点A坐标，再结合正方形对角线与边长的关系即可求出OB的长度。
【解析】
∵ 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的对称轴为y轴，四边形OABC是正方形且点B在y轴上，
∴ 点A、C关于y轴对称，且$∠ AOB=45°$。
过点A作x轴的垂线，垂足为D，则$△ AOD$为等腰直角三角形，即点A的横坐标与纵坐标相等。
设点A坐标为$(a,a)$（$a＞0$），将其代入抛物线解析式得：
$a=\frac{1}{2}a^2$
解得$a=2$（$a=0$对应原点，舍去），即点A坐标为$(2,2)$。
由勾股定理得正方形边长$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
正方形对角线长度为边长的$\sqrt{2}$倍，因此$OB=\sqrt{2} × OA=\sqrt{2} × 2\sqrt{2}=4$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题关键是根据正方形的角度特征推导得出点A横纵坐标相等的关系，再代入解析式求解，考查了学生对基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，小正方形的边长均相等，点A、B、C都在格点上. 以线段AB为一边，另一个顶点在图中所示的格点上，与$△ ABC$相似但不全等的三角形有（
A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
B
）A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
答案
4. B.
解析
【分析】
首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算出△ABC的三边长度，得到三边的比值；其次，所求三角形以AB为公共边，根据相似三角形三边成比例的判定定理，分情况寻找图中格点作为第三个顶点，排除全等的情况，统计符合要求的三角形个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算△ABC的三边长：
$AC=2$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
要求所作三角形以AB为边，与△ABC相似但不全等，即新三角形三边比也为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，且边长与△ABC不完全相同：
1. 当AB对应原三角形中长度为$\sqrt{5}$的边时，相似比为$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，此时新三角形另外两边长为$\sqrt{2}$、$2$，找到的格点构成的三角形与△ABC全等，不符合要求，排除。
2. 当AB对应原三角形中长度为$\sqrt{2}$的边时，相似比为$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}$，此时新三角形另外两边长为$\sqrt{5}$、$5$，在给定网格中可找到2个符合要求的格点作为第三个顶点，构成的三角形与△ABC相似且不全等。
综上，符合要求的三角形共有2个。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查格点三角形相似的判定，解题关键是先求出已知三角形的三边比，再结合网格特点寻找符合比例的格点，注意排除全等的情况。
【难度系数】
0.65
首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算出△ABC的三边长度，得到三边的比值；其次，所求三角形以AB为公共边，根据相似三角形三边成比例的判定定理，分情况寻找图中格点作为第三个顶点，排除全等的情况，统计符合要求的三角形个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算△ABC的三边长：
$AC=2$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
要求所作三角形以AB为边，与△ABC相似但不全等，即新三角形三边比也为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，且边长与△ABC不完全相同：
1. 当AB对应原三角形中长度为$\sqrt{5}$的边时，相似比为$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，此时新三角形另外两边长为$\sqrt{2}$、$2$，找到的格点构成的三角形与△ABC全等，不符合要求，排除。
2. 当AB对应原三角形中长度为$\sqrt{2}$的边时，相似比为$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}$，此时新三角形另外两边长为$\sqrt{5}$、$5$，在给定网格中可找到2个符合要求的格点作为第三个顶点，构成的三角形与△ABC相似且不全等。
综上，符合要求的三角形共有2个。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查格点三角形相似的判定，解题关键是先求出已知三角形的三边比，再结合网格特点寻找符合比例的格点，注意排除全等的情况。
【难度系数】
0.65
5. 给出以下说法：①两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似；②两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形相似；③两边及第三边的中线对应成比例的两个三角形相似；④两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形相似. 其中，说法正确的是（
A.③④；
B.②③④；
C.①③④；
D.①②③④.
A
）A.③④；
B.②③④；
C.①③④；
D.①②③④.
