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12.分解因式:
(1)$y(x-y)^2 + 8y^2(x-y) + 16y^3$；
(2)$(a^2 + 3a)^2 - (a - 1)^2$.
(1)$y(x-y)^2 + 8y^2(x-y) + 16y^3$；
(2)$(a^2 + 3a)^2 - (a - 1)^2$.
答案
解:(1)原式$=y(x-y+4y)^2$
$=y(x+3y)^2.$
(2)原式$=(a^2+3a+a-1)(a^2+3a-a+1)$
$=(a^2+3a+a-1)(a^2+2a+1)$
$=(a^2+4a-1)(a+1)^2.$
$=y(x+3y)^2.$
(2)原式$=(a^2+3a+a-1)(a^2+3a-a+1)$
$=(a^2+3a+a-1)(a^2+2a+1)$
$=(a^2+4a-1)(a+1)^2.$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：
(1) 先观察多项式各项，发现均含有公因式y，先提取公因式；提取后剩余部分为关于(x-y)的二次三项式，符合完全平方公式“a²+2ab+b²=(a+b)²”的结构，将(x-y)看作整体a、4y看作整体b套用公式，最后合并同类项即可。
(2) 原式是两个整式的平方作差，符合平方差公式“a²-b²=(a+b)(a-b)”的结构，将(a²+3a)看作整体a、(a-1)看作整体b套用公式；再对得到的两个因式分别化简，其中化简后的第二个因式仍符合完全平方公式结构，继续分解，最终检查确保每个因式不能再分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式y，再套用完全平方公式：
原式$=y[(x-y)^2 + 8y(x-y) + 16y^2]$
$=y[(x-y)^2 + 2·(x-y)·4y + (4y)^2]$
$=y(x-y+4y)^2$
$=y(x+3y)^2$
(2) 先套用平方差公式，再化简后继续套用完全平方公式：
原式$=[(a^2+3a)+(a-1)][(a^2+3a)-(a-1)]$
$=(a^2+3a+a-1)(a^2+3a-a+1)$
$=(a^2+4a-1)(a^2+2a+1)$
$=(a^2+4a-1)(a+1)^2$
【答案】
(1)$y(x+3y)^2$；(2)$(a^2+4a-1)(a+1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
这是因式分解的常规题型，解题时要遵循先提公因式、再套用公式、最后检查是否分解彻底的顺序，注意整体思想在公式套用中的运用，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：
(1) 先观察多项式各项，发现均含有公因式y，先提取公因式；提取后剩余部分为关于(x-y)的二次三项式，符合完全平方公式“a²+2ab+b²=(a+b)²”的结构，将(x-y)看作整体a、4y看作整体b套用公式，最后合并同类项即可。
(2) 原式是两个整式的平方作差，符合平方差公式“a²-b²=(a+b)(a-b)”的结构，将(a²+3a)看作整体a、(a-1)看作整体b套用公式；再对得到的两个因式分别化简，其中化简后的第二个因式仍符合完全平方公式结构，继续分解，最终检查确保每个因式不能再分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式y，再套用完全平方公式：
原式$=y[(x-y)^2 + 8y(x-y) + 16y^2]$
$=y[(x-y)^2 + 2·(x-y)·4y + (4y)^2]$
$=y(x-y+4y)^2$
$=y(x+3y)^2$
(2) 先套用平方差公式，再化简后继续套用完全平方公式：
原式$=[(a^2+3a)+(a-1)][(a^2+3a)-(a-1)]$
$=(a^2+3a+a-1)(a^2+3a-a+1)$
$=(a^2+4a-1)(a^2+2a+1)$
$=(a^2+4a-1)(a+1)^2$
【答案】
(1)$y(x+3y)^2$；(2)$(a^2+4a-1)(a+1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，平方差公式
【点评】
这是因式分解的常规题型，解题时要遵循先提公因式、再套用公式、最后检查是否分解彻底的顺序，注意整体思想在公式套用中的运用，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
1.把多项式$a^2 - b^2 - 2b -1$分解因式，结果是(
A.$(a+b)(a-b)-2b-1$
B.$(a+1)(a-1)(b+2)$
C.$(a+b+1)(a-b-1)$
D.$(a+b+1)(a-b+1)$
C
).A.$(a+b)(a-b)-2b-1$
B.$(a+1)(a-1)(b+2)$
C.$(a+b+1)(a-b-1)$
