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12.分解因式：
(1)$2a^4 -16a^2 +32$；
(2)$(x^2 -1)^2 -6(x^2 -1)+9$。
(1)$2a^4 -16a^2 +32$；
(2)$(x^2 -1)^2 -6(x^2 -1)+9$。
答案
12.解:(1)原式$=2(a^4-8a^2+16)$
$=2(a^2-4)^2$
$=2(a+2)^2(a-2)^2$.
(2)原式$=(x^2-1-3)^2=(x^2-4)^2$
$=(x+2)^2(x-2)^2$.
$=2(a^2-4)^2$
$=2(a+2)^2(a-2)^2$.
(2)原式$=(x^2-1-3)^2=(x^2-4)^2$
$=(x+2)^2(x-2)^2$.
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤思考：
(1) 先观察多项式有公因式2，优先提取公因式，提取后剩余的多项式符合完全平方公式的结构，套用完全平方公式分解后，检查发现得到的因式还可利用平方差公式继续分解，需分解到每个因式不能再分解为止；
(2) 将$(x^2-1)$看作一个整体，原式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，先套用完全平方公式分解，再对得到的因式套用平方差公式分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) 第一步提取公因式2：
原式$=2(a^4-8a^2+16)$
第二步对括号内的多项式套用完全平方公式：
$=2(a^2-4)^2$
第三步对$a^2-4$套用平方差公式继续分解：
$=2[(a+2)(a-2)]^2=2(a+2)^2(a-2)^2$
(2) 第一步把$x^2-1$看作整体，套用完全平方公式：
原式$=(x^2-1-3)^2=(x^2-4)^2$
第二步对$x^2-4$套用平方差公式继续分解：
$=[(x+2)(x-2)]^2=(x+2)^2(x-2)^2$
【答案】
(1) $2(a+2)^2(a-2)^2$；(2) $(x+2)^2(x-2)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要按照先提公因式、再套用公式的顺序操作，注意最终结果必须分解到不能再分解为止；第二题运用整体思想可简化运算，避免直接展开多项式带来的计算失误。
【难度系数】
0.7
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤思考：
(1) 先观察多项式有公因式2，优先提取公因式，提取后剩余的多项式符合完全平方公式的结构，套用完全平方公式分解后，检查发现得到的因式还可利用平方差公式继续分解，需分解到每个因式不能再分解为止；
(2) 将$(x^2-1)$看作一个整体，原式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，先套用完全平方公式分解，再对得到的因式套用平方差公式分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) 第一步提取公因式2：
原式$=2(a^4-8a^2+16)$
第二步对括号内的多项式套用完全平方公式：
$=2(a^2-4)^2$
第三步对$a^2-4$套用平方差公式继续分解：
$=2[(a+2)(a-2)]^2=2(a+2)^2(a-2)^2$
(2) 第一步把$x^2-1$看作整体，套用完全平方公式：
原式$=(x^2-1-3)^2=(x^2-4)^2$
第二步对$x^2-4$套用平方差公式继续分解：
$=[(x+2)(x-2)]^2=(x+2)^2(x-2)^2$
【答案】
(1) $2(a+2)^2(a-2)^2$；(2) $(x+2)^2(x-2)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要按照先提公因式、再套用公式的顺序操作，注意最终结果必须分解到不能再分解为止；第二题运用整体思想可简化运算，避免直接展开多项式带来的计算失误。
【难度系数】
0.7
1.把多项式$(x^2 - 2x)^2 + 2x^2 - 4x + 1$分解因式，结果正确的是（
A.$(x-1)^3$
B.$(x-2)^3$
C.$(x-1)^4$
D.$(x+1)^4$
C
）.A.$(x-1)^3$
B.$(x-2)^3$
C.$(x-1)^4$
D.$(x+1)^4$
答案
1.C
解析
【分析】
观察多项式结构可发现，后两项$2x^2-4x$可提取公因式2变形为$2(x^2-2x)$，此时整个式子可看作关于$(x^2-2x)$的二次三项式，符合完全平方公式的形式。先将$(x^2-2x)$看作整体套用完全平方公式完成第一次分解，再判断分解后的因式是否能继续分解，发现括号内的二次三项式仍符合完全平方公式，再次套用公式即可得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先对原式变形，提取$2x^2-4x$的公因式2：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1\\\intertext{将$x^2-2x$看作整体，套用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（此处$a=x^2-2x,b=1$）：}&=(x^2-2x+1)^2\\\intertext{括号内的$x^2-2x+1$仍符合完全平方公式，再次分解：}&=[(x-1)^2]^2\\\intertext{根据幂的乘方法则计算得：}&=(x-1)^4\end{aligned}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整体思想
【点评】
