24.「★★★」(14分)如图,抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$与x轴交于A(4,0),B(-1,0)两点,直线$y=-\frac{1}{2}x+m$与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知点K为线段AD上一动点,过点K作y轴的平行线交抛物线于点H,连接DH,AH,求$△ AHD$的最大面积.
(3)若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,当以点E,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,请你直接写出符合条件的点N的坐标.

24.解析 (1)
∵ 抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A(4,0),B(-1,0)两点,
∴ $\begin{cases}\frac{1}{2}×4²+4b+c=0,\\\frac{1}{2}-b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-\frac{3}{2},\\c=-2,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2.
(2)将(4,0)代入y=-$\frac{1}{2}$x+m,得-$\frac{1}{2}$×4+m=0,解得m=2,
∴ 直线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2,
联立得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x²-\frac{3}{2}x-2,\\y=-\frac{1}{2}x+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x₁=4,\\y₁=0,\end{cases}$$\begin{cases}x₂=-2,\\y₂=3,\end{cases}$
∴ D(-2,3),
设K$(a,-\frac{1}{2}a+2)$,则H$(a,\frac{1}{2}a²-\frac{3}{2}a-2)$,
∴ KH=-$\frac{1}{2}a+2-(\frac{1}{2}a²-\frac{3}{2}a-2)$=-$\frac{1}{2}a²+a+4$=-$\frac{1}{2}(a-1)²+\frac{9}{2}$,
∴ S$_{△ AHD}$=$\frac{1}{2}(x_A-x_D)×KH$=$\frac{1}{2}×[4-(-2)]×KH$=3KH=-$\frac{3}{2}(a-1)²+\frac{27}{2}$,
∴ 当a=1时,△AHD的面积有最大值,最大值为$\frac{27}{2}$.
(3)符合条件的点N的坐标为$(\frac{3+\sqrt{41}}{2},2)$或$(\frac{3-\sqrt{41}}{2},2)$或(0,-2)或(3,-2).
详解:当x=0时,y=-$\frac{1}{2}$x+2=2,
∴ E(0,2),
以点E,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,分情况讨论:
①当BE,MN为对角线时,
∵ B(-1,0),E(0,2),
∴ BE的中点坐标为$(-\frac{1}{2},1)$,
此时MN的中点坐标也为$(-\frac{1}{2},1)$,
∵ 点M在x轴上,
∴ 点N的纵坐标为2.
令$\frac{1}{2}x²-\frac{3}{2}x-2=2$,解得x₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$,x₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$,
∴ 点N的坐标为$(\frac{3+\sqrt{41}}{2},2)$或$(\frac{3-\sqrt{41}}{2},2)$.
②当BM,EN为对角线时,
∵ B(-1,0),M在x轴上,
∴ BM的中点纵坐标为0,此时EN的中点纵坐标也为0,
∴ $\frac{y_E+y_N}{2}=0$,即$\frac{2+y_N}{2}=0$,解得y_N=-2,
∴ 点N的纵坐标为-2.
令$\frac{1}{2}x²-\frac{3}{2}x-2=-2$,解得x₁=0,x₂=3,
∴ 点N的坐标为(0,-2)或(3,-2).
③当BN,EM为对角线时,
∵ E(0,2),M在x轴上,
∴ EM的中点纵坐标为1,此时BN的中点纵坐标也为1,
∴ $\frac{y_B+y_N}{2}=1$,即$\frac{y_N+0}{2}=1$,解得y_N=2,
∴ 点N的纵坐标为2,
由①可知点N的坐标为$(\frac{3+\sqrt{41}}{2},2)$或$(\frac{3-\sqrt{41}}{2},2)$.
综上所述,符合条件的点N的坐标为$(\frac{3+\sqrt{41}}{2},2)$或$(\frac{3-\sqrt{41}}{2},2)$或(0,-2)或(3,-2).