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6 如图，正方形ABCD的顶点A、C在抛物线$y=-x^2+4$上，点D在y轴上.若A、C两点的横坐标分别为m、n(m＞n＞0)，下列结论中正确的是 (
A.$m+n=1$；
B.$m-n=1$；
C.$mn=1$；
D.$\frac{m}{n}=1$.
B
)A.$m+n=1$；
B.$m-n=1$；
C.$mn=1$；
D.$\frac{m}{n}=1$.
答案
6. B. 提示：如图
，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点C作CN⊥y轴，垂足为N. 易证△AMD≌△DNC. 点A、C的横坐标分别为m、n，可得坐标A(m,−m²+4)、C(n,−n²+4). 由AM=m，CN=n，得DM=n，DN=m. 所以，−n²+4−m=−m²+4+n，得m²−n²=m+n. 由m+n≠0，得m−n=1.解析
【分析】
要推导横坐标m、n的关系，首先利用正方形邻边垂直且相等的性质，过A、C作y轴的垂线构造直角三角形，证明两直角三角形全等得到边的对应关系；再结合抛物线上点的坐标特征，写出A、C两点的坐标，根据全等得到的边的关系列出等式，化简后即可得到m和n的数量关系。
【解析】
过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点C作CN⊥y轴，垂足为N。
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=DA，∠CDA=90°，
∴∠CDN + ∠ADM = 90°，
又
∵∠CDN + ∠DCN = 90°，
∴∠ADM = ∠DCN，
在△AMD和△DNC中：
$\{\begin{array}{l}∠ AMD=∠ DNC=90°\\∠ ADM=∠ DCN\\AD=DC\end{array} $
∴△AMD≌△DNC（AAS），
∴AM=DN，DM=CN。
∵点A、C在抛物线$y=-x^2+4$上，横坐标分别为m、n，
∴$A(m,-m^2+4)$，$C(n,-n^2+4)$，
∴AM=m，CN=n，即DN=m，DM=n。
观察纵坐标的关系：点C的纵坐标减去点D的纵坐标等于DN=m，点D的纵坐标减去点A的纵坐标等于DM=n，即：
$-n^2+4 - y_D = m$，$y_D - (-m^2+4) = n$，
消去$y_D$得：$-n^2+4 - m = -m^2+4 + n$，
整理得：$m^2 - n^2 = m + n$，
因式分解得：$(m-n)(m+n) = m+n$，
∵$m＞n＞0$，
∴$m+n ≠ 0$，
等式两边同时除以$m+n$得：$m-n=1$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，核心解题思路是通过构造辅助线得到全等三角形，将几何图形的边的关系转化为坐标的代数关系，考查了数形结合思想与代数化简能力。
【难度系数】
0.6
要推导横坐标m、n的关系，首先利用正方形邻边垂直且相等的性质，过A、C作y轴的垂线构造直角三角形，证明两直角三角形全等得到边的对应关系；再结合抛物线上点的坐标特征，写出A、C两点的坐标，根据全等得到的边的关系列出等式，化简后即可得到m和n的数量关系。
【解析】
过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点C作CN⊥y轴，垂足为N。
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=DA，∠CDA=90°，
∴∠CDN + ∠ADM = 90°，
又
∵∠CDN + ∠DCN = 90°，
∴∠ADM = ∠DCN，
在△AMD和△DNC中：
$\{\begin{array}{l}∠ AMD=∠ DNC=90°\\∠ ADM=∠ DCN\\AD=DC\end{array} $
∴△AMD≌△DNC（AAS），
∴AM=DN，DM=CN。
∵点A、C在抛物线$y=-x^2+4$上，横坐标分别为m、n，
∴$A(m,-m^2+4)$，$C(n,-n^2+4)$，
∴AM=m，CN=n，即DN=m，DM=n。
观察纵坐标的关系：点C的纵坐标减去点D的纵坐标等于DN=m，点D的纵坐标减去点A的纵坐标等于DM=n，即：
$-n^2+4 - y_D = m$，$y_D - (-m^2+4) = n$，
消去$y_D$得：$-n^2+4 - m = -m^2+4 + n$，
整理得：$m^2 - n^2 = m + n$，
因式分解得：$(m-n)(m+n) = m+n$，
∵$m＞n＞0$，
∴$m+n ≠ 0$，
等式两边同时除以$m+n$得：$m-n=1$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，核心解题思路是通过构造辅助线得到全等三角形，将几何图形的边的关系转化为坐标的代数关系，考查了数形结合思想与代数化简能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题
7. 如果$\frac{a}{5}=\frac{b}{3}$，那么$\frac{a - b}{a}$的值为
7. 如果$\frac{a}{5}=\frac{b}{3}$，那么$\frac{a - b}{a}$的值为
$\frac{2}{5}$
。答案
7. $\frac{2}{5}$.
