7 二次函数$y=ax^2 -2ax +c$的图象及局部细节如图所示，则关于$x$的方程$ax^2 -2ax +c=0$的较大的根的取值范围是（）


A.$0.4＜x＜0.5$
B.$0.5＜x＜0.6$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$2.5＜x＜2.6$

7. C

8 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的 $ y $ 与 $ x $ 的部分对应值如下表：

有下列结论：① $ abc ＞ 0 $；② 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 9 $ 有两个相等的实数根；③ 当 $ -4 ＜ x ＜ 1 $ 时，$ y $ 的取值范围是 $ 0 ＜ y ＜ 5 $；④ 若点 $ (m, y_1), (-m - 2, y_2) $ 均在该二次函数的图象上，则 $ y_1 = y_2 $；⑤ 满足 $ ax^2 + (b+1)x + c ＜ 2 $ 的 $ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 3 $。其中，正确的是 ______（填序号）。

8. ①②④

9 已知二次函数 $y=x^2 - 2mx + m^2 + 3$（$m$ 是常数）。
（1）求证：不论 $m$ 为何值，该函数的图象与 $x$ 轴都没有公共点；
（2）把该函数的图象沿 $y$ 轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与 $x$ 轴只有一个公共点？

9.（1）根据题意，令 y=0，得关于 x 的一元二次方程 $x^2 - 2mx + m^2 + 3=0$. 因为 $b^2-4ac=(-2m)^2-4×1×(m^2+3)=4m^2-4m^2-12=-12＜0$，所以方程 $x^2 - 2mx + m^2 + 3=0$ 没有实数根，即不论 m 为何值，二次函数 $y=x^2 - 2mx + m^2 + 3$ 的图象与 x 轴都没有公共点 （2）$y=x^2 - 2mx + m^2 + 3=(x-m)^2+3$，把函数 $y=(x-m)^2+3$ 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位后，得到函数 $y=(x-m)^2$ 的图象，它的顶点坐标为$(m,0)$，因此，这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点. 所以把函数 $y=x^2 - 2mx + m^2 + 3$ 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点

10 分类讨论思想 [2026 杭州西湖段测]已知二次函数$y=ax^2 -4ax +3a$（$a$为常数，$a≠0$）的图象为抛物线$C$.
（1）求证：不论$a$为何值，抛物线$C$与$x$轴总有两个不同的交点；
（2）当$2≤x≤6$时，$y＜5$，求$a$的取值范围；
（3）已知点$E(1,5),F(4,5)$，若抛物线$C$与线段$EF$只有一个交点，结合函数图象，直接写出$a$的取值范围.

10.（1）根据题意，令 y=0，得关于 x 的一元二次方程 $ax^2 -4ax + 3a=0$. 因为 $b^2-4ac=(-4a)^2 -4a×3a=16a^2-12a^2=4a^2$，又因为 $a≠0$，所以 $4a^2＞0$. 所以不论 a 为何值，抛物线 C 与 x 轴总有两个不同的交点 （2）令 $ax^2 -4ax + 3a=0$，解得 $x_1=1,x_2=3$. 所以抛物线交 x 轴于$(1,0)$和$(3,0)$两点. 所以对称轴是直线 $x=\frac{1+3}{2}=2$. 当 $a＞0$ 时，因为 $2≤x≤6$，所以当 $x=6$ 时，$y_{最大}=36a-24a+3a=15a＜5$，所以 $0＜a＜\frac{1}{3}$. 当 $a＜0$ 时，因为对称轴是直线 $x=2$，$2≤x≤6$，所以抛物线在顶点处取得最大值，$y_{最大}=4a-8a+3a=-a＜5$. 所以 $a＞-5$. 所以 $-5＜a＜0$. 综上所述，a 的取值范围是 $0＜a＜\frac{1}{3}$ 或 $-5＜a＜0$ （3）① 当 $a＞0$ 时，①，因为抛物线 C 与线段 EF 只有一个交点，所以当 $x=4$ 时，$y=ax^2-4ax+3a=16a-16a+3a=3a≥5$. 所以 $a≥\frac{5}{3}$. ② 当 $a＜0$ 时，②，结合仅有一个交点，所以当 $x=2$ 时，$y=ax^2-4ax+3a=-a=5$. 所以 $a=-5$. 综上所述，a 的取值范围是 $a≥\frac{5}{3}$ 或 $a=-5$