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15. 如图，正方形 DEFG 的顶点均在$△ ABC$ 的边上，$BC=6$，$DE=2$，那么边 $BC$ 上的高的长为
3
。答案
15. 3.
解析
【分析】
首先观察图形，正方形DEFG的边DG与BC平行，可推出△ADG与△ABC相似；结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，设BC边上的高为h，可知△ADG的高为h减去正方形边长，代入比例关系列方程即可求出结果。
【解析】
设△ABC边BC上的高长度为h。
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG//BC，DG=DE=2，且DG与BC的距离等于DE的长度2，因此△ADG对应边上的高为$h-2$。
∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABC。
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{△ADG的高}{△ABC的高}=\frac{DG}{BC}$
代入已知BC=6、DG=2，得：
$\frac{h-2}{h}=\frac{2}{6}$
交叉相乘化简：$3(h-2)=h$
展开整理得：$2h=6$，解得$h=3$。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的性质，正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，解题核心是利用平行线判定相似三角形，结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，需注意两个三角形的高的差值等于正方形的边长。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，正方形DEFG的边DG与BC平行，可推出△ADG与△ABC相似；结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，设BC边上的高为h，可知△ADG的高为h减去正方形边长，代入比例关系列方程即可求出结果。
【解析】
设△ABC边BC上的高长度为h。
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG//BC，DG=DE=2，且DG与BC的距离等于DE的长度2，因此△ADG对应边上的高为$h-2$。
∵DG//BC，
∴△ADG∽△ABC。
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{△ADG的高}{△ABC的高}=\frac{DG}{BC}$
代入已知BC=6、DG=2，得：
$\frac{h-2}{h}=\frac{2}{6}$
交叉相乘化简：$3(h-2)=h$
展开整理得：$2h=6$，解得$h=3$。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的性质，正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，解题核心是利用平行线判定相似三角形，结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，需注意两个三角形的高的差值等于正方形的边长。
【难度系数】
0.7
16. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图像如图所示，该函数图像的对称轴是直线$x=1$，图像与$y$轴交点的纵坐标是2. 现给出以下说法：①$2a+b=0$；②方程$ax^2+bx+c=0$一定有一个根在－2和－1之间；③方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$一定有两个不相等的实数根；④$b-a＞2$. 其中，说法正确的是
①③④
.(填序号)答案
16. ①③④.
解析
【分析】
首先提取题目已知信息：二次函数开口向下，对称轴为直线$x=1$，与y轴交于点$(0,2)$，且$x=2$时函数值为正、$x=3$时函数值为负。接下来结合二次函数的性质逐个判断结论：①用对称轴公式推导$a$与$b$的关系；②利用对称性求另一个x轴交点的范围；③结合函数最大值判断方程根的个数；④利用$x=-1$时的函数值符号推导$b-a$和2的大小关系。
【解析】
1. 判断①：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，化简得$-b=2a$，即$2a+b=0$，故①正确；
2. 判断②：由对称性，$2＜x＜3$范围内的x轴交点关于$x=1$的对称点横坐标范围为$2×1-3＜x＜2×1-2$，即$-1＜x＜0$，因此另一个根在$-1$到$0$之间，不在$-2$和$-1$之间，故②错误；
3. 判断③：点$(0,2)$关于$x=1$的对称点为$(2,2)$，说明抛物线经过$(0,2)$、$(2,2)$两点，又因开口向下，顶点为最高点，故顶点纵坐标大于2。方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$等价于$ax^2+bx+c=\frac{3}{2}$，因$\frac{3}{2}＜2＜$顶点纵坐标，故直线$y=\frac{3}{2}$与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，故③正确；
4. 判断④：由②可知$x=-1$时函数值小于0，代入得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c＜0$，已知$c=2$，因此$a-b+2＜0$，移项得$b-a＞2$，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题需要结合图像提取二次函数的隐含信息，熟练运用对称轴公式、对称性、函数值与方程根的对应关系解题，易错点为根的对称范围判断和不等式推导。
【难度系数】
0.65
首先提取题目已知信息：二次函数开口向下，对称轴为直线$x=1$，与y轴交于点$(0,2)$，且$x=2$时函数值为正、$x=3$时函数值为负。接下来结合二次函数的性质逐个判断结论：①用对称轴公式推导$a$与$b$的关系；②利用对称性求另一个x轴交点的范围；③结合函数最大值判断方程根的个数；④利用$x=-1$时的函数值符号推导$b-a$和2的大小关系。
【解析】
