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25 某设计师设计了一款沙发，其三视图如图(1)所示. 将沙发侧面用平面直角坐标系中的线条抽象描绘如图(2)所示. 其中曲线 AB 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图像的一部分，线段 BD 是一次函数 $y=\frac{1}{5}x+b$ 的图像的一部分，点 B 的坐标为$(25,40)$，线段 $DE ⊥ x$ 轴，线段 BC 与 x 轴交于点 C. 根据图形解决以下问题.
(1) 求出反比例函数和一次函数的表达式. (不要求写 x 的取值范围)
(2) 过点 A 向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 F. 已知 $CF=7\ \mathrm{cm}$，$CE=33\ \mathrm{cm}$，$DE=45\ \mathrm{cm}$. 若设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？
(1) 求出反比例函数和一次函数的表达式. (不要求写 x 的取值范围)
(2) 过点 A 向 x 轴作垂线，交 x 轴于点 F. 已知 $CF=7\ \mathrm{cm}$，$CE=33\ \mathrm{cm}$，$DE=45\ \mathrm{cm}$. 若设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？
答案
25. (1) $y=\frac{1000}{x}$；$y=\frac{1}{5}x+35$. 提示：(1) 将点$B(25,40)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=25×40=1000$. 将点$B(25,40)$代入$y=\frac{1}{5}x+b$，得$40=\frac{1}{5}×25+b$，解得$b=35$.
（2）长方体箱子的长、宽、高至少分别是60 cm、40 cm、100 cm. 提示：$DE=45\ \mathrm{cm}$，把$y=45$代入$y=\frac{1}{5}x+35$，得$x=50$，即$OE=50\ \mathrm{cm}$. 因为$CF=7\ \mathrm{cm}$，$CE=33\ \mathrm{cm}$，所以$EF=CF+CE=7+33=40\ \mathrm{cm}$，$OF=OE-CF-CE=50-7-33=10\ \mathrm{cm}$. 点$F$的坐标为$(10,0)$. 将$x=10$代入$y=\frac{1000}{x}$，得$y=100$，点$A$的坐标为$(10,100)$，$AF=100\ \mathrm{cm}$. 根据图(1)，沙发的长是60 cm. 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是60 cm、40 cm、100 cm.
（2）长方体箱子的长、宽、高至少分别是60 cm、40 cm、100 cm. 提示：$DE=45\ \mathrm{cm}$，把$y=45$代入$y=\frac{1}{5}x+35$，得$x=50$，即$OE=50\ \mathrm{cm}$. 因为$CF=7\ \mathrm{cm}$，$CE=33\ \mathrm{cm}$，所以$EF=CF+CE=7+33=40\ \mathrm{cm}$，$OF=OE-CF-CE=50-7-33=10\ \mathrm{cm}$. 点$F$的坐标为$(10,0)$. 将$x=10$代入$y=\frac{1000}{x}$，得$y=100$，点$A$的坐标为$(10,100)$，$AF=100\ \mathrm{cm}$. 根据图(1)，沙发的长是60 cm. 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是60 cm、40 cm、100 cm.
