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24. 在一场篮球赛中，运动员小李在距篮筐水平距离为4 m处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5 m时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5 m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.
（1）如图(1)，建立平面直角坐标系.
① 求该抛物线的表达式.
② 如果小李的身高是1.8 m，在这次跳投中，当球出手时，球在头顶上方0.25 m，那么此时他跳离地面的高度是多少？
（2）在这场篮球赛中，另一位运动员小王跳起投篮，已知球出手时离地面高$\frac{20}{9}$ m，与篮圈中心的水平距离为7 m. 当球出手后，球运行的水平距离为4 m时到达最高点，此时球离地面的距离是4 m，建立的平面直角坐标系如图(2)所示. 设篮球运行的路线也呈抛物线形，那么此球能否投中这个篮圈？
（1）如图(1)，建立平面直角坐标系.
① 求该抛物线的表达式.
② 如果小李的身高是1.8 m，在这次跳投中，当球出手时，球在头顶上方0.25 m，那么此时他跳离地面的高度是多少？
（2）在这场篮球赛中，另一位运动员小王跳起投篮，已知球出手时离地面高$\frac{20}{9}$ m，与篮圈中心的水平距离为7 m. 当球出手后，球运行的水平距离为4 m时到达最高点，此时球离地面的距离是4 m，建立的平面直角坐标系如图(2)所示. 设篮球运行的路线也呈抛物线形，那么此球能否投中这个篮圈？
答案
24. ① $y=-0.2x^2+x+2.25$. 提示：该抛物线的顶点坐标为$(2.5,3.5)$，故可设该抛物线的表达式为$y=a_1(x-2.5)^2+3.5$. 再将点$(4,3.05)$代入$y=a_1(x-2.5)^2+3.5$ 中，得$3.05=a_1(4-2.5)^2+3.5$，解得$a_1=-0.2$. 所以，$y=-0.2(x-2.5)^2+3.5$，即$y=-0.2x^2+x+2.25$.
② 此时小李跳离地面的高度为0.2 m. 提示：当$x=0$时，$y=2.25$，即球出手时离地面的高度为2.25 m. 所以，小李跳离地面的高度为$2.25-1.8-0.25=0.2(\mathrm{m})$.
(2) 此球不能投进这个篮圈. 提示：该抛物线的顶点坐标为$(4,4)$. 设该抛物线的表达式为$y=a_2(x-4)^2+4$. 将点$(0,\frac{20}{9})$代入$y=a_2(x-4)^2+4$中，得$\frac{20}{9}=a_2(0-4)^2+4$，解得$a_2=-\frac{1}{9}$. 所以，$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$.
当$x=7$时，$y=-\frac{1}{9}(7-4)^2+4=3$. 因为$3＜3.05$，所以此球不能投中篮圈.
② 此时小李跳离地面的高度为0.2 m. 提示：当$x=0$时，$y=2.25$，即球出手时离地面的高度为2.25 m. 所以，小李跳离地面的高度为$2.25-1.8-0.25=0.2(\mathrm{m})$.
(2) 此球不能投进这个篮圈. 提示：该抛物线的顶点坐标为$(4,4)$. 设该抛物线的表达式为$y=a_2(x-4)^2+4$. 将点$(0,\frac{20}{9})$代入$y=a_2(x-4)^2+4$中，得$\frac{20}{9}=a_2(0-4)^2+4$，解得$a_2=-\frac{1}{9}$. 所以，$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$.
当$x=7$时，$y=-\frac{1}{9}(7-4)^2+4=3$. 因为$3＜3.05$，所以此球不能投中篮圈.