解析
【分析】
本题已知a与b的比例关系，求含a、b的分式的值，解题思路如下：首先利用比例的性质，推导得到a和b的数量关系，或者引入参数将a、b用同一个参数表示，再将其代入目标分式，通过约分消去未知数，即可求出分式的值。
【解析】
方法一：参数法
设$\frac{a}{5}=\frac{b}{3}=k$（$k≠0$），则$a=5k$，$b=3k$。
将$a=5k$，$b=3k$代入$\frac{a-b}{a}$得：
$\frac{a-b}{a}=\frac{5k-3k}{5k}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$。
方法二：比例性质推导
由$\frac{a}{5}=\frac{b}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：$3a=5b$，即$b=\frac{3}{5}a$。
将$b=\frac{3}{5}a$代入$\frac{a-b}{a}$得：
$\frac{a-b}{a}=\frac{a-\frac{3}{5}a}{a}=\frac{\frac{2}{5}a}{a}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题方法灵活，两种常用解法都能快速得到结果，核心是通过已知的比例关系消去目标分式中的未知数，掌握比例性质和分式化简规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题已知a与b的比例关系，求含a、b的分式的值，解题思路如下：首先利用比例的性质，推导得到a和b的数量关系，或者引入参数将a、b用同一个参数表示，再将其代入目标分式，通过约分消去未知数，即可求出分式的值。
【解析】
方法一：参数法
设$\frac{a}{5}=\frac{b}{3}=k$（$k≠0$），则$a=5k$，$b=3k$。
将$a=5k$，$b=3k$代入$\frac{a-b}{a}$得：
$\frac{a-b}{a}=\frac{5k-3k}{5k}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$。
方法二：比例性质推导
由$\frac{a}{5}=\frac{b}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：$3a=5b$，即$b=\frac{3}{5}a$。
将$b=\frac{3}{5}a$代入$\frac{a-b}{a}$得：
$\frac{a-b}{a}=\frac{a-\frac{3}{5}a}{a}=\frac{\frac{2}{5}a}{a}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题方法灵活，两种常用解法都能快速得到结果，核心是通过已知的比例关系消去目标分式中的未知数，掌握比例性质和分式化简规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 如果$y=(m+2)x^{m^2 -2} +2x +3$是关于$x$的二次函数，那么实数$m$的值为
2
。答案
8. 2.
解析
【分析】
要判断函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义核心：一是最高次项的次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0则二次项消失，不符合二次函数要求）。我们只需根据这两个条件分别列方程和不等式，求解后取公共解即可得到m的取值。
【解析】
解：
∵$y=(m+2)x^{m^2 -2} +2x +3$是关于$x$的二次函数
∴根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$m^2 - 2 = 2$
2. 二次项系数不为0：$m+2 ≠ 0$
先解方程$m^2 - 2 = 2$：
移项得$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$
再解不等式$m+2 ≠ 0$，得$m ≠ -2$
综上，同时满足两个条件的$m$的值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础考察题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误将$m=-2$也作为正确结果，解题时需牢记二次函数定义的两个核心要求，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.7
要判断函数为二次函数，需紧扣二次函数的定义核心：一是最高次项的次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0则二次项消失，不符合二次函数要求）。我们只需根据这两个条件分别列方程和不等式，求解后取公共解即可得到m的取值。
【解析】
解：
∵$y=(m+2)x^{m^2 -2} +2x +3$是关于$x$的二次函数
∴根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$m^2 - 2 = 2$
2. 二次项系数不为0：$m+2 ≠ 0$
先解方程$m^2 - 2 = 2$：
移项得$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$
再解不等式$m+2 ≠ 0$，得$m ≠ -2$
综上，同时满足两个条件的$m$的值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础考察题，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误将$m=-2$也作为正确结果，解题时需牢记二次函数定义的两个核心要求，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.7
9. 如果抛物线 $ y=(a-2)x^2 -1 $ 有最高点，那么实数 $ a $ 的取值范围是
$a＜2$
。答案
9. $a＜2$.
