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23. 下图是一个包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型.
（1）这个几何体最确切的名称是
（2）若网格中的图①是该几何体的主视图，小明根据$a$、$h$的取值在网格中画出了该几何体的俯视图②④和左视图③⑤，其中不正确的是
（3）在（2）的条件下，已知$h＝24$，求该几何体的表面积.
（1）这个几何体最确切的名称是
直三棱柱
.（2）若网格中的图①是该几何体的主视图，小明根据$a$、$h$的取值在网格中画出了该几何体的俯视图②④和左视图③⑤，其中不正确的是
④⑤
.（填序号）（3）在（2）的条件下，已知$h＝24$，求该几何体的表面积.
答案
23.（1）直三棱柱. （2）④⑤.
（3）$864+576\sqrt{2}$. 提示：俯视图是直三棱柱的底面，即一个等腰直角三角形，左视图是直三棱柱的另一个侧面，是一个矩形，其高度为$h$，宽度为等腰直角三角形的斜边上的高，即$\frac{\sqrt{2}}{2}a$. 由题意可知，$\sqrt{2}a=24$，得$a=12\sqrt{2}$. 该几何体的表面积为$\frac{1}{2}×(12\sqrt{2})^2×2+12\sqrt{2}×24×2+24^2=864+576\sqrt{2}$.
（3）$864+576\sqrt{2}$. 提示：俯视图是直三棱柱的底面，即一个等腰直角三角形，左视图是直三棱柱的另一个侧面，是一个矩形，其高度为$h$，宽度为等腰直角三角形的斜边上的高，即$\frac{\sqrt{2}}{2}a$. 由题意可知，$\sqrt{2}a=24$，得$a=12\sqrt{2}$. 该几何体的表面积为$\frac{1}{2}×(12\sqrt{2})^2×2+12\sqrt{2}×24×2+24^2=864+576\sqrt{2}$.
解析
【分析】
（1）判断几何体名称：观察展开图，包含2个全等的等腰直角三角形和3个矩形，符合直三棱柱的展开图特征，可直接确定几何体名称。
（2）判断错误视图：首先明确该直三棱柱底面是腰长为$a$的等腰直角三角形，斜边长为$\sqrt{2}a$。俯视图需反映底面等腰直角三角形的投影形状，应为等腰三角形，④为直角三角形不符合；左视图是从左侧观察得到的矩形，宽度为底面等腰直角三角形斜边上的高$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，⑤的宽度和主视图一致，不符合尺寸特征，因此④⑤错误。
（3）计算表面积：先根据底面斜边长等于$h=24$求出$a$的取值，再按照直三棱柱表面积=2个底面积+3个侧面积的公式，分别计算各部分面积后求和即可。
【解析】
（1）该展开图以2个全等的等腰直角三角形为上下底面，3个矩形为侧面，因此围成的几何体是直三棱柱。
（2）分析视图合理性：
①俯视图对应底面等腰直角三角形的投影，应为等腰三角形，故②正确，④为直角三角形，不符合特征，错误；
②左视图为矩形，宽度等于底面等腰直角三角形斜边上的高$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，小于$a$，故③正确，⑤宽度与主视图相等，不符合尺寸要求，错误；
因此不正确的是④⑤。
（3）由题意得底面等腰直角三角形的斜边长等于$h=24$，即$\sqrt{2}a=24$，解得$a=12\sqrt{2}$。
分别计算各部分面积：
2个底面三角形面积：$2× \frac{1}{2}a^2=a^2=(12\sqrt{2})^2=288$
两条腰对应的侧面积：$2× a× h=2×12\sqrt{2}×24=576\sqrt{2}$
斜边对应的侧面积：$\sqrt{2}a× h=24×24=576$
总表面积为：$288+576+576\sqrt{2}=864+576\sqrt{2}$。
