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25 在$△ ABC$中，已知$∠ ABC=2∠ C$，BD平分$∠ ABC$.
（1）如图(1)，如果$AD=4$，$DC=5$，求BC的长.
（2）如图(2)，过点A作AC的垂线AP，与边CB的延长线交于点P.
① 写出线段PC与边AB的数量关系，并证明.
② 在线段DB上截取$DQ=DA$，连接AQ，当$∠ PAQ=2∠ BAQ$时，$AB=kBQ+PB$成立，求$k$的值.
（1）如图(1)，如果$AD=4$，$DC=5$，求BC的长.
（2）如图(2)，过点A作AC的垂线AP，与边CB的延长线交于点P.
① 写出线段PC与边AB的数量关系，并证明.
② 在线段DB上截取$DQ=DA$，连接AQ，当$∠ PAQ=2∠ BAQ$时，$AB=kBQ+PB$成立，求$k$的值.
答案
25. (1) $\because BD$平分$∠ABC, \therefore ∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC$.
$\because ∠ABC=2∠C, \therefore ∠ABD=∠CBD=∠C. \therefore BD=CD$.
$\because ∠A=∠A, \therefore △ADB∽△ABC. \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{BC}$.
$\because AD=4, DC=5, \therefore AC=AD+CD=9, BD=5$.
$\therefore \frac{4}{AB}=\frac{AB}{9}. \therefore AB=\sqrt{4×9}=6$.
$\therefore \frac{DB}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
$\therefore BC=\frac{3DB}{2}=\frac{15}{2}$.
(2) ① $PC=2AB$. 证明如下：
如图
(1)，取E为PC的中点，连接AE.$\because AC⊥AP, \therefore PC=2AE, AE=EC. \therefore ∠EAC=∠C$.
$\because ∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C=∠ABC, \therefore AB=AE$.
$\therefore PC=2AB$.
② $k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$. 提示：根据题意，如图
(2)所示.$\because DQ=DA, \therefore ∠DAQ=∠AQD=\frac{180°-∠ADB}{2}=90°-∠C$.
$\therefore ∠BAQ=180°-∠C-∠ABC-∠DAQ=90°-2∠C$.
$\because ∠PAQ=2∠BAQ, \therefore ∠PAQ=180°-4∠C$.
$\because ∠PAQ+∠QAD=180°-4∠C+90°-∠C=90°$,
$\therefore ∠C=∠ABD=∠CBD=36°. \therefore ∠ABC=2∠C=72°$.
$\therefore ∠BAC=180°-36°-72°=72°$.
$\therefore ∠BAC=∠ABC. \therefore AC=BC$.
同理，$AB=BD=CD. \therefore AD=AC-CD=AC-AB$.
由(1)，得$△ADB∽△ABC$，设$\frac{AD}{AB}=\frac{DB}{BC}=\frac{AB}{AC}=m$，则$AD=mAB, DB=mBC, AB=mAC$.
$\therefore AB^2=AD·AC$，即$m^2AC^2=(AC-mAC)·AC$.
整理，得$m^2+m-1=0$，解得$m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$m=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去).
由(2)①，得$PC=2AB=2mBC, \therefore PB=PC-BC=(2m-1)BC$.
$\therefore AB-PB=mBC-(2m-1)BC=(1-m)BC$.
$\because DQ=DA=m^2BC$,
$\therefore BQ=BD-QD=(m-m^2)BC$.
$\therefore k=\frac{AB-PB}{BQ}=\frac{(1-m)BC}{(m-m^2)BC}=\frac{1}{m}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
$\therefore$ 当$k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$时，$AB=kBQ+PB$成立.
解析
【分析】
（1）先利用角平分线定义和已知∠ABC=2∠C，推得∠CBD=∠C，得到BD=CD；再通过公共角∠A证明△ADB∽△ABC，借助相似三角形对应边成比例，先求出AB的长度，再进一步计算BC的长。
（2）① 要探究PC与AB的数量关系，结合AP⊥AC的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，取PC中点E连接AE，可得PC=2AE；再通过角的推导得到∠AEB=∠ABC，推出AB=AE，即可得到PC和AB的关系。
② 先根据DQ=DA得到等腰△ADQ，结合三角形内角和、外角性质表示出各角的度数，利用∠PAQ=2∠BAQ求出∠C=36°，得到图中多个等腰三角形的边的关系；再结合（1）中的相似三角形得到边的比例关系，分别表示出PB、BQ的长度，代入AB=kBQ+PB即可求出k的值。
【解析】
(1) $\because BD$平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC$。
$\because ∠ ABC=2∠ C, \therefore ∠ ABD=∠ CBD=∠ C. \therefore BD=CD$。
$\because ∠ A=∠ A, \therefore △ ADB∽△ ABC. \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{BC}$。
$\because AD=4, DC=5, \therefore AC=AD+CD=9, BD=5$。
$\therefore \frac{4}{AB}=\frac{AB}{9}. \therefore AB=\sqrt{4×9}=6$。
$\therefore \frac{DB}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
$\therefore BC=\frac{3DB}{2}=\frac{15}{2}$。
(2) ① $PC=2AB$，证明如下：
如图(1)，取E为PC的中点，连接AE。
$\because AC⊥ AP, \therefore PC=2AE, AE=EC. \therefore ∠ EAC=∠ C$。
$\because ∠ AEB=∠ C+∠ EAC=2∠ C=∠ ABC, \therefore AB=AE$。
$\therefore PC=2AB$。
② 如图(2)所示。
$\because DQ=DA, \therefore ∠ DAQ=∠ AQD=\frac{180°-∠ ADB}{2}=90°-∠ C$。
