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1.下列式子中,是完全平方式的是(
A.$a^2+ab+b^2$
B.$a^2-2b+b^2$
C.$a^2+2a+4$
D.$1-8b+16b^2$
D
).A.$a^2+ab+b^2$
B.$a^2-2b+b^2$
C.$a^2+2a+4$
D.$1-8b+16b^2$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个式子是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：完全平方式形如$x^2\pm2xy+y^2$，即式子包含两个同号的平方项，以及这两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负），解题时只需将每个选项对照这个特征逐一验证即可。
【解析】
完全平方式的标准形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A选项：两个平方项为$a^2$和$b^2$，对应中间项应为$\pm2ab$，选项中中间项是$ab$，不符合结构，不是完全平方式；
B选项：两个平方项为$a^2$和$b^2$，对应中间项应为$\pm2ab$，选项中中间项是$-2b$，不符合结构，不是完全平方式；
C选项：两个平方项为$a^2$和$2^2=4$，对应中间项应为$\pm 2× a×2=\pm4a$，选项中中间项是$2a$，不符合结构，不是完全平方式；
D选项：整理可得$16b^2=(4b)^2$，$1=1^2$，中间项$-8b=-2×1×4b$，完全符合完全平方式结构，即$1-8b+16b^2=(1-4b)^2$，是完全平方式。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式判断，公式法因式分解
【点评】
本题核心考查对完全平方式结构特征的理解，解题时可结合“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”的口诀快速判断，只要准确掌握完全平方式的结构特点，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：完全平方式形如$x^2\pm2xy+y^2$，即式子包含两个同号的平方项，以及这两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负），解题时只需将每个选项对照这个特征逐一验证即可。
【解析】
完全平方式的标准形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A选项：两个平方项为$a^2$和$b^2$，对应中间项应为$\pm2ab$，选项中中间项是$ab$，不符合结构，不是完全平方式；
B选项：两个平方项为$a^2$和$b^2$，对应中间项应为$\pm2ab$，选项中中间项是$-2b$，不符合结构，不是完全平方式；
C选项：两个平方项为$a^2$和$2^2=4$，对应中间项应为$\pm 2× a×2=\pm4a$，选项中中间项是$2a$，不符合结构，不是完全平方式；
D选项：整理可得$16b^2=(4b)^2$，$1=1^2$，中间项$-8b=-2×1×4b$，完全符合完全平方式结构，即$1-8b+16b^2=(1-4b)^2$，是完全平方式。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式判断，公式法因式分解
【点评】
本题核心考查对完全平方式结构特征的理解，解题时可结合“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”的口诀快速判断，只要准确掌握完全平方式的结构特点，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
2.把多项式$a^3 + 2a^2 + a$分解因式，结果是(
A.$a^2(a+2)+a$
B.$a^3 + a(2a+1)$
C.$(a^2 +1)(a+2)$
D.$a(a+1)^2$
D
).A.$a^2(a+2)+a$
B.$a^3 + a(2a+1)$
C.$(a^2 +1)(a+2)$
D.$a(a+1)^2$
答案
2.D
解析
【分析】
要对多项式进行因式分解，首先明确因式分解的核心要求：结果必须是几个整式乘积的形式，且要分解到不能再分解为止。解题思路分两步走：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题每一项都含有公因式$a$，优先提取公因式；第二步再看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式的特征，判断是否可以继续分解，也可以结合选项用排除法快速选出正确答案。
【解析】
解法一：直接分解法
第一步：提取公因式$a$，可得：
$a^3 + 2a^2 + a = a(a^2 + 2a + 1)$
第二步：观察括号内的多项式$a^2+2a+1$，符合完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$（此处$m=a$，$n=1$），因此继续分解：
$a(a^2 + 2a + 1) = a(a+1)^2$
解法二：排除法
因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，A、B选项的结果仍为和的形式，不符合因式分解的要求，直接排除；
将C选项展开：$(a^2+1)(a+2)=a^3+2a^2+a+2$，与原式$a^3+2a^2+a$不相等，排除；