本题重点考查因式分解中公式法的运用，解题核心是观察式子特征，将重复出现的部分作为整体简化运算，同时要注意因式分解需要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
观察多项式结构可发现，后两项$2x^2-4x$可提取公因式2变形为$2(x^2-2x)$，此时整个式子可看作关于$(x^2-2x)$的二次三项式，符合完全平方公式的形式。先将$(x^2-2x)$看作整体套用完全平方公式完成第一次分解，再判断分解后的因式是否能继续分解，发现括号内的二次三项式仍符合完全平方公式，再次套用公式即可得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先对原式变形，提取$2x^2-4x$的公因式2：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1\\\intertext{将$x^2-2x$看作整体，套用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（此处$a=x^2-2x,b=1$）：}&=(x^2-2x+1)^2\\\intertext{括号内的$x^2-2x+1$仍符合完全平方公式，再次分解：}&=[(x-1)^2]^2\\\intertext{根据幂的乘方法则计算得：}&=(x-1)^4\end{aligned}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整体思想
【点评】
本题重点考查因式分解中公式法的运用，解题核心是观察式子特征，将重复出现的部分作为整体简化运算，同时要注意因式分解需要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
2.把多项式$a^2 + b^2 - c^2 - 4d^2 - 2ab + 4cd$分解因式，结果正确的是(
A.$(a + b)(c + 2d)$
B.$(a + b)(c - 2d)$
C.$(a - b + c - 2d)(a - b - c - 2d)$
D.$(a - b + c - 2d)(a - b - c + 2d)$
D
).A.$(a + b)(c + 2d)$
B.$(a + b)(c - 2d)$
C.$(a - b + c - 2d)(a - b - c - 2d)$
D.$(a - b + c - 2d)(a - b - c + 2d)$
答案
2.D
解析
【分析】
观察多项式的各项特征，先找可以凑成完全平方的项：含a、b的项有a²、b²和-2ab，符合完全平方公式的结构；含c、d的项有-c²、-4d²和+4cd，提取负号后也符合完全平方公式的结构。因此解题思路为：第一步先分组，将能凑完全平方的项分为一组，分别用完全平方公式分解，此时原式转化为两个平方项相减的形式，再用平方差公式继续分解，最后化简即可得到结果，也可通过展开选项反向验证的方法解题。
【解析】
对原式重新分组整理：
$\begin{aligned}&\quad a^2 + b^2 - c^2 - 4d^2 - 2ab + 4cd\\&=(a^2 - 2ab + b^2) + (-c^2 + 4cd - 4d^2)\\&=(a - b)^2 - (c^2 - 4cd + 4d^2)\\&=(a - b)^2 - (c - 2d)^2\end{aligned}$
此时为平方差的形式，利用平方差公式$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$（令$m=a-b$，$n=c-2d$）继续分解：
$\begin{aligned}&\quad (a - b)^2 - (c - 2d)^2\\&=[(a - b) + (c - 2d)][(a - b) - (c - 2d)]\\&=(a - b + c - 2d)(a - b - c + 2d)\end{aligned}$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分组分解法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的常见题型，解题核心是根据多项式的项的特征合理分组，凑出公式的结构，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的形式，也可通过整式乘法反向验证选项，降低解题错误率。
【难度系数】
0.7
观察多项式的各项特征，先找可以凑成完全平方的项：含a、b的项有a²、b²和-2ab，符合完全平方公式的结构；含c、d的项有-c²、-4d²和+4cd，提取负号后也符合完全平方公式的结构。因此解题思路为：第一步先分组，将能凑完全平方的项分为一组，分别用完全平方公式分解，此时原式转化为两个平方项相减的形式，再用平方差公式继续分解，最后化简即可得到结果，也可通过展开选项反向验证的方法解题。
【解析】
对原式重新分组整理：
$\begin{aligned}&\quad a^2 + b^2 - c^2 - 4d^2 - 2ab + 4cd\\&=(a^2 - 2ab + b^2) + (-c^2 + 4cd - 4d^2)\\&=(a - b)^2 - (c^2 - 4cd + 4d^2)\\&=(a - b)^2 - (c - 2d)^2\end{aligned}$
此时为平方差的形式，利用平方差公式$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$（令$m=a-b$，$n=c-2d$）继续分解：