答案
5. A.
解析
【分析】
我们需要逐个判断4个说法的正误，结合相似三角形的判定定理分析：对于涉及高的说法，要注意三角形的高可能在内部也可能在外部，可通过举反例验证错误；对于涉及中线的说法，可利用中线的性质，通过构造全等或转化边的比例关系，推导证明三角形相似。
【解析】
逐个分析4个说法：
1. 说法①：存在反例：一个锐角三角形和一个钝角三角形，可满足两边对应成比例，且第三边上的高的比等于两边的比，但两个三角形内角不同，形状不同，不相似，故①错误。
2. 说法②：存在反例：两边对应成比例，其中一边上的高的比等于两边的比时，两边的夹角可能一个是锐角、一个是钝角（高分别在三角形内部、外部），夹角不相等，故两个三角形不相似，②错误。
3. 说法③：设△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，AD是BC边中线，A'D'是B'C'边中线。
倍长AD至E，使$DE=AD$，连接BE，易证$△ ADC≌△ EDB$，得$BE=AC$；同理倍长A'D'至E'，得$B'E'=A'C'$。
可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BE}{B'E'}=\frac{AE}{A'E'}$，故$△ ABE∽△ A'B'E'$，推出$∠ BAE=∠ B'A'E'$，$∠ E=∠ E'=∠ CAD$，因此$∠ BAC=∠ B'A'C'$。
结合$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，由SAS判定可得$△ ABC∽△ A'B'C'$，故③正确。
4. 说法④：设△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，AD是BC边中线，A'D'是B'C'边中线。
则$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，故$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}$，可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，因此$△ ABD∽△ A'B'D'$，推出$∠ B=∠ B'$。
结合$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，由SAS判定可得$△ ABC∽△ A'B'C'$，故④正确。
综上，③④正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；三角形中线的性质；三角形高的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的易错题，解题的关键是注意三角形高的位置不固定，易构造出不相似的反例，而中线位置固定，可通过边的比例推导证明相似。
【难度系数】
0.6
我们需要逐个判断4个说法的正误，结合相似三角形的判定定理分析：对于涉及高的说法，要注意三角形的高可能在内部也可能在外部，可通过举反例验证错误；对于涉及中线的说法，可利用中线的性质，通过构造全等或转化边的比例关系，推导证明三角形相似。
【解析】
逐个分析4个说法：
1. 说法①：存在反例：一个锐角三角形和一个钝角三角形，可满足两边对应成比例，且第三边上的高的比等于两边的比，但两个三角形内角不同，形状不同，不相似，故①错误。
2. 说法②：存在反例：两边对应成比例，其中一边上的高的比等于两边的比时，两边的夹角可能一个是锐角、一个是钝角（高分别在三角形内部、外部），夹角不相等，故两个三角形不相似，②错误。
3. 说法③：设△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，AD是BC边中线，A'D'是B'C'边中线。
倍长AD至E，使$DE=AD$，连接BE，易证$△ ADC≌△ EDB$，得$BE=AC$；同理倍长A'D'至E'，得$B'E'=A'C'$。
可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BE}{B'E'}=\frac{AE}{A'E'}$，故$△ ABE∽△ A'B'E'$，推出$∠ BAE=∠ B'A'E'$，$∠ E=∠ E'=∠ CAD$，因此$∠ BAC=∠ B'A'C'$。
结合$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，由SAS判定可得$△ ABC∽△ A'B'C'$，故③正确。
4. 说法④：设△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，AD是BC边中线，A'D'是B'C'边中线。
则$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，故$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}$，可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，因此$△ ABD∽△ A'B'D'$，推出$∠ B=∠ B'$。
结合$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，由SAS判定可得$△ ABC∽△ A'B'C'$，故④正确。
综上，③④正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；三角形中线的性质；三角形高的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的易错题，解题的关键是注意三角形高的位置不固定，易构造出不相似的反例，而中线位置固定，可通过边的比例推导证明相似。
【难度系数】
0.6
