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1.把多项式$45ab^2 - 20a$分解因式,结果是(
A.$5ab(9b - 4)$
B.$5a(9b^2 - 4)$
C.$5a(3b - 2)^2$
D.$5a(3b - 2)(3b + 2)$
D
).A.$5ab(9b - 4)$
B.$5a(9b^2 - 4)$
C.$5a(3b - 2)^2$
D.$5a(3b - 2)(3b + 2)$
答案
1.D
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的基本思路：第一步先找多项式各项的公因式并提取；第二步观察提取公因式后的式子是否符合乘法公式的特征，套用对应公式继续分解；第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。本题先确定公因式提取后，再判断剩余部分符合平方差公式的特征，进一步分解即可得到结果。
【解析】
1. 提取公因式：多项式$45ab^2 - 20a$中，系数45和20的最大公因数是5，两项共有的字母因式为$a$，因此公因式为$5a$，提取后得：
$45ab^2 - 20a = 5a(9b^2 - 4)$
2. 套用平方差公式分解：$9b^2 - 4$可变形为$(3b)^2 - 2^2$，符合平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$的形式，因此：
$9b^2 - 4=(3b-2)(3b+2)$
3. 检查分解彻底性：两个一次因式均无法继续分解，最终结果为$5a(3b-2)(3b+2)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式、因式分解原则
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，易错点有三类：一是公因式提取错误误选A，二是提取公因式后未继续分解误选B，三是混淆平方差和完全平方公式误选C，解题后要注意检查公式使用是否正确、分解是否彻底。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的基本思路：第一步先找多项式各项的公因式并提取；第二步观察提取公因式后的式子是否符合乘法公式的特征，套用对应公式继续分解；第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。本题先确定公因式提取后，再判断剩余部分符合平方差公式的特征，进一步分解即可得到结果。
【解析】
1. 提取公因式：多项式$45ab^2 - 20a$中，系数45和20的最大公因数是5，两项共有的字母因式为$a$，因此公因式为$5a$，提取后得：
$45ab^2 - 20a = 5a(9b^2 - 4)$
2. 套用平方差公式分解：$9b^2 - 4$可变形为$(3b)^2 - 2^2$，符合平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$的形式，因此：
$9b^2 - 4=(3b-2)(3b+2)$
3. 检查分解彻底性：两个一次因式均无法继续分解，最终结果为$5a(3b-2)(3b+2)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式、因式分解原则
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，易错点有三类：一是公因式提取错误误选A，二是提取公因式后未继续分解误选B，三是混淆平方差和完全平方公式误选C，解题后要注意检查公式使用是否正确、分解是否彻底。
【难度系数】
0.8
2.把多项式$x^2y -10xy^2 +25y^3$分解因式，结果是(
A.$y(x^2 -10x +25y^2)$
B.$x^2y + y^2(25y -10x)$
C.$y(x -5y)^2$
D.$y(x +5y)^2$
C
).A.$y(x^2 -10x +25y^2)$
B.$x^2y + y^2(25y -10x)$
C.$y(x -5y)^2$
D.$y(x +5y)^2$
答案
2.C
解析
【分析】
解决因式分解类题目需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中多项式每一项都含有公因式y，需先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩下的多项式的结构，判断是否符合乘法公式的特征，本题提取公因式后得到的二次三项式符合完全平方差公式的结构，可套用公式继续分解；最后检查分解是否彻底、是否正确，再对应选项即可。
【解析】
对多项式$x^2y -10xy^2 +25y^3$分解因式：
1. 提取公因式$y$：
$x^2y -10xy^2 +25y^3 = y(x^2 - 10xy + 25y^2)$
2. 观察括号内的二次三项式$x^2 -10xy +25y^2$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=x$，$b=5y$，因此：
$x^2 -10xy +25y^2 = x^2 - 2· x·5y + (5y)^2 = (x-5y)^2$
3. 综上，原式分解结果为$y(x-5y)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考查因式分解的标准操作流程，需注意提取公因式要彻底，套用公式时要准确识别完全平方式的结构特点，避免符号和系数出错。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中多项式每一项都含有公因式y，需先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩下的多项式的结构，判断是否符合乘法公式的特征，本题提取公因式后得到的二次三项式符合完全平方差公式的结构，可套用公式继续分解；最后检查分解是否彻底、是否正确，再对应选项即可。
【解析】
对多项式$x^2y -10xy^2 +25y^3$分解因式：
1. 提取公因式$y$：
$x^2y -10xy^2 +25y^3 = y(x^2 - 10xy + 25y^2)$