1. 判断①：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，化简得$-b=2a$，即$2a+b=0$，故①正确；
2. 判断②：由对称性，$2＜x＜3$范围内的x轴交点关于$x=1$的对称点横坐标范围为$2×1-3＜x＜2×1-2$，即$-1＜x＜0$，因此另一个根在$-1$到$0$之间，不在$-2$和$-1$之间，故②错误；
3. 判断③：点$(0,2)$关于$x=1$的对称点为$(2,2)$，说明抛物线经过$(0,2)$、$(2,2)$两点，又因开口向下，顶点为最高点，故顶点纵坐标大于2。方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$等价于$ax^2+bx+c=\frac{3}{2}$，因$\frac{3}{2}＜2＜$顶点纵坐标，故直线$y=\frac{3}{2}$与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，故③正确；
4. 判断④：由②可知$x=-1$时函数值小于0，代入得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c＜0$，已知$c=2$，因此$a-b+2＜0$，移项得$b-a＞2$，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题需要结合图像提取二次函数的隐含信息，熟练运用对称轴公式、对称性、函数值与方程根的对应关系解题，易错点为根的对称范围判断和不等式推导。
【难度系数】
0.65
17. 如图，将一张三角形纸片ABC按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A落在边BC上的点M处，折痕为CD；第二步，展开纸片，再次折叠纸片，使得点M落在边AB上的点N处，折痕为BE。如果∠A＝90°，AB＝2，N是线段AB的黄金分割点(BN＞AN)，那么斜边BC的长为
$\sqrt{5}$
。答案
17. $\sqrt{5}$. 提示：$BN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\sqrt{5}-1$. 由折叠的性质，得$BM=BN=\sqrt{5}-1$. 设$CM=CA=x$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2^2+x^2=(\sqrt{5}-1+x)^2$，解得$x=1$，故$BC=\sqrt{5}-1+1=\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题时先结合折叠的性质，得到对应相等的线段：第一次折叠可得AC=CM，第二次折叠可得BM=BN；再根据N是AB的黄金分割点且BN＞AN，利用黄金分割的比例求出BN的长度即BM的长度；最后设AC=CM=x，用含x的式子表示BC的长度，在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解x，进而求出BC的长度即可。
【解析】
解：
∵N是线段AB的黄金分割点，且BN＞AN，AB=2，
∴$BN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$。
根据折叠的性质：
第一次折叠点A落在M处，折痕为CD，得$CM=AC$；
第二次折叠点M落在N处，折痕为BE，得$BM=BN=\sqrt{5}-1$。
设$CM=AC=x$，则$BC=BM+CM=\sqrt{5}-1+x$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
代入数值：$2^2+x^2=(\sqrt{5}-1+x)^2$，
展开整理得：$4+x^2=x^2+2(\sqrt{5}-1)x+(\sqrt{5}-1)^2$，
消去$x^2$计算得：$4=2(\sqrt{5}-1)x+6-2\sqrt{5}$，
移项化简得：$2(\sqrt{5}-1)x=2(\sqrt{5}-1)$，
解得$x=1$。
∴$BC=\sqrt{5}-1+1=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
折叠的性质，黄金分割，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何折叠变换的性质、黄金分割的定义以及勾股定理的应用，解题的关键是通过折叠的性质找到线段之间的等量关系，结合勾股定理建立方程求解，是几何综合类的典型基础题。
【难度系数】
0.6
解题时先结合折叠的性质，得到对应相等的线段：第一次折叠可得AC=CM，第二次折叠可得BM=BN；再根据N是AB的黄金分割点且BN＞AN，利用黄金分割的比例求出BN的长度即BM的长度；最后设AC=CM=x，用含x的式子表示BC的长度，在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解x，进而求出BC的长度即可。
【解析】
解：
∵N是线段AB的黄金分割点，且BN＞AN，AB=2，
∴$BN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$。
根据折叠的性质：
第一次折叠点A落在M处，折痕为CD，得$CM=AC$；
第二次折叠点M落在N处，折痕为BE，得$BM=BN=\sqrt{5}-1$。
设$CM=AC=x$，则$BC=BM+CM=\sqrt{5}-1+x$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
代入数值：$2^2+x^2=(\sqrt{5}-1+x)^2$，
展开整理得：$4+x^2=x^2+2(\sqrt{5}-1)x+(\sqrt{5}-1)^2$，
消去$x^2$计算得：$4=2(\sqrt{5}-1)x+6-2\sqrt{5}$，
移项化简得：$2(\sqrt{5}-1)x=2(\sqrt{5}-1)$，
解得$x=1$。
∴$BC=\sqrt{5}-1+1=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
折叠的性质，黄金分割，勾股定理
【点评】
本题综合考查了几何折叠变换的性质、黄金分割的定义以及勾股定理的应用，解题的关键是通过折叠的性质找到线段之间的等量关系，结合勾股定理建立方程求解，是几何综合类的典型基础题。
【难度系数】
0.6