解析
【分析】
（1）求函数表达式可采用待定系数法，已知点B在两个函数图像上，将点B的坐标分别代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出未知参数k和b，得到对应的函数表达式。
（2）要确定装沙发的长方体箱子的最小长宽高，需结合三视图和函数图像分析：长可直接从俯视图得到；宽对应侧面水平方向的最大跨度；高对应侧面竖直方向的最大高度。首先根据DE的长度代入一次函数求出E点横坐标，再结合CF、CE的长度求出F点横坐标，将F点横坐标代入反比例函数求出A点纵坐标（即最大高度），水平跨度EF即为宽，最终得到长宽高的最小值。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
将点$B(25,40)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$40=\frac{k}{25}$，解得$k=25×40=1000$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{1000}{x}$。
求一次函数表达式：
将点$B(25,40)$代入一次函数$y=\frac{1}{5}x+b$，得：
$40=\frac{1}{5}×25 + b$，即$40=5+b$，解得$b=35$，
因此一次函数的表达式为$y=\frac{1}{5}x+35$。
(2) ① 求E点坐标：
已知$DE⊥ x$轴，$DE=45\ \mathrm{cm}$，即点D的纵坐标为45，将$y=45$代入一次函数$y=\frac{1}{5}x+35$，得：
$45=\frac{1}{5}x+35$，解得$x=50$，
因此E点坐标为$(50,0)$，即$OE=50\ \mathrm{cm}$。
② 求F点坐标：
已知$CF=7\ \mathrm{cm}$，$CE=33\ \mathrm{cm}$，则水平方向总跨度$EF=CF+CE=7+33=40\ \mathrm{cm}$，
因此$OF=OE-EF=50-40=10\ \mathrm{cm}$，即F点坐标为$(10,0)$。
③ 求沙发最大高度：
点A的横坐标与F点相同为10，将$x=10$代入反比例函数$y=\frac{1000}{x}$，得：
$y=\frac{1000}{10}=100$，即点A的纵坐标为100，沙发的最大高度为$100\ \mathrm{cm}$。
④ 结合俯视图可知沙发的长为$60\ \mathrm{cm}$，EF的长度$40\ \mathrm{cm}$即为沙发的宽度。
综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别为60 cm、40 cm、100 cm。
【答案】
(1) 反比例函数：$\boldsymbol{y=\frac{1000}{x}}$，一次函数：$\boldsymbol{y=\frac{1}{5}x+35}$；
(2) 长、宽、高至少分别是$\boldsymbol{60\ \mathrm{cm}}$、$\boldsymbol{40\ \mathrm{cm}}$、$\boldsymbol{100\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数应用，一次函数应用
【点评】
本题结合家具设计的实际场景，将三视图与函数知识结合考查，既需要掌握用待定系数法求函数解析式的基本方法，也需要结合几何图形的坐标特征提取有效信息，能够锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求函数表达式可采用待定系数法，已知点B在两个函数图像上，将点B的坐标分别代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出未知参数k和b，得到对应的函数表达式。
（2）要确定装沙发的长方体箱子的最小长宽高，需结合三视图和函数图像分析：长可直接从俯视图得到；宽对应侧面水平方向的最大跨度；高对应侧面竖直方向的最大高度。首先根据DE的长度代入一次函数求出E点横坐标，再结合CF、CE的长度求出F点横坐标，将F点横坐标代入反比例函数求出A点纵坐标（即最大高度），水平跨度EF即为宽，最终得到长宽高的最小值。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
将点$B(25,40)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$40=\frac{k}{25}$，解得$k=25×40=1000$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{1000}{x}$。
求一次函数表达式：
将点$B(25,40)$代入一次函数$y=\frac{1}{5}x+b$，得：
$40=\frac{1}{5}×25 + b$，即$40=5+b$，解得$b=35$，
因此一次函数的表达式为$y=\frac{1}{5}x+35$。
(2) ① 求E点坐标：
已知$DE⊥ x$轴，$DE=45\ \mathrm{cm}$，即点D的纵坐标为45，将$y=45$代入一次函数$y=\frac{1}{5}x+35$，得：
$45=\frac{1}{5}x+35$，解得$x=50$，
因此E点坐标为$(50,0)$，即$OE=50\ \mathrm{cm}$。
② 求F点坐标：
已知$CF=7\ \mathrm{cm}$，$CE=33\ \mathrm{cm}$，则水平方向总跨度$EF=CF+CE=7+33=40\ \mathrm{cm}$，
因此$OF=OE-EF=50-40=10\ \mathrm{cm}$，即F点坐标为$(10,0)$。
③ 求沙发最大高度：
点A的横坐标与F点相同为10，将$x=10$代入反比例函数$y=\frac{1000}{x}$，得：
$y=\frac{1000}{10}=100$，即点A的纵坐标为100，沙发的最大高度为$100\ \mathrm{cm}$。
④ 结合俯视图可知沙发的长为$60\ \mathrm{cm}$，EF的长度$40\ \mathrm{cm}$即为沙发的宽度。
综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别为60 cm、40 cm、100 cm。
【答案】
(1) 反比例函数：$\boldsymbol{y=\frac{1000}{x}}$，一次函数：$\boldsymbol{y=\frac{1}{5}x+35}$；
(2) 长、宽、高至少分别是$\boldsymbol{60\ \mathrm{cm}}$、$\boldsymbol{40\ \mathrm{cm}}$、$\boldsymbol{100\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数应用，一次函数应用
【点评】
本题结合家具设计的实际场景，将三视图与函数知识结合考查，既需要掌握用待定系数法求函数解析式的基本方法，也需要结合几何图形的坐标特征提取有效信息，能够锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