【答案】
（1）直三棱柱；（2）④⑤；（3）$864+576\sqrt{2}$
【知识点】
直三棱柱的特征，几何体的三视图，直棱柱表面积计算
【点评】
本题综合考查直棱柱的展开图识别、三视图判断和表面积计算，需要具备一定的空间想象能力，准确对应几何体各棱长的尺寸关系是解题关键，易错点为三视图判断时混淆投影方向、表面积计算漏算面。
【难度系数】
0.6
（1）判断几何体名称：观察展开图，包含2个全等的等腰直角三角形和3个矩形，符合直三棱柱的展开图特征，可直接确定几何体名称。
（2）判断错误视图：首先明确该直三棱柱底面是腰长为$a$的等腰直角三角形，斜边长为$\sqrt{2}a$。俯视图需反映底面等腰直角三角形的投影形状，应为等腰三角形，④为直角三角形不符合；左视图是从左侧观察得到的矩形，宽度为底面等腰直角三角形斜边上的高$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，⑤的宽度和主视图一致，不符合尺寸特征，因此④⑤错误。
（3）计算表面积：先根据底面斜边长等于$h=24$求出$a$的取值，再按照直三棱柱表面积=2个底面积+3个侧面积的公式，分别计算各部分面积后求和即可。
【解析】
（1）该展开图以2个全等的等腰直角三角形为上下底面，3个矩形为侧面，因此围成的几何体是直三棱柱。
（2）分析视图合理性：
①俯视图对应底面等腰直角三角形的投影，应为等腰三角形，故②正确，④为直角三角形，不符合特征，错误；
②左视图为矩形，宽度等于底面等腰直角三角形斜边上的高$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，小于$a$，故③正确，⑤宽度与主视图相等，不符合尺寸要求，错误；
因此不正确的是④⑤。
（3）由题意得底面等腰直角三角形的斜边长等于$h=24$，即$\sqrt{2}a=24$，解得$a=12\sqrt{2}$。
分别计算各部分面积：
2个底面三角形面积：$2× \frac{1}{2}a^2=a^2=(12\sqrt{2})^2=288$
两条腰对应的侧面积：$2× a× h=2×12\sqrt{2}×24=576\sqrt{2}$
斜边对应的侧面积：$\sqrt{2}a× h=24×24=576$
总表面积为：$288+576+576\sqrt{2}=864+576\sqrt{2}$。
【答案】
（1）直三棱柱；（2）④⑤；（3）$864+576\sqrt{2}$
【知识点】
直三棱柱的特征，几何体的三视图，直棱柱表面积计算
【点评】
本题综合考查直棱柱的展开图识别、三视图判断和表面积计算，需要具备一定的空间想象能力，准确对应几何体各棱长的尺寸关系是解题关键，易错点为三视图判断时混淆投影方向、表面积计算漏算面。
【难度系数】
0.6
24. 按要求完成下列视图问题.（其中每个小正方体的棱长和网格中小正方形的边长均为1）
（1）图(1)是由几个相同的小正方体搭成的几何体. 在①的上面搭一个同样大小的小正方体，在网格图中画出所得的新几何体的主视图.
（2）（1）中前后两个几何体的
（3）图(2)是一个由几个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，请在网格图中画出这个几何体的左视图.
（4）若将图(2)中正方形中的数字1改成2，该几何体的
（1）图(1)是由几个相同的小正方体搭成的几何体. 在①的上面搭一个同样大小的小正方体，在网格图中画出所得的新几何体的主视图.
（2）（1）中前后两个几何体的
俯
视图不变.（3）图(2)是一个由几个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，请在网格图中画出这个几何体的左视图.
（4）若将图(2)中正方形中的数字1改成2，该几何体的
主视图、左视图、俯
视图不变.答案
24.（1）如图(1)所示. （2）俯. （3）如图(2)所示. （4）主视图、左视图、俯.