D选项符合因式分解的所有要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规方法，牢记因式分解的“一提二套三查”原则：先提取公因式，再套用合适的乘法公式，最后检查是否分解彻底，是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要对多项式进行因式分解，首先明确因式分解的核心要求：结果必须是几个整式乘积的形式，且要分解到不能再分解为止。解题思路分两步走：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题每一项都含有公因式$a$，优先提取公因式；第二步再看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式的特征，判断是否可以继续分解，也可以结合选项用排除法快速选出正确答案。
【解析】
解法一：直接分解法
第一步：提取公因式$a$，可得：
$a^3 + 2a^2 + a = a(a^2 + 2a + 1)$
第二步：观察括号内的多项式$a^2+2a+1$，符合完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$（此处$m=a$，$n=1$），因此继续分解：
$a(a^2 + 2a + 1) = a(a+1)^2$
解法二：排除法
因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，A、B选项的结果仍为和的形式，不符合因式分解的要求，直接排除；
将C选项展开：$(a^2+1)(a+2)=a^3+2a^2+a+2$，与原式$a^3+2a^2+a$不相等，排除；
D选项符合因式分解的所有要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规方法，牢记因式分解的“一提二套三查”原则：先提取公因式，再套用合适的乘法公式，最后检查是否分解彻底，是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
3.(2024,广西,10)如果$a+b=3$,$ab=1$,那么$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值为(
A.2
B.4
C.8
D.9
D
).A.2
B.4
C.8
D.9
答案
3.D
解析
【分析】
题目已知$a+b$与$ab$的值，要求多项式的值，无需单独求解$a$、$b$的具体数值。解题思路为：先观察所求多项式的结构，发现每一项都含有公因式$ab$，先提取公因式，再对剩余的多项式利用完全平方公式进行因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
解：对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&= ab(a^2 + 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）} \\&= ab(a + b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式：}a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式，得：
原式$=1×3^2 = 1×9 = 9$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将所求代数式变形为含有已知条件的结构，避免求解单个未知数，简化计算过程，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
题目已知$a+b$与$ab$的值，要求多项式的值，无需单独求解$a$、$b$的具体数值。解题思路为：先观察所求多项式的结构，发现每一项都含有公因式$ab$，先提取公因式，再对剩余的多项式利用完全平方公式进行因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
解：对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&= ab(a^2 + 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）} \\&= ab(a + b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式：}a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式，得：
原式$=1×3^2 = 1×9 = 9$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将所求代数式变形为含有已知条件的结构，避免求解单个未知数，简化计算过程，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.若$x^2+(m-2)x+49$是完全平方式，则$m$的值为(
A.16
B.$-14$或16
C.$-12$或16
D.$-16$或18
C
).A.16
B.$-14$或16
C.$-12$或16
D.$-16$或18
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$a^2+2ab+b^2$（和的平方）和$a^2-2ab+b^2$（差的平方），即中间项系数是首尾两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。本题中先确定首尾两项对应的底数，再对应中间项系数列方程求解即可，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
已知$x^2+(m-2)x+49$是完全平方式：
1. 先确定首尾平方项的底数：首项$x^2=(x)^2$，尾项$49=7^2$，对应完全平方式中的$a=x$，$b=7$；