D.$(a+b+1)(a-b+1)$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查因式分解，解题时先观察多项式特征：共4项，无公因式可提，因此考虑分组分解法。我们发现后三项$-b^2 - 2b -1$提取负号后刚好符合完全平方公式的形式，因此先将后三项分为一组，转化为完全平方式，此时原式就变为两个数的平方差的形式，再利用平方差公式继续分解即可得到结果，最后对照选项选出正确答案。
【解析】
对多项式$a^2 - b^2 - 2b -1$分解因式，步骤如下：
1. 分组凑完全平方：
$a^2 - b^2 - 2b -1 = a^2 - (b^2 + 2b +1)$
（注意：括号前是负号，括号内各项要变号）
2. 对括号内用完全平方公式：
因为$b^2 + 2b +1 = (b+1)^2$，所以原式变为：
$a^2 - (b+1)^2$
3. 用平方差公式分解：
根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，令$m=a$，$n=b+1$，代入得：
$a^2 - (b+1)^2 = [a + (b+1)][a - (b+1)]$
4. 去括号化简：
$[a + b +1][a - b -1] = (a+b+1)(a-b-1)$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分组分解因式；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题的核心是合理对多项式分组，解题时要注意观察多项式各项的特征，优先将能凑成乘法公式的部分分为一组，同时要特别注意添、去括号时的符号变化，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.6
这道题考查因式分解，解题时先观察多项式特征：共4项，无公因式可提，因此考虑分组分解法。我们发现后三项$-b^2 - 2b -1$提取负号后刚好符合完全平方公式的形式，因此先将后三项分为一组，转化为完全平方式，此时原式就变为两个数的平方差的形式，再利用平方差公式继续分解即可得到结果，最后对照选项选出正确答案。
【解析】
对多项式$a^2 - b^2 - 2b -1$分解因式，步骤如下：
1. 分组凑完全平方：
$a^2 - b^2 - 2b -1 = a^2 - (b^2 + 2b +1)$
（注意：括号前是负号，括号内各项要变号）
2. 对括号内用完全平方公式：
因为$b^2 + 2b +1 = (b+1)^2$，所以原式变为：
$a^2 - (b+1)^2$
3. 用平方差公式分解：
根据平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，令$m=a$，$n=b+1$，代入得：
$a^2 - (b+1)^2 = [a + (b+1)][a - (b+1)]$
4. 去括号化简：
$[a + b +1][a - b -1] = (a+b+1)(a-b-1)$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分组分解因式；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题的核心是合理对多项式分组，解题时要注意观察多项式各项的特征，优先将能凑成乘法公式的部分分为一组，同时要特别注意添、去括号时的符号变化，避免因符号错误选错答案。
【难度系数】
0.6
2.分解因式:$(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2 = (\quad)$
A.$(x + 2y)^2(x - 2y)^2$
B.$(x + 2y)^4$
C.$(x - 2y)^4$
D.$(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
A.$(x + 2y)^2(x - 2y)^2$
B.$(x + 2y)^4$
C.$(x - 2y)^4$
D.$(x + 4y)^2(x - 4y)^2$
答案
2.A
解析
【分析】
观察待分解的式子，整体符合平方差公式的结构“$a^2-b^2$”，其中$a$对应$x^2+4y^2$，$b$对应$4xy$（因为$16x^2y^2=(4xy)^2$），所以第一步先利用平方差公式分解，分解后得到的两个多项式又分别符合完全平方公式的结构，再用完全平方公式进行二次分解即可，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【解析】
解：先将原式变形为平方差的形式：
$\begin{split}&(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2\\=&(x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2\end{split}$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x^2+4y^2$、$b=4xy$得：
$=(x^2 + 4y^2 + 4xy)(x^2 + 4y^2 - 4xy)$
再根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对两个括号内的式子分解：