2. 观察括号内的二次三项式$x^2 -10xy +25y^2$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=x$，$b=5y$，因此：
$x^2 -10xy +25y^2 = x^2 - 2· x·5y + (5y)^2 = (x-5y)^2$
3. 综上，原式分解结果为$y(x-5y)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考查因式分解的标准操作流程，需注意提取公因式要彻底，套用公式时要准确识别完全平方式的结构特点，避免符号和系数出错。
【难度系数】
0.8
3.把多项式$x^2 - 2xy + y^2 - 3x + 3y$分解因式，结果是(
A.$(x-y)(x-y+3)$
B.$(x-y)(x-y-3)$
C.$(x+y)(x-y+3)$
D.$(x+y)(x-y-3)$
B
).A.$(x-y)(x-y+3)$
B.$(x-y)(x-y-3)$
C.$(x+y)(x-y+3)$
D.$(x+y)(x-y-3)$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先观察多项式的结构特征，前三项$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式的形式，可先将前三项分为一组，后两项分为一组；先对每组分别分解因式，得到含有公因式$(x-y)$的式子，再提取公因式即可得到最终分解结果，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：对多项式分组可得：
$\begin{aligned}&x^2 - 2xy + y^2 - 3x + 3y\\=&(x^2-2xy+y^2)+(-3x+3y)\\=&(x-y)^2 - 3(x-y)\\=&(x-y)(x-y - 3)\end{aligned}$
对应选项可知答案为B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，分组分解法
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题关键是合理分组，先利用公式法分解部分式子，再提取公因式得到最终结果，要注意提取公因式时符号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察多项式的结构特征，前三项$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式的形式，可先将前三项分为一组，后两项分为一组；先对每组分别分解因式，得到含有公因式$(x-y)$的式子，再提取公因式即可得到最终分解结果，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：对多项式分组可得：
$\begin{aligned}&x^2 - 2xy + y^2 - 3x + 3y\\=&(x^2-2xy+y^2)+(-3x+3y)\\=&(x-y)^2 - 3(x-y)\\=&(x-y)(x-y - 3)\end{aligned}$
对应选项可知答案为B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，分组分解法
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题关键是合理分组，先利用公式法分解部分式子，再提取公因式得到最终结果，要注意提取公因式时符号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
4.已知$a+b=2$，$ab=-2$，则$\frac{1}{2}a^3b+a^2b^2+\frac{1}{2}ab^3$的值为（
A.2
B.-2
C.4
D.-4
D
）。A.2
B.-2
C.4
D.-4
答案
4.D
解析
【分析】
本题若直接求解a、b的具体值计算量较大，因此优先对所求代数式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$a+b$、$ab$的形式，再整体代入数值计算即可。解题思路为：第一步提取公因式，第二步利用完全平方公式对剩余部分因式分解，第三步代入已知条件求值。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}a^3b+a^2b^2+\frac{1}{2}ab^3\\=&\frac{1}{2}ab(a^2+2ab+b^2) \quad \mathrm{提取公因式}\frac{1}{2}ab\\=&\frac{1}{2}ab(a+b)^2 \quad \mathrm{利用完全平方公式：}a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=2$，$ab=-2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×(-2)×2^2\\&=(-1)×4\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题将因式分解与代数式求值结合考查，掌握因式分解的方法、运用整体代入的思想可以大幅简化计算，避免求解a、b的具体值，是整式运算类题目的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