2. 根据完全平方式的中间项特征，可得中间项系数满足$m-2=\pm 2×7=\pm14$；
3. 分别解方程：
当$m-2=14$时，解得$m=14+2=16$；
当$m-2=-14$时，解得$m=-14+2=-12$；
因此$m$的值为$-12$或$16$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题是完全平方式相关的基础常考题，核心考查完全平方式的结构特征，解题的易错点是容易忽略差的平方对应的负系数情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，分别是$a^2+2ab+b^2$（和的平方）和$a^2-2ab+b^2$（差的平方），即中间项系数是首尾两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。本题中先确定首尾两项对应的底数，再对应中间项系数列方程求解即可，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
已知$x^2+(m-2)x+49$是完全平方式：
1. 先确定首尾平方项的底数：首项$x^2=(x)^2$，尾项$49=7^2$，对应完全平方式中的$a=x$，$b=7$；
2. 根据完全平方式的中间项特征，可得中间项系数满足$m-2=\pm 2×7=\pm14$；
3. 分别解方程：
当$m-2=14$时，解得$m=14+2=16$；
当$m-2=-14$时，解得$m=-14+2=-12$；
因此$m$的值为$-12$或$16$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式；解一元一次方程
【点评】
本题是完全平方式相关的基础常考题，核心考查完全平方式的结构特征，解题的易错点是容易忽略差的平方对应的负系数情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
5.多项式$(a+b)(a+b-10)+25$分解因式的结果是(
A.$(a+b+5)(a+b-5)$
B.$(a+b-5)^2$
C.$(a+b-2)(a+b-5)$
D.$(a+b+5)^2$
B
).A.$(a+b+5)(a+b-5)$
B.$(a+b-5)^2$
C.$(a+b-2)(a+b-5)$
D.$(a+b+5)^2$
答案
5.B
解析
【分析】
观察多项式可发现(a+b)重复出现，因此可采用整体思想，将(a+b)看作一个整体，先对原式进行整理，判断整理后的式子是否符合乘法公式的结构特征，再套用对应公式完成因式分解。
【解析】
将$ (a+b) $看作一个整体，展开原式可得：
$\begin{aligned}(a+b)(a+b-10)+25&=(a+b)^2 - 10(a+b) + 25\\\end{aligned}$
整理后的式子符合完全平方差公式$ m^2 - 2mn + n^2=(m-n)^2 $的结构特征，其中$ m=a+b $，$ n=5 $，因此可分解为：
$(a+b)^2 - 10(a+b) + 25=(a+b-5)^2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 整体代换思想
2. 完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查整体思想的应用，解题关键是准确识别重复出现的整体结构，再结合完全平方公式完成分解，难度较低。
【难度系数】
0.8
观察多项式可发现(a+b)重复出现，因此可采用整体思想，将(a+b)看作一个整体，先对原式进行整理，判断整理后的式子是否符合乘法公式的结构特征，再套用对应公式完成因式分解。
【解析】
将$ (a+b) $看作一个整体，展开原式可得：
$\begin{aligned}(a+b)(a+b-10)+25&=(a+b)^2 - 10(a+b) + 25\\\end{aligned}$
整理后的式子符合完全平方差公式$ m^2 - 2mn + n^2=(m-n)^2 $的结构特征，其中$ m=a+b $，$ n=5 $，因此可分解为：
$(a+b)^2 - 10(a+b) + 25=(a+b-5)^2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 整体代换思想
2. 完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查整体思想的应用，解题关键是准确识别重复出现的整体结构，再结合完全平方公式完成分解，难度较低。
【难度系数】
0.8
6.若$x^2+8x+n$是完全平方式，则n的值为
16
。答案
6.16
解析
【分析】
解题的核心是掌握完全平方公式的结构特征。完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式包含三项：两项为同号的平方项，另一项为两个底数乘积的2倍，符号可正可负。本题先将给定式子与完全平方公式的结构做对应，先确定首项对应的底数，再根据中间项求出另一个底数，最后计算得出常数项$n$的值即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
已知$x^2+8x+n$是完全平方式，将其与公式结构对比：
首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；
中间项$8x$对应$2ab$，代入$a=x$得：
$2× x× b=8x$
化简计算得$b=4$；