$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$，$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$
因此原式最终分解结果为：
$=(x+2y)^2(x-2y)^2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查公式法分解因式，解题的关键是先识别式子的结构特征，选择对应的公式分步分解，同时要注意因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
观察待分解的式子，整体符合平方差公式的结构“$a^2-b^2$”，其中$a$对应$x^2+4y^2$，$b$对应$4xy$（因为$16x^2y^2=(4xy)^2$），所以第一步先利用平方差公式分解，分解后得到的两个多项式又分别符合完全平方公式的结构，再用完全平方公式进行二次分解即可，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【解析】
解：先将原式变形为平方差的形式：
$\begin{split}&(x^2 + 4y^2)^2 - 16x^2y^2\\=&(x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2\end{split}$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x^2+4y^2$、$b=4xy$得：
$=(x^2 + 4y^2 + 4xy)(x^2 + 4y^2 - 4xy)$
再根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对两个括号内的式子分解：
$x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$，$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$
因此原式最终分解结果为：
$=(x+2y)^2(x-2y)^2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查公式法分解因式，解题的关键是先识别式子的结构特征，选择对应的公式分步分解，同时要注意因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
3.若实数$a,b,c$满足$a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c$，则$a + b + c$的值为
12
。答案
3.12
解析
【分析】
观察等式结构可知，式中同时包含a、b、c的二次项、一次项和常数项，符合完全平方公式的变形特征。解题时先将右侧的一次项全部移到等式左侧，再通过配方法将式子整理为三个完全平方相加等于0的形式，结合平方的非负性可分别求出a、b、c的取值，最后计算三者之和即可。
【解析】
第一步，对原式移项，将含a、b、c的一次项移到左侧：
$a^2 - 6a + b^2 - 8b + c^2 - 10c + 50 = 0$
第二步，拆分常数项50为9、16、25，分别与对应二次项、一次项配成完全平方：
$(a^2 - 6a + 9) + (b^2 - 8b + 16) + (c^2 - 10c + 25) = 0$
第三步，根据完全平方公式化简：
$(a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
第四步，利用平方的非负性计算各字母的值：
由于实数的平方为非负数，即$(a-3)^2≥0$、$(b-4)^2≥0$、$(c-5)^2≥0$，三个非负数之和为0，则每个非负数均为0，可得：
$a-3=0$，解得$a=3$；
$b-4=0$，解得$b=4$；
$c-5=0$，解得$c=5$。
第五步，计算$a+b+c$的值：
$a+b+c=3+4+5=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式，非负数性质，配方法
【点评】
本题是因式分解与非负数性质结合的经典题型，核心考察配方法的应用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，能够将含多个字母的式子拆分配成完全平方形式，再结合非负数的性质求解，是代数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
观察等式结构可知，式中同时包含a、b、c的二次项、一次项和常数项，符合完全平方公式的变形特征。解题时先将右侧的一次项全部移到等式左侧，再通过配方法将式子整理为三个完全平方相加等于0的形式，结合平方的非负性可分别求出a、b、c的取值，最后计算三者之和即可。
【解析】
第一步，对原式移项，将含a、b、c的一次项移到左侧：
$a^2 - 6a + b^2 - 8b + c^2 - 10c + 50 = 0$
第二步，拆分常数项50为9、16、25，分别与对应二次项、一次项配成完全平方：
$(a^2 - 6a + 9) + (b^2 - 8b + 16) + (c^2 - 10c + 25) = 0$