本题若直接求解a、b的具体值计算量较大，因此优先对所求代数式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$a+b$、$ab$的形式，再整体代入数值计算即可。解题思路为：第一步提取公因式，第二步利用完全平方公式对剩余部分因式分解，第三步代入已知条件求值。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}a^3b+a^2b^2+\frac{1}{2}ab^3\\=&\frac{1}{2}ab(a^2+2ab+b^2) \quad \mathrm{提取公因式}\frac{1}{2}ab\\=&\frac{1}{2}ab(a+b)^2 \quad \mathrm{利用完全平方公式：}a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=2$，$ab=-2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×(-2)×2^2\\&=(-1)×4\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题将因式分解与代数式求值结合考查，掌握因式分解的方法、运用整体代入的思想可以大幅简化计算，避免求解a、b的具体值，是整式运算类题目的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
5.把多项式$16x^4 - y^4$分解因式,结果是(
A.$16(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
B.$16(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
C.$(4x^2 + y^2)(2x + y)(2x - y)$
D.$(4x^2 + y^2)(2x^2 - y^2)$
C
).A.$16(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
B.$16(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
C.$(4x^2 + y^2)(2x + y)(2x - y)$
D.$(4x^2 + y^2)(2x^2 - y^2)$
答案
5.C
解析
【分析】
拿到这道因式分解题，首先观察多项式特征：本题是两项式，两项符号相反，且都能写成整式平方的形式，因此优先考虑用平方差公式解题。第一步先确定平方差公式中的a和b，对原式做第一次分解；第二步遵循因式分解“分解到不能再分解为止”的原则，检查第一次分解得到的因式，对还能继续分解的因式再次套用平方差公式，最终得到完全分解的结果后匹配选项即可。
【解析】
解：对多项式$16x^4 - y^4$变形可得：$(4x^2)^2 - (y^2)^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=4x^2$，$b=y^2$。
第一次分解得：
$16x^4 - y^4=(4x^2 + y^2)(4x^2 - y^2)$
其中$4x^2 + y^2$是平方和，在有理数范围内无法继续分解；$4x^2 - y^2$可变形为$(2x)^2 - y^2$，仍符合平方差公式，继续分解：
$4x^2 - y^2=(2x + y)(2x - y)$
因此原式最终分解结果为：$(4x^2 + y^2)(2x + y)(2x - y)$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解；因式分解的基本要求
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考查平方差公式的应用，解题时需注意两个易错点：一是要准确识别平方差公式中两项的底数，不要搞错系数的平方运算；二是要牢记因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
拿到这道因式分解题，首先观察多项式特征：本题是两项式，两项符号相反，且都能写成整式平方的形式，因此优先考虑用平方差公式解题。第一步先确定平方差公式中的a和b，对原式做第一次分解；第二步遵循因式分解“分解到不能再分解为止”的原则，检查第一次分解得到的因式，对还能继续分解的因式再次套用平方差公式，最终得到完全分解的结果后匹配选项即可。
【解析】
解：对多项式$16x^4 - y^4$变形可得：$(4x^2)^2 - (y^2)^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=4x^2$，$b=y^2$。
第一次分解得：
$16x^4 - y^4=(4x^2 + y^2)(4x^2 - y^2)$
其中$4x^2 + y^2$是平方和，在有理数范围内无法继续分解；$4x^2 - y^2$可变形为$(2x)^2 - y^2$，仍符合平方差公式，继续分解：
$4x^2 - y^2=(2x + y)(2x - y)$
因此原式最终分解结果为：$(4x^2 + y^2)(2x + y)(2x - y)$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解；因式分解的基本要求
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考查平方差公式的应用，解题时需注意两个易错点：一是要准确识别平方差公式中两项的底数，不要搞错系数的平方运算；二是要牢记因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
6.分解因式：$16x^3 - x =$
$x(4x+1)(4x-1)$
.答案
$x(4x+1)(4x-1)$
解析
【分析】
解因式分解题首先遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，本题中两项均含有公因式$x$，需先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的$16x^2-1$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，可套用公式继续分解；第三步检查最终的因式是否还能继续分解，确认分解到最简即可。
【解析】
解：$16x^3 - x$
首先提取公因式$x$，得：
$16x^3 - x = x(16x^2 - 1)$
再将$16x^2-1$变形为平方差形式$(4x)^2 - 1^2$，套用平方差公式分解：
$x(16x^2 - 1) = x(4x + 1)(4x - 1)$
此时各因式均为最简整式，无法继续分解。
【答案】
$x(4x+1)(4x-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查因式分解的基本步骤，解题时需注意先提取公因式再套用公式，同时要保证最终结果分解到不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