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定，开口向上时抛物线有最低点，开口向下时抛物线有最高点。本题已知抛物线有最高点，说明开口向下，因此只需让二次项系数小于0，解对应的不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 函数$ y=(a-2)x^2 -1 $的图象是抛物线，
∴ 该函数是二次函数，其二次项系数为$a-2$。
又
∵ 抛物线有最高点，
∴ 抛物线开口向下，即二次项系数小于0，
可得不等式：$a-2 ＜ 0$，
解得：$a ＜ 2$。
【答案】
$a＜2$
【知识点】
1.二次函数图象性质
2.一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握二次函数开口方向与二次项系数符号的对应关系，解题时注意抛物线本身已经隐含二次项系数不为0的条件，本题求解结果已经满足该条件，无需额外限制。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆二次函数的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定，开口向上时抛物线有最低点，开口向下时抛物线有最高点。本题已知抛物线有最高点，说明开口向下，因此只需让二次项系数小于0，解对应的不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 函数$ y=(a-2)x^2 -1 $的图象是抛物线，
∴ 该函数是二次函数，其二次项系数为$a-2$。
又
∵ 抛物线有最高点，
∴ 抛物线开口向下，即二次项系数小于0，
可得不等式：$a-2 ＜ 0$，
解得：$a ＜ 2$。
【答案】
$a＜2$
【知识点】
1.二次函数图象性质
2.一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握二次函数开口方向与二次项系数符号的对应关系，解题时注意抛物线本身已经隐含二次项系数不为0的条件，本题求解结果已经满足该条件，无需额外限制。
【难度系数】
0.85
10. 已知二次函数$y=x^2+2x+m$与$x$轴有两个交点，那么实数$m$的取值范围是
$m＜1$
。答案
10. $m＜1$.
解析
【分析】
要确定二次函数与x轴有两个交点时参数m的取值范围，首先需明确：二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$与x轴的交点个数和对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实根个数一致，实根个数可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断。当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实根，对应二次函数与x轴有两个交点。本题已明确是二次函数，二次项系数$a=1≠0$，因此只需代入系数列出$\Delta＞0$的不等式，求解不等式即可得到m的范围。
【解析】
对于二次函数$y = ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其与x轴交点个数由判别式$\Delta = b^2-4ac$决定：
当$\Delta＞0$时，函数与x轴有两个不同交点。
已知二次函数$y=x^2+2x+m$，其中$a=1$，$b=2$，$c=m$，
因为函数与x轴有两个交点，所以$\Delta＞0$，代入得：
$\begin{aligned}2^2 - 4×1× m &＞ 0\\4 - 4m &＞ 0\\-4m &＞ -4\\m &＜ 1\end{aligned}$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
二次函数与x轴交点、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，牢记判别式不同取值对应的交点情况即可快速求解，解题时需注意先确认二次项系数不为0，本题已明确为二次函数，可直接代入计算。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数与x轴有两个交点时参数m的取值范围，首先需明确：二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$与x轴的交点个数和对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实根个数一致，实根个数可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断。当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实根，对应二次函数与x轴有两个交点。本题已明确是二次函数，二次项系数$a=1≠0$，因此只需代入系数列出$\Delta＞0$的不等式，求解不等式即可得到m的范围。
【解析】
对于二次函数$y = ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其与x轴交点个数由判别式$\Delta = b^2-4ac$决定：
当$\Delta＞0$时，函数与x轴有两个不同交点。
已知二次函数$y=x^2+2x+m$，其中$a=1$，$b=2$，$c=m$，
因为函数与x轴有两个交点，所以$\Delta＞0$，代入得：
$\begin{aligned}2^2 - 4×1× m &＞ 0\\4 - 4m &＞ 0\\-4m &＞ -4\\m &＜ 1\end{aligned}$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
二次函数与x轴交点、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，牢记判别式不同取值对应的交点情况即可快速求解，解题时需注意先确认二次项系数不为0，本题已明确为二次函数，可直接代入计算。
【难度系数】
0.8
11. 将抛物线$y=-(x-2)^2+1$先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的新抛物线的表达式为
$y=-(x-7)^2+4$
。答案
11. $y=-(x-7)^2+4$.