$\begin{aligned}&\quad (a - b)^2 - (c - 2d)^2\\&=[(a - b) + (c - 2d)][(a - b) - (c - 2d)]\\&=(a - b + c - 2d)(a - b - c + 2d)\end{aligned}$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分组分解法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的常见题型，解题核心是根据多项式的项的特征合理分组，凑出公式的结构，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的形式，也可通过整式乘法反向验证选项，降低解题错误率。
【难度系数】
0.7
3.分解因式：$3a(x^2 + 4)^2 - 48ax^2 = \underline{\hspace{10cm}}.$
答案
3.$3a(x+2)^2(x-2)^2$
解析
【分析】
分解该因式时遵循因式分解的常规步骤：首先观察原式，发现各项均含有公因式3a，第一步先提取公因式；提取公因式后剩余的多项式符合平方差公式的结构特征，第二步用平方差公式分解；分解后得到的两个二次多项式又分别符合完全平方公式的特征，第三步继续用完全平方公式分解，直到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：
1. 提取公因式$3a$：
原式$=3a[(x^2 + 4)^2 - 16x^2]$
2. 括号内的式子符合平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$，其中$A=x^2+4$，$B=4x$，代入分解：
$=3a[(x^2 + 4) + 4x][(x^2 + 4) - 4x]$
3. 整理括号内的多项式，发现均为完全平方式，用完全平方公式继续分解：
$=3a(x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4x + 4)$
$=3a(x+2)^2(x-2)^2$
【答案】
$3a(x+2)^2(x-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题时要遵循“一提二套三查”的原则，先提取公因式，再根据多项式特征套用对应的乘法公式，最后检查是否分解彻底，易错点是漏提公因式或者分解不彻底。
【难度系数】
0.7
分解该因式时遵循因式分解的常规步骤：首先观察原式，发现各项均含有公因式3a，第一步先提取公因式；提取公因式后剩余的多项式符合平方差公式的结构特征，第二步用平方差公式分解；分解后得到的两个二次多项式又分别符合完全平方公式的特征，第三步继续用完全平方公式分解，直到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：
1. 提取公因式$3a$：
原式$=3a[(x^2 + 4)^2 - 16x^2]$
2. 括号内的式子符合平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$，其中$A=x^2+4$，$B=4x$，代入分解：
$=3a[(x^2 + 4) + 4x][(x^2 + 4) - 4x]$
3. 整理括号内的多项式，发现均为完全平方式，用完全平方公式继续分解：
$=3a(x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4x + 4)$
$=3a(x+2)^2(x-2)^2$
【答案】
$3a(x+2)^2(x-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题时要遵循“一提二套三查”的原则，先提取公因式，再根据多项式特征套用对应的乘法公式，最后检查是否分解彻底，易错点是漏提公因式或者分解不彻底。
【难度系数】
0.7
4.已知$a^2 + 2b - a(a+1)=3$，则$a^2 -4ab +4b^2 -2a +4b +1$的值为
16
。答案
4.16
解析
【分析】
解题时先处理已知条件：先展开化简已知等式，得到$2b-a$的数值；再观察待求多项式的结构，先对前三项用完全平方公式分解，再对中间两项提取公因式，发现整体还可以用完全平方公式整理为含$a-2b$的形式，最后将$2b-a$的值整体代入计算即可。
【解析】
1. 化简已知等式
对$a^2 + 2b - a(a+1)=3$展开整理：
$\begin{aligned}a^2 + 2b -a^2 -a&=3\\2b -a&=3\end{aligned}$
2. 因式分解待求式
对待求式$a^2 -4ab +4b^2 -2a +4b +1$分组分解：
前三项用完全平方公式：$a^2 -4ab +4b^2=(a-2b)^2$
中间两项提取公因式：$-2a +4b=-2(a-2b)$
因此原式可变形为：
$(a-2b)^2 -2(a-2b) +1$
将$a-2b$看作整体，再次用完全平方公式得：
$(a-2b -1)^2$
3. 代入计算
由$2b-a=3$得$a-2b=-3$，代入得：
$(-3 -1)^2=(-4)^2=16$
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式分解因式，代数式整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题核心是合理对待求式分组，灵活运用完全平方公式分解，结合整体思想代入已知值计算，能有效考查对因式分解公式的掌握和代数式变形能力。
【难度系数】
0.65
解题时先处理已知条件：先展开化简已知等式，得到$2b-a$的数值；再观察待求多项式的结构，先对前三项用完全平方公式分解，再对中间两项提取公因式，发现整体还可以用完全平方公式整理为含$a-2b$的形式，最后将$2b-a$的值整体代入计算即可。
【解析】
1. 化简已知等式
对$a^2 + 2b - a(a+1)=3$展开整理：
$\begin{aligned}a^2 + 2b -a^2 -a&=3\\2b -a&=3\end{aligned}$
2. 因式分解待求式