解因式分解题首先遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，本题中两项均含有公因式$x$，需先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的$16x^2-1$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，可套用公式继续分解；第三步检查最终的因式是否还能继续分解，确认分解到最简即可。
【解析】
解：$16x^3 - x$
首先提取公因式$x$，得：
$16x^3 - x = x(16x^2 - 1)$
再将$16x^2-1$变形为平方差形式$(4x)^2 - 1^2$，套用平方差公式分解：
$x(16x^2 - 1) = x(4x + 1)(4x - 1)$
此时各因式均为最简整式，无法继续分解。
【答案】
$x(4x+1)(4x-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查因式分解的基本步骤，解题时需注意先提取公因式再套用公式，同时要保证最终结果分解到不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
7.分解因式：$x^3y -6x^2y^2 +9xy^3 =$
$xy(x-3y)^2$
.答案
$xy(x-3y)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的步骤：第一步先找多项式各项的公因式，本题各项均含有公因式$xy$，需先提取公因式；第二步观察提取公因式后得到的多项式$x^2-6xy+9y^2$，其符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式继续分解；最后检查分解结果是否彻底，确保每个因式都不能再分解。
【解析】
$\begin{aligned}x^3y -6x^2y^2 +9xy^3&=xy(x^2 - 6xy + 9y^2) \quad \mathrm{（提取公因式）} \\&=xy(x-3y)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=3y$）}\end{aligned}$
【答案】
$xy(x-3y)^2$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查因式分解的基本操作流程，解题时要注意优先提取公因式，再结合多项式特征选择合适的公式分解，同时要保证分解彻底，避免出现漏提公因式、公式套用错误等问题。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提、二套、三查”的步骤：第一步先找多项式各项的公因式，本题各项均含有公因式$xy$，需先提取公因式；第二步观察提取公因式后得到的多项式$x^2-6xy+9y^2$，其符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式继续分解；最后检查分解结果是否彻底，确保每个因式都不能再分解。
【解析】
$\begin{aligned}x^3y -6x^2y^2 +9xy^3&=xy(x^2 - 6xy + 9y^2) \quad \mathrm{（提取公因式）} \\&=xy(x-3y)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=3y$）}\end{aligned}$
【答案】
$xy(x-3y)^2$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查因式分解的基本操作流程，解题时要注意优先提取公因式，再结合多项式特征选择合适的公式分解，同时要保证分解彻底，避免出现漏提公因式、公式套用错误等问题。
【难度系数】
0.8
8.多项式$16x^2 + 4$加上一个单项式后，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式可以是
$16x$(答案不唯一)
（写出一个即可）。答案
$16x$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式形如$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，包含两个平方项和一个交叉项（两个底数乘积的2倍，符号可正可负）。我们先把已知多项式$16x^2+4$中的两项对应到完全平方公式的平方项：$16x^2=(4x)^2$，$4=2^2$，接下来只需要补充对应的交叉项即可得到完全平方式，也可以考虑其他符合要求的单项式，任选其一填写即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
将$16x^2$看作公式中的$a^2$，即$a=4x$；将$4$看作公式中的$b^2$，即$b=2$。
公式中的交叉项为$\pm2ab$，代入计算得$\pm2×4x×2=\pm16x$。
当我们加上单项式$16x$时，原式变为$16x^2+16x+4=(4x+2)^2$，符合完全平方式的要求。
（注：也可加$-16x$、$16x^4$等，任选其一即可）
【答案】
$16x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时需先梳理完全平方式的三项构成，结合已知项推导缺失的项即可，除了交叉项外也可构造其他形式的完全平方式，答题时只需写出一个符合要求的结果即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式形如$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，包含两个平方项和一个交叉项（两个底数乘积的2倍，符号可正可负）。我们先把已知多项式$16x^2+4$中的两项对应到完全平方公式的平方项：$16x^2=(4x)^2$，$4=2^2$，接下来只需要补充对应的交叉项即可得到完全平方式，也可以考虑其他符合要求的单项式，任选其一填写即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