第三步，根据完全平方公式化简：
$(a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
第四步，利用平方的非负性计算各字母的值：
由于实数的平方为非负数，即$(a-3)^2≥0$、$(b-4)^2≥0$、$(c-5)^2≥0$，三个非负数之和为0，则每个非负数均为0，可得：
$a-3=0$，解得$a=3$；
$b-4=0$，解得$b=4$；
$c-5=0$，解得$c=5$。
第五步，计算$a+b+c$的值：
$a+b+c=3+4+5=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式，非负数性质，配方法
【点评】
本题是因式分解与非负数性质结合的经典题型，核心考察配方法的应用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，能够将含多个字母的式子拆分配成完全平方形式，再结合非负数的性质求解，是代数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
4.已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边，满足$a^4 - b^2c^2 = b^4 - a^2c^2$，则$△ ABC$的形状是
等腰三角形
.(填“不等边三角形”“等腰三角形”或“等边三角形”)答案
4.等腰三角形
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需从给出的三边等量关系入手，先将等式移项整理为左边是多项式、右边为0的形式，再对左边多项式因式分解，结合三角形边长均为正数的性质推导边的关系，即可确定三角形形状。具体思考路径：第一步移项，把所有项移到等号左侧；第二步分组分解，先分组提取公因式，再用平方差公式继续分解，最终得到两个因式乘积为0的形式；第三步结合三角形边长为正的性质，排除不可能为0的因式，得到两边相等的结论。
【解析】
对已知等式移项，得：
$a^4 - b^2c^2 - b^4 + a^2c^2 = 0$
分组得：
$(a^4 - b^4) + (a^2c^2 - b^2c^2) = 0$
对两组分别因式分解，第一组用平方差公式，第二组提取公因式$c^2$：
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) + c^2(a^2 - b^2) = 0$
再次提取公因式$(a^2 - b^2)$得：
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2 + c^2) = 0$
∵a、b、c是△ABC的三边，均为正数，
∴$a^2 + b^2 + c^2 ＞ 0$
∴只能$a^2 - b^2 = 0$，即$(a - b)(a + b) = 0$
又
∵$a + b ＞ 0$，
∴$a - b = 0$，即$a = b$
故△ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
因式分解，平方差公式，三角形边长性质
【点评】
本题考查因式分解在判断三角形形状中的应用，解题的关键是灵活运用提取公因式法和公式法对多项式进行分解，同时要注意结合三角形边长的非负性排除不符合实际的情况，避免出现错误判断。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的形状，需从给出的三边等量关系入手，先将等式移项整理为左边是多项式、右边为0的形式，再对左边多项式因式分解，结合三角形边长均为正数的性质推导边的关系，即可确定三角形形状。具体思考路径：第一步移项，把所有项移到等号左侧；第二步分组分解，先分组提取公因式，再用平方差公式继续分解，最终得到两个因式乘积为0的形式；第三步结合三角形边长为正的性质，排除不可能为0的因式，得到两边相等的结论。
【解析】
对已知等式移项，得：
$a^4 - b^2c^2 - b^4 + a^2c^2 = 0$
分组得：
$(a^4 - b^4) + (a^2c^2 - b^2c^2) = 0$
对两组分别因式分解，第一组用平方差公式，第二组提取公因式$c^2$：
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) + c^2(a^2 - b^2) = 0$
再次提取公因式$(a^2 - b^2)$得：
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2 + c^2) = 0$
∵a、b、c是△ABC的三边，均为正数，
∴$a^2 + b^2 + c^2 ＞ 0$
∴只能$a^2 - b^2 = 0$，即$(a - b)(a + b) = 0$
又
∵$a + b ＞ 0$，
∴$a - b = 0$，即$a = b$
故△ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
因式分解，平方差公式，三角形边长性质
【点评】
