三、解答题
19. 如图，已知在$△ ABC$中，$DE // AC$，$DF // AE$，$\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，$BF=6$，求$EF$和$CF$的长.

19. $EF=4$，$CF=\frac{32}{3}$.

【分析】
本题给出两组平行线和线段比例关系，可利用平行线分线段成比例定理求解线段长度。首先，结合DF//AE的条件，在△ABE中列出BD、AD、BF、EF的比例式，即可求出EF的长；接着求出BE的长度，再结合DE//AC的条件，在△ABC中列出BD、AD、BE、EC的比例式，求出EC的长；最后将EF与EC相加即可得到CF的长。
【解析】
解：
1. 求EF的长
∵ $DF//AE$，根据平行线分线段成比例定理，在$△ ABE$中可得：
$\frac{BD}{AD}=\frac{BF}{EF}$
已知$\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，$BF=6$，代入得：
$\frac{3}{2}=\frac{6}{EF}$
解得：$EF=\frac{6×2}{3}=4$
2. 求CF的长
先计算$BE=BF+EF=6+4=10$
∵ $DE//AC$，根据平行线分线段成比例定理，在$△ ABC$中可得：
$\frac{BD}{AD}=\frac{BE}{EC}$
代入$\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$，$BE=10$得：
$\frac{3}{2}=\frac{10}{EC}$
解得：$EC=\frac{10×2}{3}=\frac{20}{3}$
∴ $CF=EF+EC=4+\frac{20}{3}=\frac{12}{3}+\frac{20}{3}=\frac{32}{3}$
【答案】
$EF=4$，$CF=\frac{32}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例的运算
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时需找准平行线对应的三角形以及成比例的对应线段，避免因线段对应关系出错导致计算错误。
【难度系数】
0.7

20. 一个二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的部分图像如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是(6,0)，且对称轴是直线 $ x=2 $。
(1) ① a与b的数量关系为 。
② 该图像与x轴的另一个交点坐标为 。
(2) 如果该函数图像经过点(0,−3)，求它的顶点坐标。

20. (1) ① $b=-4a$. ② $(-2,0)$. (2) $(2,-4)$.

【分析】
(1)① 要求a与b的数量关系，可直接利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合已知对称轴$x=2$代入推导即可。② 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点坐标和对称轴，利用对称性即可计算出另一个交点坐标。
(2) 求顶点坐标，已知顶点横坐标为2，可先利用函数经过的已知点(0,-3)、(6,0)，结合第一问得到的a、b关系，用待定系数法求出二次函数解析式，再将x=2代入解析式算出纵坐标，即可得到顶点坐标。
【解析】
(1)① 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，已知对称轴为直线$x=2$，因此：
$-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$。
② 设二次函数与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，因为二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以两个交点横坐标的平均值等于对称轴横坐标：
$\frac{x+6}{2}=2$，解得$x=4-6=-2$，因此另一个交点坐标为$(-2,0)$。
(2) 已知函数图像经过点$(0,-3)$，代入$y=ax^2+bx+c$可得$c=-3$。
结合(1)中结论$b=-4a$，将点$(6,0)$代入解析式得：
$a×6^2 + b×6 -3=0$，将$b=-4a$代入上式：
$36a + 6×(-4a) = 3$
$36a-24a=3$
$12a=3$，解得$a=\frac{1}{4}$，则$b=-4×\frac{1}{4}=-1$。
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{4}x^2 -x -3$。
已知顶点横坐标为2，将$x=2$代入解析式：
$y=\frac{1}{4}×2^2 -2 -3 = 1 -2 -3 = -4$，因此顶点坐标为$(2,-4)$。
【答案】
(1) ① $b=-4a$；② $(-2,0)$
(2) $(2,-4)$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数图像对称性；待定系数法求解析式
【【点评】
本题围绕二次函数的基础性质展开考查，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴、交点对称性等性质，以及待定系数法求函数解析式的方法，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7