将$16x^2$看作公式中的$a^2$，即$a=4x$；将$4$看作公式中的$b^2$，即$b=2$。
公式中的交叉项为$\pm2ab$，代入计算得$\pm2×4x×2=\pm16x$。
当我们加上单项式$16x$时，原式变为$16x^2+16x+4=(4x+2)^2$，符合完全平方式的要求。
（注：也可加$-16x$、$16x^4$等，任选其一即可）
【答案】
$16x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的概念
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对完全平方公式结构的掌握，解题时需先梳理完全平方式的三项构成，结合已知项推导缺失的项即可，除了交叉项外也可构造其他形式的完全平方式，答题时只需写出一个符合要求的结果即可。
【难度系数】
0.7
9.分解因式：$(a+b)^3 -4(a+b)=$
$(a+b)(a+b+2)(a+b-2)$
.答案
$(a+b)(a+b+2)(a+b-2)$
解析
【分析】
首先观察多项式的结构，发现两项都含有公因式$(a+b)$，因此第一步先提取公因式；提取公因式后剩余的部分为$(a+b)^2 - 4$，可变形为$(a+b)^2 - 2^2$，完全符合平方差公式的形式，因此继续用平方差公式分解即可，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：第一步，提取公因式$(a+b)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a+b)[(a+b)^2 - 4]\\\end{aligned}$
第二步，利用平方差公式分解括号内的式子，根据平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，令$x=a+b$，$y=2$：
$\begin{aligned}&=(a+b)[(a+b)+2][(a+b)-2]\\&=(a+b)(a+b+2)(a+b-2)\end{aligned}$
【答案】
$(a+b)(a+b+2)(a+b-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规解题步骤，解题时要遵循“先提公因式，再套用公式”的顺序，注意最终分解结果要保证每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
首先观察多项式的结构，发现两项都含有公因式$(a+b)$，因此第一步先提取公因式；提取公因式后剩余的部分为$(a+b)^2 - 4$，可变形为$(a+b)^2 - 2^2$，完全符合平方差公式的形式，因此继续用平方差公式分解即可，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：第一步，提取公因式$(a+b)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a+b)[(a+b)^2 - 4]\\\end{aligned}$
第二步，利用平方差公式分解括号内的式子，根据平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，令$x=a+b$，$y=2$：
$\begin{aligned}&=(a+b)[(a+b)+2][(a+b)-2]\\&=(a+b)(a+b+2)(a+b-2)\end{aligned}$
【答案】
$(a+b)(a+b+2)(a+b-2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规解题步骤，解题时要遵循“先提公因式，再套用公式”的顺序，注意最终分解结果要保证每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
10.分解因式:$(x^2 - 2)^2 -14(x^2 -2)+49=$
$(x+3)^2(x-3)^2$
.答案
$(x+3)^2(x-3)^2$
解析
【分析】
观察原式结构，是三项式，符合完全平方公式的形式，我们可以先把$x^2-2$看作一个整体，先用完全平方差公式进行第一次因式分解，得到的结果中还含有平方差结构，再用平方差公式继续分解，直到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：第一步，将$x^2-2$看作整体$a$，$7$看作$b$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 - 2 - 7)^2\\&=(x^2 - 9)^2\end{aligned}$
第二步，$x^2-9$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，其中$m=x$，$n=3$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x+3)(x-3)]^2\\&=(x+3)^2(x-3)^2\end{aligned}$
【答案】
$(x+3)^2(x-3)^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查公式法分解因式，解题的核心是学会观察式子结构，合理运用整体思想代入公式，同时注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现遗漏乘方的错误。
【难度系数】
0.7
观察原式结构，是三项式，符合完全平方公式的形式，我们可以先把$x^2-2$看作一个整体，先用完全平方差公式进行第一次因式分解，得到的结果中还含有平方差结构，再用平方差公式继续分解，直到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：第一步，将$x^2-2$看作整体$a$，$7$看作$b$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 - 2 - 7)^2\\&=(x^2 - 9)^2\end{aligned}$
