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21. 某公园要建造一个圆形的喷水池，在池中心O处竖直安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水柱在各个方向沿形状相同的抛物线落下. 安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落点与点O在同一水平面上. 如图，已知喷头高5 m时，水柱落点距点O处5 m；喷头高8 m时，水柱落点距点O处6 m. 现要使水柱落点距点O处8 m，求喷头的安装高度.
答案
21. 喷头的安装高度应为16 m. 提示：当喷头高5 m时，设水柱的高y关于水平距离x的函数表达式为$y=ax^2+bx+5$. 将$(5,0)$代入表达式，得$25a+5b+5=0$，整理得$5a+b+1=0$①.
根据题意，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，故当喷头高8 m时，可设$y=ax^2+bx+8$. 将$(6,0)$代入表达式，得$36a+6b+8=0$②.
联立方程①②，可求出$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{3}, \\ b=\dfrac{2}{3}. \end{cases}$
设喷头高为h m时，水柱落点距点O处8 m，则此时水柱的高的表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+h$. 将$(8,0)$代入表达式，得$-\frac{1}{3}×8^2+\frac{2}{3}×8+h=0$，解得$h=16$. 所以，喷头的安装高度应为16 m.
根据题意，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，故当喷头高8 m时，可设$y=ax^2+bx+8$. 将$(6,0)$代入表达式，得$36a+6b+8=0$②.
联立方程①②，可求出$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{3}, \\ b=\dfrac{2}{3}. \end{cases}$
设喷头高为h m时，水柱落点距点O处8 m，则此时水柱的高的表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+h$. 将$(8,0)$代入表达式，得$-\frac{1}{3}×8^2+\frac{2}{3}×8+h=0$，解得$h=16$. 所以，喷头的安装高度应为16 m.
解析
【分析】
解题的核心是抓住“水柱上下平移”的特点：抛物线上下平移时，仅常数项改变，二次项系数a和一次项系数b保持不变。首先我们可以根据已知的两组喷头高度和对应落点的条件，用待定系数法列出关于a、b的方程组，求出a、b的值；再设出喷头高度为h时的函数解析式，将落点(8,0)代入即可求出h的值。
【解析】
解：设喷头高5m时，水柱高度y关于水平距离x的函数解析式为$y=ax^2+bx+5$。
已知此时落点为$(5,0)$，将其代入解析式得：
$25a+5b+5=0$，整理得$5a+b=-1$ ①
因为水柱上下平移时抛物线仅上下平移，所以喷头高8m时，函数解析式为$y=ax^2+bx+8$，此时落点为$(6,0)$，代入得：
$36a+6b+8=0$，整理得$18a+3b=-4$ ②
联立①②，将①×3得$15a+3b=-3$ ③，用②-③得：
$3a=-1$，解得$a=-\frac{1}{3}$
将$a=-\frac{1}{3}$代入①，得$5×(-\frac{1}{3})+b=-1$，解得$b=\frac{2}{3}$
设喷头高为h m时，水柱落点距O点8m，此时函数解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+h$，将落点$(8,0)$代入得：
$-\frac{1}{3}×8^2+\frac{2}{3}×8+h=0$
计算得：$-\frac{64}{3}+\frac{16}{3}+h=0$，即$-16+h=0$，解得$h=16$
【答案】
16 m
【知识点】
二次函数的平移；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题以喷泉水柱为背景考查二次函数的应用，解题关键是明确抛物线上下平移时二次项、一次项系数不变的性质，结合待定系数法求解参数，再代入目标条件计算，解题思路清晰，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住“水柱上下平移”的特点：抛物线上下平移时，仅常数项改变，二次项系数a和一次项系数b保持不变。首先我们可以根据已知的两组喷头高度和对应落点的条件，用待定系数法列出关于a、b的方程组，求出a、b的值；再设出喷头高度为h时的函数解析式，将落点(8,0)代入即可求出h的值。
【解析】
解：设喷头高5m时，水柱高度y关于水平距离x的函数解析式为$y=ax^2+bx+5$。
已知此时落点为$(5,0)$，将其代入解析式得：
$25a+5b+5=0$，整理得$5a+b=-1$ ①
因为水柱上下平移时抛物线仅上下平移，所以喷头高8m时，函数解析式为$y=ax^2+bx+8$，此时落点为$(6,0)$，代入得：
$36a+6b+8=0$，整理得$18a+3b=-4$ ②
联立①②，将①×3得$15a+3b=-3$ ③，用②-③得：
$3a=-1$，解得$a=-\frac{1}{3}$
将$a=-\frac{1}{3}$代入①，得$5×(-\frac{1}{3})+b=-1$，解得$b=\frac{2}{3}$
设喷头高为h m时，水柱落点距O点8m，此时函数解析式为$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+h$，将落点$(8,0)$代入得：
$-\frac{1}{3}×8^2+\frac{2}{3}×8+h=0$
计算得：$-\frac{64}{3}+\frac{16}{3}+h=0$，即$-16+h=0$，解得$h=16$
【答案】
16 m
【知识点】
二次函数的平移；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题以喷泉水柱为背景考查二次函数的应用，解题关键是明确抛物线上下平移时二次项、一次项系数不变的性质，结合待定系数法求解参数，再代入目标条件计算，解题思路清晰，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
22. 如图，已知：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，$E$是边$AC$上一点，$EF⊥ BC$，垂足为$F$，$AD$、$BE$交于点$M$.