常数项$n$对应公式中的$b^2$，因此$n=4^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用类题目，解题关键是准确匹配完全平方式的三项结构，避免混淆中间项和常数项的计算关系，熟练掌握公式结构即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握完全平方公式的结构特征。完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式包含三项：两项为同号的平方项，另一项为两个底数乘积的2倍，符号可正可负。本题先将给定式子与完全平方公式的结构做对应，先确定首项对应的底数，再根据中间项求出另一个底数，最后计算得出常数项$n$的值即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
已知$x^2+8x+n$是完全平方式，将其与公式结构对比：
首项$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；
中间项$8x$对应$2ab$，代入$a=x$得：
$2× x× b=8x$
化简计算得$b=4$；
常数项$n$对应公式中的$b^2$，因此$n=4^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用类题目，解题关键是准确匹配完全平方式的三项结构，避免混淆中间项和常数项的计算关系，熟练掌握公式结构即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.分解因式:$2x^{3}y - 4x^{2}y^{2} + 2xy^{3}=$
$2xy(x-y)^2$
.答案
7.$2xy(x-y)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：首先观察多项式各项是否有公因式，本题中各项系数的最大公约数是2，且都含有因式x、y，公因式为2xy，先提取公因式；再观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合乘法公式的形式，剩余的多项式是二次三项式，符合完全平方差公式的特征，可进一步套用公式分解，最后检查是否分解彻底即可。
【解析】
解：第一步，提取公因式2xy：
$2x^{3}y - 4x^{2}y^{2} + 2xy^{3} = 2xy(x^{2} - 2xy + y^{2})$
第二步，对括号内的多项式套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$：
$x^{2} - 2xy + y^{2} = (x-y)^2$
因此原式分解结果为$2xy(x-y)^2$。
【答案】
$2xy(x-y)^2$
【知识点】
提取公因式法分解因式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需熟练掌握因式分解的常规步骤，提取公因式要找全所有公因式，套用公式时要准确匹配公式特征，最后需确认分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：首先观察多项式各项是否有公因式，本题中各项系数的最大公约数是2，且都含有因式x、y，公因式为2xy，先提取公因式；再观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合乘法公式的形式，剩余的多项式是二次三项式，符合完全平方差公式的特征，可进一步套用公式分解，最后检查是否分解彻底即可。
【解析】
解：第一步，提取公因式2xy：
$2x^{3}y - 4x^{2}y^{2} + 2xy^{3} = 2xy(x^{2} - 2xy + y^{2})$
第二步，对括号内的多项式套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$：
$x^{2} - 2xy + y^{2} = (x-y)^2$
因此原式分解结果为$2xy(x-y)^2$。
【答案】
$2xy(x-y)^2$
【知识点】
提取公因式法分解因式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需熟练掌握因式分解的常规步骤，提取公因式要找全所有公因式，套用公式时要准确匹配公式特征，最后需确认分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
8.分解因式：$(m+n)^2 -12m -12n +36 = \underline{\hspace{10cm}}.$
答案
8.$(m+n-6)^2$
解析
【分析】
解题时先观察式子结构，发现式子中的-12m-12n可以提取公因式-12，变形为-12(m+n)，此时原式就转化为关于(m+n)的二次三项式：$(m+n)^2 - 12(m+n) + 36$。对比完全平方公式的结构特征，把$(m+n)$看作一个整体，6看作另一个整体，刚好符合完全平方差公式的形式，直接套用公式即可完成分解。
【解析】
先对一次项提取公因式，再将$(m+n)$看作整体套用完全平方公式：
$\begin{aligned}原式&=(m+n)^2 -12(m+n) +36\\&=(m+n)^2 - 2×(m+n)×6 + 6^2\\&=(m+n-6)^2\end{aligned}$
【答案】
$(m+n-6)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查对整体思想的运用，熟练掌握因式分解的常用方法，能准确识别公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察式子结构，发现式子中的-12m-12n可以提取公因式-12，变形为-12(m+n)，此时原式就转化为关于(m+n)的二次三项式：$(m+n)^2 - 12(m+n) + 36$。对比完全平方公式的结构特征，把$(m+n)$看作一个整体，6看作另一个整体，刚好符合完全平方差公式的形式，直接套用公式即可完成分解。
【解析】
先对一次项提取公因式，再将$(m+n)$看作整体套用完全平方公式：