第二步，$x^2-9$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，其中$m=x$，$n=3$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x+3)(x-3)]^2\\&=(x+3)^2(x-3)^2\end{aligned}$
【答案】
$(x+3)^2(x-3)^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查公式法分解因式，解题的核心是学会观察式子结构，合理运用整体思想代入公式，同时注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现遗漏乘方的错误。
【难度系数】
0.7
11.分解因式：
(1)$16x^3y - 25xy^3$；
(2)$x^2 - 4 - (x + 2)$；
(3)$(m^2 + 1)^2 - 4m^2$；
(4)$(a^2 + 1)^2 - 4a(a^2 + 1) + 4a^2$。
(1)$16x^3y - 25xy^3$；
(2)$x^2 - 4 - (x + 2)$；
(3)$(m^2 + 1)^2 - 4m^2$；
(4)$(a^2 + 1)^2 - 4a(a^2 + 1) + 4a^2$。
答案
解:(1)原式$=xy(16x^2 -25y^2)$
$=xy(4x+5y)(4x-5y).$
(2)原式$=(x+2)(x-2)-(x+2)$
$=(x+2)(x-3).$
(3)原式$=(m^2+1+2m)(m^2+1-2m)$
$=(m+1)^2(m-1)^2.$
(4)原式$=(a^2+1-2a)^2=(a-1)^4.$
$=xy(4x+5y)(4x-5y).$
(2)原式$=(x+2)(x-2)-(x+2)$
$=(x+2)(x-3).$
(3)原式$=(m^2+1+2m)(m^2+1-2m)$
$=(m+1)^2(m-1)^2.$
(4)原式$=(a^2+1-2a)^2=(a-1)^4.$
解析
【分析】
因式分解的通用解题思路为“一提二套三查”：第一步先提取公因式，第二步观察剩余因式特点，若符合平方差或完全平方公式特征则套用公式分解，第三步检查最终结果是否分解到不能再分解为止。
(1) 先观察两项的公因式为$xy$，提取后剩余的$16x^2-25y^2$符合平方差公式特征，套用平方差公式继续分解即可；
(2) 先将$x^2-4$用平方差公式分解，可发现分解后和后一项有公因式$(x+2)$，提取公因式后合并剩余项即可；
(3) 将$(m^2+1)$和$2m$分别看作整体，原式符合平方差公式特征，先用平方差分解，得到的两个因式又分别符合完全平方公式特征，继续分解即可；
(4) 将$(a^2+1)$看作整体，原式符合完全平方公式特征，先用完全平方公式分解，得到的因式又符合完全平方公式特征，继续分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$xy$，再套用平方差公式：
原式$=xy(16x^2 -25y^2)$
$=xy(4x+5y)(4x-5y)$
(2) 先分解$x^2-4$，再提取公因式$(x+2)$：
原式$=(x+2)(x-2)-(x+2)$
$=(x+2)[(x-2)-1]$
$=(x+2)(x-3)$
(3) 先套用平方差公式，再套用完全平方公式：
原式$=(m^2+1+2m)(m^2+1-2m)$
$=(m+1)^2(m-1)^2$
(4) 先将$a^2+1$看作整体套用完全平方公式，再对内部因式套用完全平方公式：
原式$=(a^2+1-2a)^2$
$=[(a-1)^2]^2$
$=(a-1)^4$
【答案】
(1)$xy(4x+5y)(4x-5y)$；(2)$(x+2)(x-3)$；(3)$(m+1)^2(m-1)^2$；(4)$(a-1)^4$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
这组题目是因式分解的常规基础题型，重点考察因式分解的基本步骤和公式的灵活运用，解题时注意运用整体思想，将部分多项式看作整体套用公式可简化运算，最后要注意检查因式是否分解彻底。
【难度系数】
0.85
因式分解的通用解题思路为“一提二套三查”：第一步先提取公因式，第二步观察剩余因式特点，若符合平方差或完全平方公式特征则套用公式分解，第三步检查最终结果是否分解到不能再分解为止。
(1) 先观察两项的公因式为$xy$，提取后剩余的$16x^2-25y^2$符合平方差公式特征，套用平方差公式继续分解即可；
(2) 先将$x^2-4$用平方差公式分解，可发现分解后和后一项有公因式$(x+2)$，提取公因式后合并剩余项即可；
(3) 将$(m^2+1)$和$2m$分别看作整体，原式符合平方差公式特征，先用平方差分解，得到的两个因式又分别符合完全平方公式特征，继续分解即可；
(4) 将$(a^2+1)$看作整体，原式符合完全平方公式特征，先用完全平方公式分解，得到的因式又符合完全平方公式特征，继续分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$xy$，再套用平方差公式：
原式$=xy(16x^2 -25y^2)$
$=xy(4x+5y)(4x-5y)$
(2) 先分解$x^2-4$，再提取公因式$(x+2)$：
原式$=(x+2)(x-2)-(x+2)$
$=(x+2)[(x-2)-1]$
$=(x+2)(x-3)$
(3) 先套用平方差公式，再套用完全平方公式：
原式$=(m^2+1+2m)(m^2+1-2m)$
$=(m+1)^2(m-1)^2$
(4) 先将$a^2+1$看作整体套用完全平方公式，再对内部因式套用完全平方公式：
原式$=(a^2+1-2a)^2$
$=[(a-1)^2]^2$
$=(a-1)^4$
【答案】
(1)$xy(4x+5y)(4x-5y)$；(2)$(x+2)(x-3)$；(3)$(m+1)^2(m-1)^2$；(4)$(a-1)^4$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
这组题目是因式分解的常规基础题型，重点考察因式分解的基本步骤和公式的灵活运用，解题时注意运用整体思想，将部分多项式看作整体套用公式可简化运算，最后要注意检查因式是否分解彻底。
【难度系数】
0.85