18 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，已知$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=4$. 将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$α(0°＜α＜90°)$得到$△ AB'C'$，点B、C的对应点分别为点$B'$、$C'$，连接$B'B$、$B'C$. 如果直线$B'C$垂直于AB，那么$△ AB'B$的面积是
$4\sqrt{6}$
.答案
18. $4\sqrt{6}$. 提示：如图
，延长$B'C$交$AB$于$D$，则$CD⊥AB$. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理，得$AB=2\sqrt{5}$. 易证$△ACD∽△ABC$，得$AD=\frac{2}{5}\sqrt{5}$. 在$\mathrm{Rt}△AB'D$中，由勾股定理，得$B'D=\frac{4}{5}\sqrt{30}$. 所以，$S_{△AB'B}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{4}{5}\sqrt{30}=4\sqrt{6}$.解析
【分析】
要解决这道题，首先根据“直线$B'C$垂直于$AB$”的条件，延长$B'C$交$AB$于点$D$，可得$B'D ⊥ AB$，即$B'D$是$△ AB'B$中$AB$边上的高。解题步骤可分为四步：第一步利用勾股定理求出$AB$的长度，结合旋转性质得到$AB'=AB$；第二步证明$△ ACD$与$△ ABC$相似，求出$AD$的长度；第三步在$\mathrm{Rt}△ AB'D$中用勾股定理求出高$B'D$的长度；最后用三角形面积公式计算$△ AB'B$的面积。
【解析】
解：延长$B'C$交$AB$于点$D$，
$\because$ 直线$B'C ⊥ AB$，$\therefore ∠ ADB' = 90°$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$。
由旋转的性质可知：$AB' = AB = 2\sqrt{5}$。
2. 在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，$∠ CAD = ∠ BAC$，
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两角对应相等，两三角形相似）。
$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，代入数值得：
$AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{2^2}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ AB'D$中，$∠ ADB' = 90°$，
由勾股定理得：$B'D = \sqrt{AB'^2 - AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - (\frac{2\sqrt{5}}{5})^2} = \sqrt{20 - \frac{4}{5}} = \frac{4\sqrt{30}}{5}$。
4. 计算$△ AB'B$的面积：
$S_{△ AB'B} = \frac{1}{2} × AB × B'D = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \frac{4\sqrt{30}}{5} = 4\sqrt{6}$。
【答案】
$4\sqrt{6}$
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将所求三角形的高转化为直角三角形的边，结合旋转、相似、勾股定理的相关知识逐步求解，能有效检验几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先根据“直线$B'C$垂直于$AB$”的条件，延长$B'C$交$AB$于点$D$，可得$B'D ⊥ AB$，即$B'D$是$△ AB'B$中$AB$边上的高。解题步骤可分为四步：第一步利用勾股定理求出$AB$的长度，结合旋转性质得到$AB'=AB$；第二步证明$△ ACD$与$△ ABC$相似，求出$AD$的长度；第三步在$\mathrm{Rt}△ AB'D$中用勾股定理求出高$B'D$的长度；最后用三角形面积公式计算$△ AB'B$的面积。
【解析】
解：延长$B'C$交$AB$于点$D$，
$\because$ 直线$B'C ⊥ AB$，$\therefore ∠ ADB' = 90°$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$。
由旋转的性质可知：$AB' = AB = 2\sqrt{5}$。
2. 在$△ ACD$和$△ ABC$中，
$∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，$∠ CAD = ∠ BAC$，
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$（两角对应相等，两三角形相似）。
$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，代入数值得：
$AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{2^2}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ AB'D$中，$∠ ADB' = 90°$，
由勾股定理得：$B'D = \sqrt{AB'^2 - AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - (\frac{2\sqrt{5}}{5})^2} = \sqrt{20 - \frac{4}{5}} = \frac{4\sqrt{30}}{5}$。
4. 计算$△ AB'B$的面积：
$S_{△ AB'B} = \frac{1}{2} × AB × B'D = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \frac{4\sqrt{30}}{5} = 4\sqrt{6}$。
【答案】
$4\sqrt{6}$
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将所求三角形的高转化为直角三角形的边，结合旋转、相似、勾股定理的相关知识逐步求解，能有效检验几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