解析
【分析】
解决本题需用到二次函数图象的平移规律，即“上加下减常数项，左加右减自变量”：上下平移仅改变表达式的常数项，向上平移n个单位，常数项加n，向下平移n个单位，常数项减n；左右平移仅改变自变量，向左平移m个单位，将自变量x替换为x+m，向右平移m个单位，将自变量x替换为x-m。我们分两步对原抛物线表达式做变换即可求出新抛物线的表达式。
【解析】
已知原抛物线的表达式为$y=-(x-2)^2+1$。
第一步：向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的规则，在常数项上加3，可得：
$y=-(x-2)^2+1+3 = -(x-2)^2+4$
第二步：向右平移5个单位长度，根据“左加右减”的规则，将表达式中的$x$替换为$x-5$，代入得：
$y=-[(x-5)-2]^2 +4$
化简后为$y=-(x-7)^2+4$。
【答案】
$y=-(x-7)^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规则的应用，易错点是左右平移时容易搞反加减方向，注意左右平移是针对自变量x进行变换，牢记规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需用到二次函数图象的平移规律，即“上加下减常数项，左加右减自变量”：上下平移仅改变表达式的常数项，向上平移n个单位，常数项加n，向下平移n个单位，常数项减n；左右平移仅改变自变量，向左平移m个单位，将自变量x替换为x+m，向右平移m个单位，将自变量x替换为x-m。我们分两步对原抛物线表达式做变换即可求出新抛物线的表达式。
【解析】
已知原抛物线的表达式为$y=-(x-2)^2+1$。
第一步：向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的规则，在常数项上加3，可得：
$y=-(x-2)^2+1+3 = -(x-2)^2+4$
第二步：向右平移5个单位长度，根据“左加右减”的规则，将表达式中的$x$替换为$x-5$，代入得：
$y=-[(x-5)-2]^2 +4$
化简后为$y=-(x-7)^2+4$。
【答案】
$y=-(x-7)^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规则的应用，易错点是左右平移时容易搞反加减方向，注意左右平移是针对自变量x进行变换，牢记规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 一个边长为10 cm的正方形，如果它的边长减少x cm(0＜x＜10)，那么正方形的面积随之减少y cm²，那么y关于x的函数表达式是
$y=-x^2+20x$
。答案
12. $y=-x^2+20x$.
解析
【分析】
要推导y关于x的函数表达式，首先明确等量关系：减少的面积=原正方形面积-边长减少后的正方形面积。首先利用正方形面积公式先计算原正方形的面积，再表示出边长减少x后新正方形的边长和面积，代入等量关系后化简即可得到所求函数式。
【解析】
解：原正方形边长为10 cm，因此原正方形的面积为：
$S_{\mathrm{原}} = 10×10=100\ \mathrm{cm}^2$
边长减少x cm后，新正方形的边长为$(10-x)\ \mathrm{cm}$，因此新正方形的面积为：
$S_{\mathrm{新}}=(10-x)^2\ \mathrm{cm}^2$
根据面积减少量为y cm²，可得：
$y=S_{\mathrm{原}}-S_{\mathrm{新}}$
代入表达式展开化简：
$\begin{aligned}y&=100-(10-x)^2\\&=100-(100-20x+x^2)\\&=-x^2+20x\end{aligned}$
结合题目的取值范围$0＜x＜10$，最终得到函数表达式。
【答案】
$y=-x^2+20x$
【知识点】
正方形面积计算；列二次函数表达式；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数基础实际应用题，解题核心是找准面积变化的等量关系，计算时要注意完全平方公式的展开规则，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8
要推导y关于x的函数表达式，首先明确等量关系：减少的面积=原正方形面积-边长减少后的正方形面积。首先利用正方形面积公式先计算原正方形的面积，再表示出边长减少x后新正方形的边长和面积，代入等量关系后化简即可得到所求函数式。
【解析】
解：原正方形边长为10 cm，因此原正方形的面积为：
$S_{\mathrm{原}} = 10×10=100\ \mathrm{cm}^2$
边长减少x cm后，新正方形的边长为$(10-x)\ \mathrm{cm}$，因此新正方形的面积为：
$S_{\mathrm{新}}=(10-x)^2\ \mathrm{cm}^2$
根据面积减少量为y cm²，可得：
$y=S_{\mathrm{原}}-S_{\mathrm{新}}$
代入表达式展开化简：
$\begin{aligned}y&=100-(10-x)^2\\&=100-(100-20x+x^2)\\&=-x^2+20x\end{aligned}$
结合题目的取值范围$0＜x＜10$，最终得到函数表达式。
【答案】
$y=-x^2+20x$
【知识点】
正方形面积计算；列二次函数表达式；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数基础实际应用题，解题核心是找准面积变化的等量关系，计算时要注意完全平方公式的展开规则，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8
13. 一张仿古信笺的示意图如图所示，纸中的竖格线互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，直线$l$上的三点$A$、$B$、$C$都在竖格线上。如果线段$AB=2.4\ \mathrm{cm}$，那么线段$BC$的长为
7.2
cm.答案
13. 7.2.