（1）如果$BE$平分$∠ ABC$，求证：$BM· CE=AM· BE$.
（2）如果$BD=CF$，求证：$\frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$.
（1）如果$BE$平分$∠ ABC$，求证：$BM· CE=AM· BE$.
（2）如果$BD=CF$，求证：$\frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$.
答案
22. 提示：由$∠ABC+∠BAD=90°$，$∠ABC+∠ACB=90°$，得$∠BAD=∠ACB$. 又由$BE$平分$∠ABC$，即$∠ABM=∠CBE$，得$△ABM∽△CBE$. 所以，$\frac{AM}{CE}=\frac{BM}{BE}$，即$BM· CE=AM· BE$.
(2) $\because ∠BAC=90°, AD⊥BC, \therefore ∠ABC+∠BAD=90°, ∠ABC+∠BCA=90°$.
$\therefore ∠BAD=∠BCA$.
$\because ∠ADB=∠BAC=90°, \therefore △ADB∽△CAB$.
$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{CB}{AB}. \therefore AB^2=DB·CB$.
同理，$△CDA∽△CAB$.
$\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}. \therefore AC^2=DC·BC$.
$\therefore \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{DB·CB}{DC·BC}=\frac{DB}{DC}$.
$\because AD⊥BC, EF⊥BC, \therefore EF// AD. \therefore △CFE∽△CDA. \therefore \frac{EF}{AD}=\frac{CF}{CD}$.
$\because BD=CF, \therefore \frac{EF}{AD}=\frac{BD}{CD}$.
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$.
(2) $\because ∠BAC=90°, AD⊥BC, \therefore ∠ABC+∠BAD=90°, ∠ABC+∠BCA=90°$.
$\therefore ∠BAD=∠BCA$.
$\because ∠ADB=∠BAC=90°, \therefore △ADB∽△CAB$.
$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{CB}{AB}. \therefore AB^2=DB·CB$.
同理，$△CDA∽△CAB$.
$\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}. \therefore AC^2=DC·BC$.
$\therefore \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{DB·CB}{DC·BC}=\frac{DB}{DC}$.
$\because AD⊥BC, EF⊥BC, \therefore EF// AD. \therefore △CFE∽△CDA. \therefore \frac{EF}{AD}=\frac{CF}{CD}$.
$\because BD=CF, \therefore \frac{EF}{AD}=\frac{BD}{CD}$.
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$.