$\begin{aligned}原式&=(m+n)^2 -12(m+n) +36\\&=(m+n)^2 - 2×(m+n)×6 + 6^2\\&=(m+n-6)^2\end{aligned}$
【答案】
$(m+n-6)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查对整体思想的运用，熟练掌握因式分解的常用方法，能准确识别公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.分解因式：$(2a - b)^2 + 8ab = \_\_\_\_\_\_.$
答案
9.$(2a+b)^2$
解析
【分析】
解题时首先观察式子结构，发现式子中包含完全平方项$(2a - b)^2$，第一步先利用完全平方差公式将该平方项展开，之后合并同类项得到一个二次三项式，再观察合并后式子的特征，判断其符合完全平方和公式的结构，最后逆用完全平方和公式即可完成因式分解。
【解析】
首先展开$(2a - b)^2$：
原式$=4a^2 - 4ab + b^2 + 8ab$
合并同类项：
$=4a^2 + 4ab + b^2$
逆用完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，此处$m=2a$，$n=b$：
$=(2a + b)^2$
【答案】
$(2a+b)^2$
【知识点】
完全平方公式；合并同类项；公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的正用与逆用，先展开化简再分解是解题的突破口，计算时要注意避免出现符号运算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察式子结构，发现式子中包含完全平方项$(2a - b)^2$，第一步先利用完全平方差公式将该平方项展开，之后合并同类项得到一个二次三项式，再观察合并后式子的特征，判断其符合完全平方和公式的结构，最后逆用完全平方和公式即可完成因式分解。
【解析】
首先展开$(2a - b)^2$：
原式$=4a^2 - 4ab + b^2 + 8ab$
合并同类项：
$=4a^2 + 4ab + b^2$
逆用完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，此处$m=2a$，$n=b$：
$=(2a + b)^2$
【答案】
$(2a+b)^2$
【知识点】
完全平方公式；合并同类项；公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的正用与逆用，先展开化简再分解是解题的突破口，计算时要注意避免出现符号运算错误。
【难度系数】
0.8
10.分解因式：$x^4 -18x^2 +81 =$
$(x+3)^2(x-3)^2$
.答案
10.$(x+3)^2(x-3)^2$
解析
【分析】
观察待分解的式子，是三项式结构，最高次项$x^4$可看作$(x^2)^2$，常数项81是$9^2$，中间项$-18x^2$恰好等于$-2× x^2×9$，符合完全平方公式的结构特征，因此第一步先用完全平方公式分解；分解后得到的$(x^2-9)$还符合平方差公式的结构，需要继续用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：$\begin{split}x^4 -18x^2 +81&=(x^2)^2 - 2· x^2 · 9 + 9^2\\&=(x^2 - 9)^2\\&=(x^2 - 3^2)^2\\&=[(x+3)(x-3)]^2\\&=(x+3)^2(x-3)^2\end{split}$
【答案】
$(x+3)^2(x-3)^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是公式法分解因式的常规题型，解题时需先判断多项式的结构匹配对应分解公式，尤其要注意因式分解必须进行到每一个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
观察待分解的式子，是三项式结构，最高次项$x^4$可看作$(x^2)^2$，常数项81是$9^2$，中间项$-18x^2$恰好等于$-2× x^2×9$，符合完全平方公式的结构特征，因此第一步先用完全平方公式分解；分解后得到的$(x^2-9)$还符合平方差公式的结构，需要继续用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：$\begin{split}x^4 -18x^2 +81&=(x^2)^2 - 2· x^2 · 9 + 9^2\\&=(x^2 - 9)^2\\&=(x^2 - 3^2)^2\\&=[(x+3)(x-3)]^2\\&=(x+3)^2(x-3)^2\end{split}$
【答案】
$(x+3)^2(x-3)^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是公式法分解因式的常规题型，解题时需先判断多项式的结构匹配对应分解公式，尤其要注意因式分解必须进行到每一个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
11.分解因式:
(1)$9a^2 + 3ab + \frac{1}{4}b^2$;
(2)$2a - a^2 -1$;
(3)$(x-y)^2 -8(x-y -2)$;
(4)$3x^3 -12x^2y +12xy^2$.
(1)$9a^2 + 3ab + \frac{1}{4}b^2$;
(2)$2a - a^2 -1$;
(3)$(x-y)^2 -8(x-y -2)$;
(4)$3x^3 -12x^2y +12xy^2$.
答案
11.解:(1)原式$=(3a+\dfrac{1}{2}b)^2$.
(2)原式$=-(a^2-2a+1)=-(a-1)^2$.
(3)原式$=(x-y)^2-8(x-y)+16$
$=(x-y-4)^2$.