$\therefore ∠ BAQ=180°-∠ C-∠ ABC-∠ DAQ=90°-2∠ C$。
$\because ∠ PAQ=2∠ BAQ, \therefore ∠ PAQ=180°-4∠ C$。
$\because ∠ PAQ+∠ QAD=180°-4∠ C+90°-∠ C=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ ABD=∠ CBD=36°. \therefore ∠ ABC=2∠ C=72°$。
$\therefore ∠ BAC=180°-36°-72°=72°$。
$\therefore ∠ BAC=∠ ABC. \therefore AC=BC$。
同理，$AB=BD=CD. \therefore AD=AC-CD=AC-AB$。
由(1)得$△ ADB∽△ ABC$，设$\frac{AD}{AB}=\frac{DB}{BC}=\frac{AB}{AC}=m$，则$AD=mAB, DB=mBC, AB=mAC$。
$\therefore AB^2=AD· AC$，即$m^2AC^2=(AC-mAC)· AC$。
整理得$m^2+m-1=0$，解得$m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$m=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去)。
由(2)①得$PC=2AB=2mBC, \therefore PB=PC-BC=(2m-1)BC$。
$\therefore AB-PB=mBC-(2m-1)BC=(1-m)BC$。
$\because DQ=DA=m^2BC$，
$\therefore BQ=BD-QD=(m-m^2)BC$。
$\therefore k=\frac{AB-PB}{BQ}=\frac{(1-m)BC}{(m-m^2)BC}=\frac{1}{m}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
(1) $BC=\frac{15}{2}$
(2) ① $PC=2AB$；② $k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形综合题，融合了角平分线、相似三角形、直角三角形斜边中线、等腰三角形等多个知识点，需要通过角的推导转化为边的关系，第二小问还需要结合角度计算和比例代换求解，对几何逻辑推理和代数运算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.3
（1）先利用角平分线定义和已知∠ABC=2∠C，推得∠CBD=∠C，得到BD=CD；再通过公共角∠A证明△ADB∽△ABC，借助相似三角形对应边成比例，先求出AB的长度，再进一步计算BC的长。
（2）① 要探究PC与AB的数量关系，结合AP⊥AC的条件，利用直角三角形斜边中线的性质，取PC中点E连接AE，可得PC=2AE；再通过角的推导得到∠AEB=∠ABC，推出AB=AE，即可得到PC和AB的关系。
② 先根据DQ=DA得到等腰△ADQ，结合三角形内角和、外角性质表示出各角的度数，利用∠PAQ=2∠BAQ求出∠C=36°，得到图中多个等腰三角形的边的关系；再结合（1）中的相似三角形得到边的比例关系，分别表示出PB、BQ的长度，代入AB=kBQ+PB即可求出k的值。
【解析】
(1) $\because BD$平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC$。
$\because ∠ ABC=2∠ C, \therefore ∠ ABD=∠ CBD=∠ C. \therefore BD=CD$。
$\because ∠ A=∠ A, \therefore △ ADB∽△ ABC. \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{BC}$。
$\because AD=4, DC=5, \therefore AC=AD+CD=9, BD=5$。
$\therefore \frac{4}{AB}=\frac{AB}{9}. \therefore AB=\sqrt{4×9}=6$。
$\therefore \frac{DB}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
$\therefore BC=\frac{3DB}{2}=\frac{15}{2}$。
(2) ① $PC=2AB$，证明如下：
如图
(1)，取E为PC的中点，连接AE。$\because AC⊥ AP, \therefore PC=2AE, AE=EC. \therefore ∠ EAC=∠ C$。
$\because ∠ AEB=∠ C+∠ EAC=2∠ C=∠ ABC, \therefore AB=AE$。
$\therefore PC=2AB$。
② 如图
(2)所示。$\because DQ=DA, \therefore ∠ DAQ=∠ AQD=\frac{180°-∠ ADB}{2}=90°-∠ C$。
$\therefore ∠ BAQ=180°-∠ C-∠ ABC-∠ DAQ=90°-2∠ C$。
$\because ∠ PAQ=2∠ BAQ, \therefore ∠ PAQ=180°-4∠ C$。
$\because ∠ PAQ+∠ QAD=180°-4∠ C+90°-∠ C=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ ABD=∠ CBD=36°. \therefore ∠ ABC=2∠ C=72°$。
$\therefore ∠ BAC=180°-36°-72°=72°$。
$\therefore ∠ BAC=∠ ABC. \therefore AC=BC$。
同理，$AB=BD=CD. \therefore AD=AC-CD=AC-AB$。
由(1)得$△ ADB∽△ ABC$，设$\frac{AD}{AB}=\frac{DB}{BC}=\frac{AB}{AC}=m$，则$AD=mAB, DB=mBC, AB=mAC$。
$\therefore AB^2=AD· AC$，即$m^2AC^2=(AC-mAC)· AC$。
整理得$m^2+m-1=0$，解得$m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$m=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去)。
由(2)①得$PC=2AB=2mBC, \therefore PB=PC-BC=(2m-1)BC$。
$\therefore AB-PB=mBC-(2m-1)BC=(1-m)BC$。
$\because DQ=DA=m^2BC$，
$\therefore BQ=BD-QD=(m-m^2)BC$。
$\therefore k=\frac{AB-PB}{BQ}=\frac{(1-m)BC}{(m-m^2)BC}=\frac{1}{m}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
(1) $BC=\frac{15}{2}$
(2) ① $PC=2AB$；② $k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形综合题，融合了角平分线、相似三角形、直角三角形斜边中线、等腰三角形等多个知识点，需要通过角的推导转化为边的关系，第二小问还需要结合角度计算和比例代换求解，对几何逻辑推理和代数运算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.3