解析
【分析】
（1）要证明等积式$BM· CE=AM· BE$，可先将其转化为比例式$\frac{AM}{CE}=\frac{BM}{BE}$，只需证明$△ ABM ∽ △ CBE$即可。首先利用直角三角形两锐角互余推导得到$∠ BAD=∠ ACB$，结合$BE$平分$∠ ABC$得到$∠ ABM=∠ CBE$，即可证明两个三角形相似，进而得到对应比例式，转化为等积式即可得证。
（2）要证明$\frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$，首先通过证明直角三角形相似推导得到$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BD}{CD}$；再根据$AD⊥ BC$、$EF⊥ BC$得到$EF// AD$，进而得到$△ CFE ∽ △ CDA$，推导得$\frac{EF}{AD}=\frac{CF}{CD}$，结合已知$BD=CF$代换后即可得证。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$
$\therefore ∠ ABC+∠ BAD=90°$，$∠ ABC+∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ BAD=∠ ACB$
$\because BE$平分$∠ ABC$
$\therefore ∠ ABM=∠ CBE$
$\therefore △ ABM ∽ △ CBE$
$\therefore \frac{AM}{CE}=\frac{BM}{BE}$
交叉相乘得：$BM· CE=AM· BE$，得证。
（2）证明：
$\because ∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$
$\therefore ∠ ADB=∠ BAC=90°$
又$\because ∠ ABD=∠ CBA$
$\therefore △ ADB ∽ △ CAB$
$\therefore \frac{AB}{CB}=\frac{DB}{AB}$，即$AB^2=DB·CB$
同理，$∠ ADC=∠ BAC=90°$，$∠ ACD=∠ BCA$
$\therefore △ CDA ∽ △ CAB$
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，即$AC^2=DC·BC$
$\therefore \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{DB·CB}{DC·BC}=\frac{DB}{DC}$
$\because AD⊥ BC$，$EF⊥ BC$
$\therefore EF// AD$
$\therefore △ CFE ∽ △ CDA$
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{CF}{CD}$
又$\because BD=CF$
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{BD}{CD}$
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$，得证。
【答案】
（1）$BM· CE=AM· BE$得证；（2）$\frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$得证。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题为几何证明综合题，核心考察相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，学会将等积式转化为比例式寻找对应相似三角形，同时要灵活运用直角三角形中角、边的等量关系进行代换，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要证明等积式$BM· CE=AM· BE$，可先将其转化为比例式$\frac{AM}{CE}=\frac{BM}{BE}$，只需证明$△ ABM ∽ △ CBE$即可。首先利用直角三角形两锐角互余推导得到$∠ BAD=∠ ACB$，结合$BE$平分$∠ ABC$得到$∠ ABM=∠ CBE$，即可证明两个三角形相似，进而得到对应比例式，转化为等积式即可得证。
（2）要证明$\frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$，首先通过证明直角三角形相似推导得到$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BD}{CD}$；再根据$AD⊥ BC$、$EF⊥ BC$得到$EF// AD$，进而得到$△ CFE ∽ △ CDA$，推导得$\frac{EF}{AD}=\frac{CF}{CD}$，结合已知$BD=CF$代换后即可得证。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$
$\therefore ∠ ABC+∠ BAD=90°$，$∠ ABC+∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ BAD=∠ ACB$
$\because BE$平分$∠ ABC$
$\therefore ∠ ABM=∠ CBE$
$\therefore △ ABM ∽ △ CBE$
$\therefore \frac{AM}{CE}=\frac{BM}{BE}$
交叉相乘得：$BM· CE=AM· BE$，得证。
（2）证明：
$\because ∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$
$\therefore ∠ ADB=∠ BAC=90°$
又$\because ∠ ABD=∠ CBA$
$\therefore △ ADB ∽ △ CAB$
$\therefore \frac{AB}{CB}=\frac{DB}{AB}$，即$AB^2=DB·CB$
同理，$∠ ADC=∠ BAC=90°$，$∠ ACD=∠ BCA$
$\therefore △ CDA ∽ △ CAB$
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，即$AC^2=DC·BC$
$\therefore \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{DB·CB}{DC·BC}=\frac{DB}{DC}$
$\because AD⊥ BC$，$EF⊥ BC$
$\therefore EF// AD$
$\therefore △ CFE ∽ △ CDA$
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{CF}{CD}$
又$\because BD=CF$
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{BD}{CD}$
$\therefore \frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$，得证。
【答案】
（1）$BM· CE=AM· BE$得证；（2）$\frac{EF}{AD}=\frac{AB^2}{AC^2}$得证。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题为几何证明综合题，核心考察相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，学会将等积式转化为比例式寻找对应相似三角形，同时要灵活运用直角三角形中角、边的等量关系进行代换，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