本题考查因式分解在判断三角形形状中的应用，解题的关键是灵活运用提取公因式法和公式法对多项式进行分解，同时要注意结合三角形边长的非负性排除不符合实际的情况，避免出现错误判断。
【难度系数】
0.7
5.分解因式：
(1)$(a+b)^2 +4(a-b)^2 -4(a^2 -b^2)$；
(2)$(x^2 +4)^2 +8x(x^2 +4)+16x^2$。
(1)$(a+b)^2 +4(a-b)^2 -4(a^2 -b^2)$；
(2)$(x^2 +4)^2 +8x(x^2 +4)+16x^2$。
答案
解:(1)原式$=[(a+b)-2(a-b)]^2=(3b-a)^2.$
(2)原式$=(x^2+4+4x)^2=(x+2)^4.$
(2)原式$=(x^2+4+4x)^2=(x+2)^4.$
解析
【分析】
(1) 先观察式子结构，先利用平方差公式将$a^2-b^2$转化为$(a+b)(a-b)$，变形后可发现原式符合完全平方差公式的结构，将$(a+b)$、$2(a-b)$分别看作整体套用公式，再化简括号内的整式即可。
(2) 观察式子可发现符合完全平方和公式的结构，将$(x^2+4)$、$4x$分别看作整体先套用完全平方和公式，再检查分解结果，发现括号内的二次三项式仍可继续用完全平方公式分解，直到无法再分解为止。
【解析】
(1) 利用平方差公式变形第三项，整理为完全平方差结构：
$\begin{aligned}原式&=(a+b)^2 + 4(a-b)^2 - 4(a+b)(a-b)\\&=(a+b)^2 - 2·(a+b)·2(a-b) + [2(a-b)]^2\end{aligned}$
套用完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$（其中$m=a+b$，$n=2(a-b)$）：
$\begin{aligned}原式&=[(a+b)-2(a-b)]^2\\&=(a+b-2a+2b)^2\\&=(3b-a)^2\end{aligned}$
(2) 整理为完全平方和结构：
$原式=(x^2+4)^2 + 2·(x^2+4)·4x + (4x)^2$
套用完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$（其中$m=x^2+4$，$n=4x$）：
$\begin{aligned}原式&=(x^2+4+4x)^2\\&=[(x+2)^2]^2\\&=(x+2)^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $(3b-a)^2$；
(2) $(x+2)^4$
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式，整式化简
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，学会用整体思想代入公式计算，同时要注意因式分解需要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察式子结构，先利用平方差公式将$a^2-b^2$转化为$(a+b)(a-b)$，变形后可发现原式符合完全平方差公式的结构，将$(a+b)$、$2(a-b)$分别看作整体套用公式，再化简括号内的整式即可。
(2) 观察式子可发现符合完全平方和公式的结构，将$(x^2+4)$、$4x$分别看作整体先套用完全平方和公式，再检查分解结果，发现括号内的二次三项式仍可继续用完全平方公式分解，直到无法再分解为止。
【解析】
(1) 利用平方差公式变形第三项，整理为完全平方差结构：
$\begin{aligned}原式&=(a+b)^2 + 4(a-b)^2 - 4(a+b)(a-b)\\&=(a+b)^2 - 2·(a+b)·2(a-b) + [2(a-b)]^2\end{aligned}$
套用完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$（其中$m=a+b$，$n=2(a-b)$）：
$\begin{aligned}原式&=[(a+b)-2(a-b)]^2\\&=(a+b-2a+2b)^2\\&=(3b-a)^2\end{aligned}$
(2) 整理为完全平方和结构：
$原式=(x^2+4)^2 + 2·(x^2+4)·4x + (4x)^2$
套用完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$（其中$m=x^2+4$，$n=4x$）：
$\begin{aligned}原式&=(x^2+4+4x)^2\\&=[(x+2)^2]^2\\&=(x+2)^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $(3b-a)^2$；
(2) $(x+2)^4$
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式，整式化简
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，学会用整体思想代入公式计算，同时要注意因式分解需要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