(4)原式$=3x(x^2-4xy+4y^2)=3x(x-2y)^2$.
(2)原式$=-(a^2-2a+1)=-(a-1)^2$.
(3)原式$=(x-y)^2-8(x-y)+16$
$=(x-y-4)^2$.
(4)原式$=3x(x^2-4xy+4y^2)=3x(x-2y)^2$.
解析
【分析】
这四道因式分解题均围绕完全平方公式展开，解题遵循“一提二套三查”的步骤即可：①先观察多项式是否有公因式，有则先提取公因式；②对照完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的特征，确定公式中$a$、$b$对应的代数式，若式中存在重复的多项式整体，可将整体看作一个整体简化计算；③最后检查分解是否彻底。
各小题具体思考方向：
(1) 先找平方项：$9a^2=(3a)^2$，$\frac{1}{4}b^2=(\frac{1}{2}b)^2$，验证中间项$3ab=2×3a×\frac{1}{2}b$，符合完全平方和公式特征；
(2) 先调整多项式为降幂排列，提取负号后剩余部分符合完全平方差公式特征；
(3) 把$(x-y)$看作整体，化简原式后得到的式子符合完全平方差公式特征；
(4) 先提取公因式$3x$，剩余的二次三项式符合完全平方差公式特征。
【解析】
(1) 原式$=(3a)^2+2×3a×\frac{1}{2}b+(\frac{1}{2}b)^2=(3a+\frac{1}{2}b)^2$
(2) 原式$=-a^2+2a-1=-(a^2-2a+1)=-(a-1)^2$
(3) 原式$=(x-y)^2-8(x-y)+16=(x-y)^2-2×4×(x-y)+4^2=(x-y-4)^2$
(4) 原式$=3x(x^2-4xy+4y^2)=3x[x^2-2× x×2y+(2y)^2]=3x(x-2y)^2$
【答案】
(1)$(3a+\dfrac{1}{2}b)^2$；(2)$-(a-1)^2$；(3)$(x-y-4)^2$；(4)$3x(x-2y)^2$
【知识点】
完全平方公式，提公因式法，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意按先提公因式、再套公式的顺序操作，遇到含有重复多项式结构的式子可将其看作整体简化运算，最终要确保因式分解彻底，结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
这四道因式分解题均围绕完全平方公式展开，解题遵循“一提二套三查”的步骤即可：①先观察多项式是否有公因式，有则先提取公因式；②对照完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的特征，确定公式中$a$、$b$对应的代数式，若式中存在重复的多项式整体，可将整体看作一个整体简化计算；③最后检查分解是否彻底。
各小题具体思考方向：
(1) 先找平方项：$9a^2=(3a)^2$，$\frac{1}{4}b^2=(\frac{1}{2}b)^2$，验证中间项$3ab=2×3a×\frac{1}{2}b$，符合完全平方和公式特征；
(2) 先调整多项式为降幂排列，提取负号后剩余部分符合完全平方差公式特征；
(3) 把$(x-y)$看作整体，化简原式后得到的式子符合完全平方差公式特征；
(4) 先提取公因式$3x$，剩余的二次三项式符合完全平方差公式特征。
【解析】
(1) 原式$=(3a)^2+2×3a×\frac{1}{2}b+(\frac{1}{2}b)^2=(3a+\frac{1}{2}b)^2$
(2) 原式$=-a^2+2a-1=-(a^2-2a+1)=-(a-1)^2$
(3) 原式$=(x-y)^2-8(x-y)+16=(x-y)^2-2×4×(x-y)+4^2=(x-y-4)^2$
(4) 原式$=3x(x^2-4xy+4y^2)=3x[x^2-2× x×2y+(2y)^2]=3x(x-2y)^2$
【答案】
(1)$(3a+\dfrac{1}{2}b)^2$；(2)$-(a-1)^2$；(3)$(x-y-4)^2$；(4)$3x(x-2y)^2$
【知识点】
完全平方公式，提公因式法，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意按先提公因式、再套公式的顺序操作，遇到含有重复多项式结构的式子可将其看作整体简化运算，最终要确保因式分解彻底，结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
