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21. 小明想利用太阳光测量楼的高度. 他带着皮尺来到楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案. 如图，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同. 此时，测得小明落在墙上的影子高度 $CD=1.4\ \mathrm{m}$. 已知小明的身高 $EF$ 为 $2\ \mathrm{m}$，$CE=1\ \mathrm{m}$，$AC=32\ \mathrm{m}$(点 $A$、$E$、$C$ 在同一直线上)，请你帮小明求出楼高 $AB$.
答案
21. 20.6 m.
解析
【分析】
要计算楼高AB，我们可以通过作辅助线构造相似三角形求解。首先过点D作DG垂直AB于G，交EF于H，利用垂直于同一直线的直线互相平行，可得EF//AB，进而证明△DHF和△DGB相似；再结合矩形的性质得到各已知边的长度，根据相似三角形对应边成比例求出BG的长，最后加上AG（与CD长度相等）即可得到AB的高度。
【解析】
过点D作$DG⊥ AB$于点G，交$EF$于点H。
$\because AB⊥ AC$，$EF⊥ AC$，$CD⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形$AGDC$、四边形$HECD$均为矩形，
$\therefore AG=CD=1.4\ \mathrm{m}$，$DH=CE=1\ \mathrm{m}$，$DG=AC=32\ \mathrm{m}$，$EH=CD=1.4\ \mathrm{m}$，
$\therefore FH=EF-EH=2-1.4=0.6\ \mathrm{m}$。
$\because EF// AB$，
$\therefore ∠ DFH=∠ DBG$，$∠ DHF=∠ DGB=90°$，
$\therefore △ DHF ∽ △ DGB$，
$\therefore \frac{FH}{BG}=\frac{DH}{DG}$，代入数据得$\frac{0.6}{BG}=\frac{1}{32}$，
解得$BG=0.6×32=19.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AG+BG=1.4+19.2=20.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
$20.6\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行投影应用
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了几何知识在生活中的应用，解题关键是正确构造相似三角形，准确找到对应边的比例关系，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
要计算楼高AB，我们可以通过作辅助线构造相似三角形求解。首先过点D作DG垂直AB于G，交EF于H，利用垂直于同一直线的直线互相平行，可得EF//AB，进而证明△DHF和△DGB相似；再结合矩形的性质得到各已知边的长度，根据相似三角形对应边成比例求出BG的长，最后加上AG（与CD长度相等）即可得到AB的高度。
【解析】
过点D作$DG⊥ AB$于点G，交$EF$于点H。
$\because AB⊥ AC$，$EF⊥ AC$，$CD⊥ AC$，
$\therefore$ 四边形$AGDC$、四边形$HECD$均为矩形，
$\therefore AG=CD=1.4\ \mathrm{m}$，$DH=CE=1\ \mathrm{m}$，$DG=AC=32\ \mathrm{m}$，$EH=CD=1.4\ \mathrm{m}$，
$\therefore FH=EF-EH=2-1.4=0.6\ \mathrm{m}$。
$\because EF// AB$，
$\therefore ∠ DFH=∠ DBG$，$∠ DHF=∠ DGB=90°$，
$\therefore △ DHF ∽ △ DGB$，
$\therefore \frac{FH}{BG}=\frac{DH}{DG}$，代入数据得$\frac{0.6}{BG}=\frac{1}{32}$，
解得$BG=0.6×32=19.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AG+BG=1.4+19.2=20.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
$20.6\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行投影应用
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了几何知识在生活中的应用，解题关键是正确构造相似三角形，准确找到对应边的比例关系，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
22. 如图，某饮水机可以近似地看成一个长方体中挖去半个圆柱体形成的几何体，该几何体的主视图和俯视图如图所示(单位：dm).
（1）求该几何体的体积.
（2）现对该饮水机的正面所有区域进行涂色(包括凹陷的内部)，求涂色面积.(结果保留π)
（1）求该几何体的体积.
（2）现对该饮水机的正面所有区域进行涂色(包括凹陷的内部)，求涂色面积.(结果保留π)
答案
22.（1）$(240-2π)\ \mathrm{dm}^3$. 提示：几何体的体积$=5×8×6-\frac{1}{2}π×(\frac{2}{2})^2×4=(240-2π)\ \mathrm{dm}^3$.
（2）$(32+5π)\ \mathrm{dm}^2$. 提示：涂色面积$=5×8-2×4+π×(\frac{2}{2})^2+\frac{1}{2}×2π×4=(32+5π)\ \mathrm{dm}^2$.
（2）$(32+5π)\ \mathrm{dm}^2$. 提示：涂色面积$=5×8-2×4+π×(\frac{2}{2})^2+\frac{1}{2}×2π×4=(32+5π)\ \mathrm{dm}^2$.