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先明确题中竖格线是一组等距的平行线，且A、B、C三点都在竖格线上，我们只需数出AB、BC两段分别对应的相邻竖格线的间隔数，根据等距平行线截直线所得线段长度比等于对应间隔数之比，即可列出比例式计算BC的长度。
【解析】
解：
∵ 竖格线互相平行，且相邻两条竖格线间的距离相等，A、B、C都在竖格线上
∴ 数得AB对应的间隔数为1，BC对应的间隔数为3
根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{3}$
将$AB=2.4\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{2.4}{BC}=\frac{1}{3}$
解得 $BC=2.4×3=7.2\ \mathrm{cm}$
【答案】
7.2
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例计算
【点评】
本题结合生活中的信笺格线场景考查几何定理的应用，解题的关键是准确数出两段线段对应的竖格间隔数，注重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先明确题中竖格线是一组等距的平行线，且A、B、C三点都在竖格线上，我们只需数出AB、BC两段分别对应的相邻竖格线的间隔数，根据等距平行线截直线所得线段长度比等于对应间隔数之比，即可列出比例式计算BC的长度。
【解析】
解：
∵ 竖格线互相平行，且相邻两条竖格线间的距离相等，A、B、C都在竖格线上
∴ 数得AB对应的间隔数为1，BC对应的间隔数为3
根据平行线分线段成比例定理，可得 $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{3}$
将$AB=2.4\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{2.4}{BC}=\frac{1}{3}$
解得 $BC=2.4×3=7.2\ \mathrm{cm}$
【答案】
7.2
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例计算
【点评】
本题结合生活中的信笺格线场景考查几何定理的应用，解题的关键是准确数出两段线段对应的竖格间隔数，注重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=3$，$BC=5$，点E在边BC上，连接AE并延长，与DC的延长线相交于点F.如果$CF=1$，那么CE的长为
$\frac{5}{4}$
.答案
14. $\frac{5}{4}$.
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行的性质，得到AB与CF平行，进而推出△ABE和△FCE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长度，建立关于CE的方程，求解即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即AB//CF，
∴∠B=∠ECF，∠BAE=∠F，
∴△ABE∽△FCE，
∴$\frac{AB}{CF}=\frac{BE}{CE}$。
设CE的长为$x$，已知BC=5，则BE=5-$x$，
将AB=3，CF=1代入比例式得：
$\frac{3}{1}=\frac{5-x}{x}$，
交叉相乘得：$3x=5-x$，
整理得：$4x=5$，
解得$x=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的核心是通过平行关系找到相似三角形，再利用相似的比例性质建立方程求解，难度较低，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对边平行的性质，得到AB与CF平行，进而推出△ABE和△FCE相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长度，建立关于CE的方程，求解即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即AB//CF，
∴∠B=∠ECF，∠BAE=∠F，
∴△ABE∽△FCE，
∴$\frac{AB}{CF}=\frac{BE}{CE}$。
设CE的长为$x$，已知BC=5，则BE=5-$x$，
将AB=3，CF=1代入比例式得：
$\frac{3}{1}=\frac{5-x}{x}$，
交叉相乘得：$3x=5-x$，
整理得：$4x=5$，
解得$x=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的核心是通过平行关系找到相似三角形，再利用相似的比例性质建立方程求解，难度较低，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