对待求式$a^2 -4ab +4b^2 -2a +4b +1$分组分解：
前三项用完全平方公式：$a^2 -4ab +4b^2=(a-2b)^2$
中间两项提取公因式：$-2a +4b=-2(a-2b)$
因此原式可变形为：
$(a-2b)^2 -2(a-2b) +1$
将$a-2b$看作整体，再次用完全平方公式得：
$(a-2b -1)^2$
3. 代入计算
由$2b-a=3$得$a-2b=-3$，代入得：
$(-3 -1)^2=(-4)^2=16$
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式分解因式，代数式整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题核心是合理对待求式分组，灵活运用完全平方公式分解，结合整体思想代入已知值计算，能有效考查对因式分解公式的掌握和代数式变形能力。
【难度系数】
0.65
5.已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边，判断式子$4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2$的值的正负.
答案
5.解:$4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2$
$=(2ab+c^2-a^2-b^2)(2ab-c^2+a^2+b^2)$
$=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]$
$=(c+a-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)$.
$\because a,b,c$为$△ ABC$的三边，
由三角形三边关系可得,$c+a-b＞0,c-a+b＞0$,
$a+b+c＞0,a+b-c＞0$,所以原式的值为正.
$=(2ab+c^2-a^2-b^2)(2ab-c^2+a^2+b^2)$
$=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]$
$=(c+a-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)$.
$\because a,b,c$为$△ ABC$的三边，
由三角形三边关系可得,$c+a-b＞0,c-a+b＞0$,
$a+b+c＞0,a+b-c＞0$,所以原式的值为正.
解析
【分析】
首先观察式子结构，可发现其符合平方差公式的形式，因此优先使用平方差公式对原式进行因式分解；分解得到的两个因式可通过逆用完全平方公式变形，再次转化为平方差的形式继续分解，最终将原式拆分为四个含三角形边长的一次式的乘积；最后结合三角形三边关系判断每个因式的正负，即可确定整个式子的正负。
【解析】
解：$4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2$
$=(2ab+c^2-a^2-b^2)(2ab-c^2+a^2+b^2)$
$=[c^2-(a^2-2ab+b^2)][(a^2+2ab+b^2)-c^2]$
$=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]$
$=(c+a-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)$
$\because a,b,c$为$△ ABC$的三边，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，
可得$c+a-b＞0$，$c-a+b＞0$，$a+b+c＞0$，$a+b-c＞0$，
四个正数的乘积仍为正数，因此原式的值为正。
【答案】
式子的值为正
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的综合应用题，解题关键是灵活运用公式法对原式逐步分解因式，再结合三角形边长的性质判断各因式的符号，能够很好地考查学生对公式的掌握程度和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察式子结构，可发现其符合平方差公式的形式，因此优先使用平方差公式对原式进行因式分解；分解得到的两个因式可通过逆用完全平方公式变形，再次转化为平方差的形式继续分解，最终将原式拆分为四个含三角形边长的一次式的乘积；最后结合三角形三边关系判断每个因式的正负，即可确定整个式子的正负。
【解析】
解：$4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2$
$=(2ab+c^2-a^2-b^2)(2ab-c^2+a^2+b^2)$
$=[c^2-(a^2-2ab+b^2)][(a^2+2ab+b^2)-c^2]$
$=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]$
$=(c+a-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)$
$\because a,b,c$为$△ ABC$的三边，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，
可得$c+a-b＞0$，$c-a+b＞0$，$a+b+c＞0$，$a+b-c＞0$，
四个正数的乘积仍为正数，因此原式的值为正。
【答案】
式子的值为正
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的综合应用题，解题关键是灵活运用公式法对原式逐步分解因式，再结合三角形边长的性质判断各因式的符号，能够很好地考查学生对公式的掌握程度和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