解析
【分析】
（1）该几何体是长方体挖去半个圆柱形成的，体积可通过“长方体体积减去半圆柱体积”计算。首先结合三视图确定长方体的长宽高、半圆柱的底面半径和高，分别计算两个体积后作差即可。
（2）正面涂色区域包含三部分：长方体正面去掉挖去的小长方形的剩余部分、凹陷处两个半圆端面（可拼成1个整圆）、半圆柱的弧形侧面。先算长方体正面剩余面积，再依次计算凹陷处的圆面积和弧形侧面面积，加总就是总涂色面积。
【解析】
（1）计算几何体体积：
由三视图可知，长方体的长为5dm、宽为6dm、高为8dm，因此长方体体积：
$V_{\mathrm{长方体}}=5×8×6=240\ \mathrm{dm}^3$
挖去的半圆柱底面直径为2dm，因此半径$r=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{dm}$，半圆柱的高为4dm，因此半圆柱体积：
$V_{\mathrm{半圆柱}}=\frac{1}{2}π r^2h=\frac{1}{2}π×1^2×4=2π\ \mathrm{dm}^3$
几何体体积为：
$V=V_{\mathrm{长方体}}-V_{\mathrm{半圆柱}}=240-2π\ \mathrm{dm}^3$
（2）计算正面涂色面积：
长方体正面面积为$5×8=40\ \mathrm{dm}^2$，挖去的小长方形面积为$2×4=8\ \mathrm{dm}^2$，因此正面外框剩余面积：$40-8=32\ \mathrm{dm}^2$
凹陷处两个半圆端面可拼成1个整圆，面积为：$π r^2=π×1^2=π\ \mathrm{dm}^2$
半圆柱的弧形侧面面积为：$\frac{1}{2}×2π r× h=π×1×4=4π\ \mathrm{dm}^2$
总涂色面积为：$32+π+4π=32+5π\ \mathrm{dm}^2$
【答案】
（1）$\boxed{(240-2π)\ \mathrm{dm}^3}$
（2）$\boxed{(32+5π)\ \mathrm{dm}^2}$
【知识点】
三视图识别，不规则几何体体积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题考查结合三视图计算组合体的体积与面积，解题核心是明确组合体的构成，准确对应各部分的尺寸，计算涂色面积时注意不要遗漏凹陷位置的面积。
【难度系数】
0.6
（1）该几何体是长方体挖去半个圆柱形成的，体积可通过“长方体体积减去半圆柱体积”计算。首先结合三视图确定长方体的长宽高、半圆柱的底面半径和高，分别计算两个体积后作差即可。
（2）正面涂色区域包含三部分：长方体正面去掉挖去的小长方形的剩余部分、凹陷处两个半圆端面（可拼成1个整圆）、半圆柱的弧形侧面。先算长方体正面剩余面积，再依次计算凹陷处的圆面积和弧形侧面面积，加总就是总涂色面积。
【解析】
（1）计算几何体体积：
由三视图可知，长方体的长为5dm、宽为6dm、高为8dm，因此长方体体积：
$V_{\mathrm{长方体}}=5×8×6=240\ \mathrm{dm}^3$
挖去的半圆柱底面直径为2dm，因此半径$r=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{dm}$，半圆柱的高为4dm，因此半圆柱体积：
$V_{\mathrm{半圆柱}}=\frac{1}{2}π r^2h=\frac{1}{2}π×1^2×4=2π\ \mathrm{dm}^3$
几何体体积为：
$V=V_{\mathrm{长方体}}-V_{\mathrm{半圆柱}}=240-2π\ \mathrm{dm}^3$
（2）计算正面涂色面积：
长方体正面面积为$5×8=40\ \mathrm{dm}^2$，挖去的小长方形面积为$2×4=8\ \mathrm{dm}^2$，因此正面外框剩余面积：$40-8=32\ \mathrm{dm}^2$
凹陷处两个半圆端面可拼成1个整圆，面积为：$π r^2=π×1^2=π\ \mathrm{dm}^2$
半圆柱的弧形侧面面积为：$\frac{1}{2}×2π r× h=π×1×4=4π\ \mathrm{dm}^2$
总涂色面积为：$32+π+4π=32+5π\ \mathrm{dm}^2$
【答案】
（1）$\boxed{(240-2π)\ \mathrm{dm}^3}$
（2）$\boxed{(32+5π)\ \mathrm{dm}^2}$
【知识点】
三视图识别，不规则几何体体积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题考查结合三视图计算组合体的体积与面积，解题核心是明确组合体的构成，准确对应各部分的尺寸，计算涂色面积时注意不要遗漏凹陷位置的面积。
【难度系数】
0.6
