一、选择题
1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$. 若$\tan A=\dfrac{1}{2}$，则$\sin B=$（）

A.$\dfrac{1}{2}$；
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；
D.$\sqrt{5}$.

1. B.

【分析】
解题时可结合锐角三角函数的定义分析：第一步，根据tanA的定义，得到两条直角边的比值，通过设参数的方式表示出两条直角边的长度；第二步，利用勾股定理计算出斜边的长度；第三步，根据正弦的定义找出∠B的对边和斜边，代入计算并化简即可得到sinB的值。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\dfrac{1}{2}$，
根据正切的定义：$\tan A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}=\dfrac{BC}{AC}$，
∴ 设$BC=k$（$k＞0$），则$AC=2k$，
由勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{k^2+(2k)^2}=\sqrt{5k^2}=\sqrt{5}k$，
根据正弦的定义：$\sin B=\dfrac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AC}{AB}$，
代入得：$\sin B=\dfrac{2k}{\sqrt{5}k}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义 2. 勾股定理 3. 二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，设参数表示边长是这类题的常用解题技巧，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 下列二次函数中，图像的对称轴是 y 轴的是 （）

A.$y=x^2+1$；
B.$y=x(x+1)$；
C.$y=(x+1)^2$；
D.$y=x^2+x+1$。

2. A.

【分析】
要判断哪个二次函数的对称轴是y轴，首先明确y轴对应的直线是x=0，我们可以用二次函数对称轴的计算方法逐个验证选项：对于一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，若对称轴是x=0，则需满足$b=0$；对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对称轴为$x=h$，若对称轴是x=0，则需满足$h=0$，用这个思路逐一判断四个选项即可。
【解析】
解：二次函数图像的对称轴是y轴，即对称轴为直线$x=0$。
选项A：$y=x^2+1$是一般式，其中$a=1，b=0，c=1$，代入对称轴公式得$x=-\frac{0}{2×1}=0$，即对称轴为y轴，符合要求；
选项B：整理为一般式得$y=x(x+1)=x^2+x$，其中$a=1，b=1$，对称轴为$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，不符合要求；
选项C：$y=(x+1)^2$是顶点式，对称轴为直线$x=-1$，不符合要求；
选项D：$y=x^2+x+1$是一般式，其中$a=1，b=1$，对称轴为$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数一般式；二次函数顶点式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数对称轴的判断方法，只要熟练掌握一般式、顶点式对应的对称轴计算公式，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

3. 已知$△ ABC$中，$D$、$E$分别是边$AB$、$AC$反向延长线上的点. 下列各式中，能判断出$DE// BC$的是（）

A.$\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AD}{BD}$；
B.$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AD}$；
C.$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$；
D.$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{BD}$。

3. A.

【分析】
要判断$DE// BC$，可通过证明$△ ADE ∽ △ ABC$实现，结合D、E在AB、AC反向延长线上的位置，回忆相似三角形的判定条件、平行线分线段成比例定理的逆用，逐一推导各选项的比例式是否符合平行对应的线段比例关系即可。
【解析】
已知D、E分别是AB、AC反向延长线上的点，若$DE// BC$，则$∠ ADE=∠ ABC$，$∠ AED=∠ ACB$，可推出$△ ADE ∽ △ ABC$，对应边成比例满足：$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$，交叉相乘得$AD· AC = AE· AB$。
对各选项逐一分析：
选项A：$\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{AD}{BD}$，其中$CE=AE+AC$，$BD=AD+AB$，交叉相乘得$AE· BD = AD· CE$，代入得$AE(AD+AB)=AD(AE+AC)$，展开化简后得$AE· AB=AD· AC$，与$DE// BC$所需的比例式一致，故A可判断$DE// BC$。
选项B：$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AD}$，交叉相乘得$AB· AD=AC· AE$，与所需的$AD· AC=AE· AB$对应边比例错误，无法推出平行。
选项C：$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$，该比例式不是$∠ DAE$的夹边对应成比例，仅靠该比例和$∠ DAE=∠ BAC$无法判定$△ ADE ∽ △ ABC$，故无法推出平行。
选项D：$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{BD}$，交叉相乘得$AE· BD=AD· AC$，代入$BD=AD+AB$展开后为$AE· AD + AE· AB=AD· AC$，与所需比例式不符，无法推出平行。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例逆定理；相似三角形的判定
【点评】
本题解题的关键是找准反向延长线场景下的线段对应关系，推导比例式时要注意对应边不能混淆，避免因比例对应错误判断失误。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离$OP=3$，线段OP与x轴正半轴的夹角为$α$. 若$\cosα=\dfrac{2}{3}$，则点P的坐标是（）

A.$(2,3)$；
B.$(2,\sqrt{3})$；
C.$(\sqrt{5},2)$；
D.$(2,\sqrt{5})$.

4. D.

【分析】
要确定点P的坐标，需分别求出它的横坐标和纵坐标。我们可以过点P向x轴作垂线构造直角三角形：横坐标等于直角三角形中角α的邻边长度，纵坐标等于角α的对边长度。首先根据余弦的定义求出邻边（即横坐标），再利用勾股定理求出对边（即纵坐标），即可得到点P的坐标。
【解析】
过点P作$PA⊥ x$轴，垂足为A，则$△ OPA$为直角三角形。
1. 求横坐标：根据余弦的定义，$\cosα=\frac{OA}{OP}$，已知$\cosα=\frac{2}{3}$，$OP=3$，代入得：
$OA=OP·\cosα=3×\frac{2}{3}=2$，即点P的横坐标为2。
2. 求纵坐标：在$Rt△ OPA$中，由勾股定理得$OA^2+PA^2=OP^2$，代入数值：
$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，即点P的纵坐标为$\sqrt{5}$。
因此点P的坐标为$(2,\sqrt{5})$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，点的坐标意义
【点评】
本题属于基础题，将平面直角坐标系和锐角三角函数结合考查，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合三角函数定义和勾股定理求出对应线段的长度，进而得到点的坐标。
【难度系数】
0.8