11.如图，河中有一块礁石A，现欲测礁石A与岸边B点间的距离，采用的方法如下：顺河边取一条线段BC，测出∠CBA和∠BCA的度数，在BC的另一侧作∠CBD=∠CBA，∠BCD=∠BCA，测得BD的长即知礁石A与B点间的距离。你能说明理由吗？

11.解:由题知$∠ CBD=∠ CBA,∠ BCD=∠ BCA$,
又 $BC=BC$,
$\therefore△ DBC≌△ ABC(\mathrm{ASA})$.
$\therefore BD=BA$.

【分析】
要说明测得BD的长就能得到AB的长，本质是证明BD=AB。我们可以通过证明BD、AB所在的三角形全等推导：首先确定BD属于△DBC，AB属于△ABC，题目已给出两个对应角相等的条件，且两个三角形共享边BC，刚好符合“角边角（ASA）”的全等判定要求，证得三角形全等后，利用全等三角形对应边相等的性质，即可得到BD=BA的结论。
【解析】
由题意可知$∠ CBD=∠ CBA$，$∠ BCD=∠ BCA$，
又$\because$BC是$△ DBC$和$△ ABC$的公共边，即$BC=BC$，
$\therefore △ DBC≌△ ABC(\mathrm{ASA})$，
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$BD=BA$，因此测得BD的长即为礁石A与B点间的距离。
【答案】
由题知$∠ CBD=∠ CBA,∠ BCD=∠ BCA$,
又 $BC=BC$,
$\therefore△ DBC≌△ ABC(\mathrm{ASA})$.
$\therefore BD=BA$.
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等在实际测量场景中的典型应用，通过构造全等三角形，将不可直接测量的距离转化为可直接测量的线段长度，解题的关键是找准两个三角形的对应相等边角条件，正确选用全等判定定理完成证明。
【难度系数】
0.8

12.【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考：

如图①，由尺规作图可知，$OC=O'C'$，$OD=O'D'$，，所以$△ OCD ≌ △ O'C'D'$（），（填全等判定依据，如SSS，ASA，AAS，SAS）
(1)完成上述小明思考过程中的填空；
【操作应用】
(2)如图②，已知线段$a$和$∠ α$，请用尺规作一个$△ ABC$，使$BC=a$，$AC=2a$，$∠ BCA=∠ α$。

12.解:(1)$CD=C'D'$;SSS
(2)如图,先作$∠ MCN=∠α$,以点$C$为圆心,线段$a$的长为半径作弧,交射线$CM$于点$B$,再以点$C$为圆心,线段$a$的长为半径作弧,交射线$CN$于点$D$,以点$D$为圆心,线段$a$的长为半径作弧,交射线$DN$于点$A$,连接$AB$,
则$△ ABC$即为所求.

【分析】
对于第(1)问，要判定△OCD和△O'C'D'全等，已知两组对应边OC=O'C'、OD=O'D'，结合尺规作等角的操作，第三步画弧的目的是让两个三角形的第三组边CD和C'D'相等，因此满足三边对应相等的全等判定条件，即可得到判定依据。
对于第(2)问，要作满足条件的△ABC，已知两边BC=a、AC=2a，以及它们的夹角∠BCA=α，属于“两边夹一角”的三角形作图，步骤应为：先作出等于∠α的角作为∠C，再在角的两条边上分别截取对应长度的边BC、AC，最后连接两个端点即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 根据尺规作一个角等于已知角的操作步骤，作图时除了截取OC=O'C'，OD=O'D'，还通过画弧使得CD=C'D'，此时△OCD和△O'C'D'的三组对应边都相等，因此依据SSS即可判定两个三角形全等。
(2) 作图步骤如下：
① 作∠MCN=∠α；
② 以点C为圆心，线段a的长度为半径作弧，交射线CM于点B，此时BC=a；
③ 以点C为圆心，线段a的长度为半径作弧，交射线CN于点D，再以点D为圆心，线段a的长度为半径作弧，交射线DN于点A，此时AC=CD+DA=2a；
④ 连接AB，△ABC即为所求作的三角形。
【答案】
(1) $CD=C'D'$；SSS
(2) 如图，先作$∠ MCN=∠α$,以点$C$为圆心,线段$a$的长为半径作弧,交射线$CM$于点$B$,再以点$C$为圆心,线段$a$的长为半径作弧,交射线$CN$于点$D$,以点$D$为圆心,线段$a$的长为半径作弧,交射线$DN$于点$A$,连接$AB$,则$△ ABC$即为所求.

【知识点】
SSS判定全等，尺规作等角，尺规作三角形
【点评】
本题考查了全等三角形判定的实际应用以及基本尺规作图的操作，需要理解尺规作图的原理，熟练掌握基本作图的步骤，是对基础作图能力的考查。
【难度系数】
0.8