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23. 如图(1)，已知M、N分别是$∠ AOB$边OA、OB上的点，P是$∠ AOB$的平分线上一点.
（1）如果$∠ MPN + \frac{1}{2}∠ AOB = 180°$，求证：$OP^2 = OM · ON$.
（2）如果$∠ AOB = 60°$，$OM = 6$，$ON = 4$，$OP = 2\sqrt{6}$，那么$∠ MPN =$
（3）如图(2)，已知$∠ AOB = 90°$，N是边OB上一点. 请在边OA上选择一个合适的点M，并在$∠ AOB$内部作一个点P，满足$∠ MPN = 135°$且$PM = 2PN$.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（1）如果$∠ MPN + \frac{1}{2}∠ AOB = 180°$，求证：$OP^2 = OM · ON$.
（2）如果$∠ AOB = 60°$，$OM = 6$，$ON = 4$，$OP = 2\sqrt{6}$，那么$∠ MPN =$
150
$°$.（3）如图(2)，已知$∠ AOB = 90°$，N是边OB上一点. 请在边OA上选择一个合适的点M，并在$∠ AOB$内部作一个点P，满足$∠ MPN = 135°$且$PM = 2PN$.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答案
23. (1) $\because OP$平分$∠AOB, \therefore ∠NOP=∠POM=\frac{1}{2}∠AOB$.
$\because ∠MPN+\frac{1}{2}∠AOB=180°, \therefore ∠MPO+∠NPO+∠NOP=180°$.
$\therefore ∠MPO=180°-(∠NPO+∠NOP)=∠PNO$.
$\therefore △PON∽△MOP. \therefore \frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}. \therefore OP^2=OM·ON$.
(2) 150. 提示：由$\frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$∠NOP=∠POM$，得$△NOP∽△POM$. 所以，$∠MPN=180°-\frac{1}{2}×60°=150°$.
(3) 如图
，M、P分别为所求作的点.(作法不唯一)解析
【分析】
（1）要证明$OP^2 = OM · ON$，可转化为证明比例式$\frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}$，即证$△ PON ∽ △ MOP$。已知OP是$∠ AOB$的角平分线，可得一组等角$∠ NOP=∠ POM$，再结合已知的角的数量关系推导另一组角相等，即可证明三角形相似。
（2）先计算$\frac{ON}{OP}$和$\frac{OP}{OM}$的比值，结合OP平分$∠ AOB$得到的等角，判断$△ NOP$和$△ MOP$是否相似，若相似即可利用（1）的角的关系求出$∠ MPN$的度数。
（3）结合（1）的结论，$∠ AOB=90°$、$∠ MPN=135°$满足$∠ MPN+\frac{1}{2}∠ AOB=180°$，可得$OP^2=OM·ON$，再结合$PM=2PN$可知相似比为2，即$\frac{PN}{PM}=\frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}=\frac{1}{2}$，据此确定M、P的位置，再用尺规作图即可。
【解析】
（1）证明：
$\because$ OP平分$∠ AOB$，$\therefore ∠ NOP=∠ POM=\frac{1}{2}∠ AOB$。
$\because ∠ MPN + \frac{1}{2}∠ AOB = 180°$，$\therefore ∠ NPO + ∠ MPO + ∠ NOP = 180°$。
在$△ PON$中，$∠ PNO + ∠ NPO + ∠ NOP = 180°$，
$\therefore ∠ MPO = ∠ PNO$。
$\therefore △ PON ∽ △ MOP$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}$，即$OP^2=OM·ON$。
（2）解：
$\because$ OP平分$∠ AOB$，$∠ AOB=60°$，$\therefore ∠ NOP=∠ POM=30°$。
计算边长比例：$\frac{ON}{OP}=\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{OP}{OM}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore \frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}$，又$∠ NOP=∠ POM$，
$\therefore △ NOP ∽ △ POM$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore ∠ OPN=∠ OMP$，
在$△ POM$中，$∠ OMP + ∠ OPM + ∠ POM = 180°$，
代入得$∠ OPN + ∠ OPM + 30° = 180°$，即$∠ MPN + 30° = 180°$，
$\therefore ∠ MPN=150°$。
（3）作图：先在OA上截取$OM=4ON$，再作$∠ AOB$的角平分线，在角平分线上截取$OP=2ON$，连接PN、PM，即为所求。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$\boldsymbol{150}$；
（3）
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，尺规作图
【点评】
本题从证明到计算再到作图，逐层递进，既考查了相似三角形的常规判定、性质应用，也考查了知识的迁移能力，作图部分需要灵活运用前两问的结论，能很好地检验对相似三角形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$OP^2 = OM · ON$，可转化为证明比例式$\frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}$，即证$△ PON ∽ △ MOP$。已知OP是$∠ AOB$的角平分线，可得一组等角$∠ NOP=∠ POM$，再结合已知的角的数量关系推导另一组角相等，即可证明三角形相似。
（2）先计算$\frac{ON}{OP}$和$\frac{OP}{OM}$的比值，结合OP平分$∠ AOB$得到的等角，判断$△ NOP$和$△ MOP$是否相似，若相似即可利用（1）的角的关系求出$∠ MPN$的度数。
（3）结合（1）的结论，$∠ AOB=90°$、$∠ MPN=135°$满足$∠ MPN+\frac{1}{2}∠ AOB=180°$，可得$OP^2=OM·ON$，再结合$PM=2PN$可知相似比为2，即$\frac{PN}{PM}=\frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}=\frac{1}{2}$，据此确定M、P的位置，再用尺规作图即可。
【解析】
（1）证明：
$\because$ OP平分$∠ AOB$，$\therefore ∠ NOP=∠ POM=\frac{1}{2}∠ AOB$。
$\because ∠ MPN + \frac{1}{2}∠ AOB = 180°$，$\therefore ∠ NPO + ∠ MPO + ∠ NOP = 180°$。
在$△ PON$中，$∠ PNO + ∠ NPO + ∠ NOP = 180°$，
$\therefore ∠ MPO = ∠ PNO$。
$\therefore △ PON ∽ △ MOP$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\therefore \frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}$，即$OP^2=OM·ON$。
（2）解：
$\because$ OP平分$∠ AOB$，$∠ AOB=60°$，$\therefore ∠ NOP=∠ POM=30°$。
计算边长比例：$\frac{ON}{OP}=\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{OP}{OM}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore \frac{ON}{OP}=\frac{OP}{OM}$，又$∠ NOP=∠ POM$，
$\therefore △ NOP ∽ △ POM$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore ∠ OPN=∠ OMP$，
在$△ POM$中，$∠ OMP + ∠ OPM + ∠ POM = 180°$，
代入得$∠ OPN + ∠ OPM + 30° = 180°$，即$∠ MPN + 30° = 180°$，
$\therefore ∠ MPN=150°$。
（3）作图：先在OA上截取$OM=4ON$，再作$∠ AOB$的角平分线，在角平分线上截取$OP=2ON$，连接PN、PM，即为所求。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$\boldsymbol{150}$；
（3）
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，尺规作图
【点评】
本题从证明到计算再到作图，逐层递进，既考查了相似三角形的常规判定、性质应用，也考查了知识的迁移能力，作图部分需要灵活运用前两问的结论，能很好地检验对相似三角形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
