9. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图15.1-4所示. 若∠BAC=35°，则∠CBD的度数为.

9. 20°

【分析】
解题时首先结合已知条件回忆相关性质：一是长方形的性质，内角为直角、对边平行；二是折叠的轴对称性质，折叠前后对应角相等。步骤如下：第一步先利用直角三角形两锐角互余，结合已知的∠BAC=35°算出∠ABC的度数；第二步利用长方形对边平行的性质，由内错角相等得到∠ABD的度数；第三步用∠ABC减去∠ABD即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵ 长方形沿对角线折叠，折叠前后对应角相等，长方形内角为直角，
∴ ∠C=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=35°，直角三角形两锐角互余，
∴ ∠ABC=90°-∠BAC=90°-35°=55°，
又
∵ 长方形对边平行，两直线平行内错角相等，
∴ ∠ABD=∠BAC=35°，
∴ ∠CBD=∠ABC-∠ABD=55°-35°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
1. 长方形的性质；2. 折叠的性质；3. 平行线的性质
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题型，解题核心是找准折叠前后相等的角，结合平行线、直角三角形的角度关系计算即可，需要注意不要混淆折叠前后的对应角。
【难度系数】
0.7

10. 如图15.1-5，在$3×3$的正方形方格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中$△ ABC$是一个格点三角形.

图15.1-5
（1）请在上面每一个图中作出一个与$△ ABC$成轴对称的格点三角形.（不能重复）
（2）在这个$3×3$的正方形方格中，与$△ ABC$成轴对称的格点三角形最多有________个.

10. 解：（1）（答案不唯一，画三个即可）
（2）6

【分析】
（1）作轴对称格点三角形需结合轴对称性质思考：成轴对称的两个图形，对应点连线被对称轴垂直平分，对应边、对应角完全相等。首先先确定不同的对称轴（可选取竖直、水平、对角线方向的直线），再分别找到△ABC三个顶点关于该对称轴的对称点，验证对称点均为格点后，顺次连接三个对称点即可得到符合要求的三角形，三个图选择不同的对称轴作图即可保证不重复。
（2）要计算最多的个数，需要有序枚举所有可能的对称轴，逐一判断对应作出的三角形是否为格点三角形，统计所有符合条件的数量即可。
【解析】
（1）依据轴对称性质作图：
① 选择不同的对称轴，例如分别选过点B的竖直线、方格竖直中线、方格对角线为对称轴；
② 分别作点A、B、C关于所选对称轴的对称点，若对称点都在格点上，顺次连接三个对称点，得到的三角形即为与△ABC成轴对称的格点三角形，三个图选择不同对称轴作图即可。
（2）有序枚举所有可行的对称轴：分别沿不同的竖直直线、水平直线、对角线方向直线尝试，可得到6个不同的符合要求的格点三角形。
【答案】
（1）（答案不唯一）
（2）6
【知识点】
轴对称的性质，格点作图，轴对称图形识别
【点评】
本题围绕轴对称性质展开考查，既需要掌握作对称点、画轴对称图形的基本方法，也需要具备有序思考的能力，避免在数个数时出现遗漏或重复，能有效提升对轴对称特征的理解和空间想象能力。
【难度系数】
0.7

11. 如图15.1-6，O为△ABC内部一点，OB＝3，P，R为点O分别以直线AB，BC为对称轴的对称点.
（1）请指出当∠ABC是多少度时，会使得PR的长度等于6？并说明理由.
（2）判断当∠ABC不是（1）中的度数时，PR的长度是小于6，还是大于6？

11. 解：（1）当∠ABC=90°时，PR=6.
理由如下：如图，连接 PO，PB，RO，BR，PO 交AB 于点E，RO 交BC 于点F.

∵P，R 为点O 分别关于直线AB，BC 对称的对称点，
∴OE=PE，BE⊥OP，OF=RF，BF⊥OR.
在△OBE 和△PBE 中，$\begin{cases} BE=BE, \\ ∠BEO=∠BEP, \\ OE=PE, \end{cases}$
∴△OBE≌△PBE（SAS）.
∴PB=OB=3.
同理可得，RB=OB=3.
当P，B，R 在同一条直线上时，PB+RB=6.
由△OBE≌△PBE，可知∠OBE=∠PBE.
由△RBF≌△OBF，可知∠RBF=∠OBF.
∴∠OBE+∠OBF=∠PBE+∠RBF.
∴∠ABC=90°.
（2）PR 的长度小于6.

【分析】
解题思路如下：1. 看到轴对称的对称点，首先回忆轴对称性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角相等，因此连接PB、RB，可得PB=OB，RB=OB，均为3；2. 要使PR=6，刚好为PB+RB的和，因此需满足P、B、R三点共线，否则根据三角形三边关系，PR会小于两边之和；3. 结合轴对称的等角关系，若P、B、R共线，∠PBR为180°，即可推出∠ABC的度数；4. 第二问若∠ABC不是90°，则三点不共线，构成三角形，直接用三边关系判断PR长度即可。
【解析】
（1）当∠ABC=90°时，PR=6，理由如下：
如图，连接PO，PB，RO，BR，PO交AB于点E，RO交BC于点F。

∵P，R为点O分别关于直线AB，BC对称的对称点，
∴OE=PE，BE⊥OP，OF=RF，BF⊥OR。
在△OBE和△PBE中，
$\begin{cases} BE=BE, \\ ∠BEO=∠BEP, \\ OE=PE, \end{cases}$
∴△OBE≌△PBE（SAS），
∴PB=OB=3。
同理可得，RB=OB=3。
当P，B，R在同一条直线上时，PR=PB+RB=6，
由△OBE≌△PBE，可知∠OBE=∠PBE，
由△RBF≌△OBF，可知∠RBF=∠OBF，
∴∠OBE+∠OBF=∠PBE+∠RBF，
∵∠PBR=∠PBE+∠OBE+∠OBF+∠RBF=180°，
∴2(∠OBE+∠OBF)=180°，即∠ABC=90°。
（2）当∠ABC不是90°时，P、B、R三点不在同一直线上，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得PR＜PB+RB=3+3=6，故PR的长度小于6。
【答案】
11. 解：（1）当∠ABC=90°时，PR=6.
理由如下：如图，连接 PO，PB，RO，BR，PO 交AB 于点E，RO 交BC 于点F.

∵P，R 为点O 分别关于直线AB，BC 对称的对称点，
∴OE=PE，BE⊥OP，OF=RF，BF⊥OR.
在△OBE 和△PBE 中，$\begin{cases} BE=BE, \\ ∠BEO=∠BEP, \\ OE=PE, \end{cases}$
∴△OBE≌△PBE（SAS）.
∴PB=OB=3.
同理可得，RB=OB=3.
当P，B，R 在同一条直线上时，PB+RB=6.
由△OBE≌△PBE，可知∠OBE=∠PBE.
由△RBF≌△OBF，可知∠RBF=∠OBF.
∴∠OBE+∠OBF=∠PBE+∠RBF.
∴∠ABC=90°.
（2）PR 的长度小于6.
【知识点】
轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的应用，解题的关键是利用轴对称的性质得到等线段和等角，再结合三点共线的条件和三角形三边关系判断线段长度，难度适中，注重对知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7