解析
【分析】
(1) 主视图是从几何体正面观察得到的图形，在①上方加1个小正方体后，从正面看左、右列高度仍为1层，中间列高度变为3层，按照该特征即可画出主视图。
(2) 分别对比加小正方体前后的三个视图：主视图中间列高度增加，左视图左侧列高度增加，只有从上方观察的俯视图各位置投影形状、范围没有变化，即可判断不变的视图。
(3) 左视图是从几何体左侧观察得到的图形，俯视图中每行的最大高度对应左视图每列的高度：俯视图靠后一行最大高度为4，靠前一行最大高度为3，因此左视图有2列，高度分别为4、3，按此画出左视图即可。
(4) 将数字1改为2后：俯视图仅对应位置小正方体数量增加，布局形状不变；主视图看列，两列最大高度仍为4、3，无变化；左视图看行，两行最大高度仍为4、3，无变化，即可判断不变的视图。
【解析】
(1) 从正面观察新几何体，共3列：左列1层，中间列3层，右列1层，对应画出的主视图如图(1)所示。
(2) 添加小正方体后，主视图、左视图的高度均发生变化，只有俯视图的形状和各位置投影没有改变，因此不变的是俯视图。
(3) 由俯视图的数字可知，从左侧观察几何体，共2列：左列对应俯视图后方行，最高4层；右列对应俯视图前方行，最高3层，对应画出的左视图如图(2)所示。
(4) 将数字1改为2后，俯视图的布局形状不变；主视图两列最大高度仍为4和3，没有变化；左视图两列最大高度仍为4和3，没有变化，因此主视图、左视图、俯视图均不变。
【答案】
24.（1）如图(1)所示. （2）俯. （3）如图(2)所示. （4）主视图、左视图、俯.
【知识点】
三视图画法，三视图识别，由俯视图还原几何体
【点评】
本题考查几何体三视图的相关知识，重点考查空间想象能力，需要熟练掌握三个视图的观察角度和绘制规则，理解小正方体数量变化时视图的变化规律，是三视图类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 主视图是从几何体正面观察得到的图形，在①上方加1个小正方体后，从正面看左、右列高度仍为1层，中间列高度变为3层，按照该特征即可画出主视图。
(2) 分别对比加小正方体前后的三个视图：主视图中间列高度增加，左视图左侧列高度增加，只有从上方观察的俯视图各位置投影形状、范围没有变化，即可判断不变的视图。
(3) 左视图是从几何体左侧观察得到的图形，俯视图中每行的最大高度对应左视图每列的高度：俯视图靠后一行最大高度为4，靠前一行最大高度为3，因此左视图有2列，高度分别为4、3，按此画出左视图即可。
(4) 将数字1改为2后：俯视图仅对应位置小正方体数量增加，布局形状不变；主视图看列，两列最大高度仍为4、3，无变化；左视图看行，两行最大高度仍为4、3，无变化，即可判断不变的视图。
【解析】
(1) 从正面观察新几何体，共3列：左列1层，中间列3层，右列1层，对应画出的主视图如图(1)所示。
(2) 添加小正方体后，主视图、左视图的高度均发生变化，只有俯视图的形状和各位置投影没有改变，因此不变的是俯视图。
(3) 由俯视图的数字可知，从左侧观察几何体，共2列：左列对应俯视图后方行，最高4层；右列对应俯视图前方行，最高3层，对应画出的左视图如图(2)所示。
(4) 将数字1改为2后，俯视图的布局形状不变；主视图两列最大高度仍为4和3，没有变化；左视图两列最大高度仍为4和3，没有变化，因此主视图、左视图、俯视图均不变。
【答案】
24.（1）如图(1)所示. （2）俯. （3）如图(2)所示. （4）主视图、左视图、俯.
【知识点】
三视图画法，三视图识别，由俯视图还原几何体
【点评】
本题考查几何体三视图的相关知识，重点考查空间想象能力，需要熟练掌握三个视图的观察角度和绘制规则，理解小正方体数量变化时视图的变化规律，是三视图类的基础常考题。
【难度系数】
0.7