解析
【分析】
（1）① 已知抛物线的顶点坐标为(2.5, 3.5)，优先选择顶点式设抛物线解析式，再将篮圈中心的坐标(4, 3.05)代入求出未知系数，最后整理为一般式即可。② 球出手时对应横坐标x=0，代入解析式可得到球出手时离地面的高度，减去小李身高和球高出头顶的高度，即可得到他跳离地面的高度。
（2）先根据抛物线顶点(4,4)设顶点式解析式，代入出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$求出解析式，再将篮圈对应的横坐标x=7代入计算纵坐标，和篮圈高度3.05m比较，若相等则能投中，否则不能投中。
【解析】
（1）① 由题意可知抛物线顶点为$(2.5, 3.5)$，设抛物线的表达式为$y=a_1(x-2.5)^2+3.5$。
篮圈中心坐标为$(4, 3.05)$，将其代入表达式得：
$3.05=a_1(4-2.5)^2+3.5$
解得$a_1=-0.2$
因此抛物线表达式为$y=-0.2(x-2.5)^2+3.5$，展开整理得：$y=-0.2x^2+x+2.25$。
② 球出手时横坐标$x=0$，将$x=0$代入抛物线表达式得：
$y=-0.2×0^2+0+2.25=2.25\ \mathrm{m}$
小李跳离地面的高度为出手高度减去身高再减去球高出头顶的高度，即：
$2.25-1.8-0.25=0.2\ \mathrm{m}$
（2）由题意可知抛物线顶点为$(4,4)$，设抛物线的表达式为$y=a_2(x-4)^2+4$。
球出手点坐标为$(0,\frac{20}{9})$，将其代入表达式得：
$\frac{20}{9}=a_2(0-4)^2+4$
解得$a_2=-\frac{1}{9}$
因此抛物线表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$。
篮圈对应横坐标$x=7$，代入表达式得：
$y=-\frac{1}{9}(7-4)^2+4=-\frac{1}{9}×9+4=3\ \mathrm{m}$
因为$3＜3.05$，所以此球不能投中篮圈。
【答案】
（1）① $y=-0.2x^2+x+2.25$；② $0.2\ \mathrm{m}$
（2）此球不能投中这个篮圈
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的投篮场景考查二次函数的实际应用，解题关键是准确提取坐标信息，根据顶点特征选择顶点式简化计算，再通过计算对应函数值判断实际问题的结果，需要注意坐标和实际物理量的对应关系。
【难度系数】
0.7
（1）① 已知抛物线的顶点坐标为(2.5, 3.5)，优先选择顶点式设抛物线解析式，再将篮圈中心的坐标(4, 3.05)代入求出未知系数，最后整理为一般式即可。② 球出手时对应横坐标x=0，代入解析式可得到球出手时离地面的高度，减去小李身高和球高出头顶的高度，即可得到他跳离地面的高度。
（2）先根据抛物线顶点(4,4)设顶点式解析式，代入出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$求出解析式，再将篮圈对应的横坐标x=7代入计算纵坐标，和篮圈高度3.05m比较，若相等则能投中，否则不能投中。
【解析】
（1）① 由题意可知抛物线顶点为$(2.5, 3.5)$，设抛物线的表达式为$y=a_1(x-2.5)^2+3.5$。
篮圈中心坐标为$(4, 3.05)$，将其代入表达式得：
$3.05=a_1(4-2.5)^2+3.5$
解得$a_1=-0.2$
因此抛物线表达式为$y=-0.2(x-2.5)^2+3.5$，展开整理得：$y=-0.2x^2+x+2.25$。
② 球出手时横坐标$x=0$，将$x=0$代入抛物线表达式得：
$y=-0.2×0^2+0+2.25=2.25\ \mathrm{m}$
小李跳离地面的高度为出手高度减去身高再减去球高出头顶的高度，即：
$2.25-1.8-0.25=0.2\ \mathrm{m}$
（2）由题意可知抛物线顶点为$(4,4)$，设抛物线的表达式为$y=a_2(x-4)^2+4$。
球出手点坐标为$(0,\frac{20}{9})$，将其代入表达式得：
$\frac{20}{9}=a_2(0-4)^2+4$
解得$a_2=-\frac{1}{9}$
因此抛物线表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$。
篮圈对应横坐标$x=7$，代入表达式得：
$y=-\frac{1}{9}(7-4)^2+4=-\frac{1}{9}×9+4=3\ \mathrm{m}$
因为$3＜3.05$，所以此球不能投中篮圈。
【答案】
（1）① $y=-0.2x^2+x+2.25$；② $0.2\ \mathrm{m}$
（2）此球不能投中这个篮圈
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的投篮场景考查二次函数的实际应用，解题关键是准确提取坐标信息，根据顶点特征选择顶点式简化计算，再通过计算对应函数值判断实际问题的结果，需要注意坐标和实际物理量的对应关系。
【难度系数】
0.7
