1.多项式$ax^4 - ay^4$分解因式的结果为().

A.$a(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
B.$a(x^2 + y^2)(x - y)$
C.$a(x + y)(x - y)^2$
D.$a(x + y)^2(x - y)^2$

1.A

【分析】
要对多项式分解因式，首先遵循因式分解的常规思路：第一步先观察是否有公因式，若有先提取公因式；第二步再观察提取公因式后剩下的多项式的形式，判断是否可以套用乘法公式继续分解，且要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。本题中先提取公因式，再两次运用平方差公式分解即可得到结果。
【解析】
对多项式$ax^4 - ay^4$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$ax^4 - ay^4 = a(x^4 - y^4)$
2. 观察$x^4 - y^4$，可变形为$(x^2)^2 - (y^2)^2$，符合平方差公式$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$的形式，套用公式分解：
$a(x^4 - y^4)=a(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
3. 观察得到的因式$x^2 - y^2$，仍符合平方差公式的形式，继续分解直到不能再分解：
$a(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)=a(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
对比选项，结果与A选项一致。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的基本步骤，需要注意分解要彻底，不能在分解出$(x^2 - y^2)$后就停止，避免漏分解导致出错。
【难度系数】
0.8

2.若$a,b,c$为三角形的三边,则$(a-b)^2 - c^2$的结果是().

A.正数
B.负数
C.0
D.1

2.B

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，观察式子$(a-b)^2 - c^2$符合平方差公式的结构，优先用平方差公式对其因式分解；第二步，结合三角形三边关系判断分解后两个因式的正负性，最终根据乘法的符号法则判断原式的正负。
【解析】
解：首先利用平方差公式分解因式：
$(a-b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
∵$a,b,c$是三角形的三边，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；
$b + c ＞ a$，即$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$。
∵正数与负数相乘结果为负数，
∴$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，即原式结果为负数。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解；三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的综合基础题，核心是先通过因式分解将原式转化为两个式子乘积的形式，再结合三角形三边关系判断符号即可求解，对综合运用知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.8

3.分解因式: $2a^2(a^2 -25b^2)+32b^2(25b^2 -a^2)=$ .

3.$2(a+5b)(a-5b)(a+4b)(a-4b)$

【分析】
首先观察多项式的结构，发现两个项中所含的因式$a^2-25b^2$和$25b^2-a^2$互为相反数，先将二者统一为相同因式，再提取公因式；接下来对提取公因式后得到的两个代数式，分别判断是否符合平方差公式的形式，依次用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式 &= 2a^2(a^2-25b^2) - 32b^2(a^2-25b^2) \\&= (a^2-25b^2)(2a^2-32b^2) \\&= 2(a^2-25b^2)(a^2-16b^2) \\&= 2(a+5b)(a-5b)(a+4b)(a-4b)\end{aligned}$
【答案】
$2(a+5b)(a-5b)(a+4b)(a-4b)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础综合题，解题的核心是先识别出互为相反数的因式，统一后提取公因式，再多次运用平方差公式分解，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7

4.若$m$为整数，且$5＜m＜10$，$3^{17}-3$能被$m$整除，则$m$的值为。

4.6或8

【分析】
首先根据m的取值范围确定m的所有可能取值为6、7、8、9，接下来要判断$3^{17}-3$能被其中哪些数整除，我们可以先对多项式$3^{17}-3$进行因式分解：先提取公因式3，再反复运用平方差公式分解，最后从分解结果的因数中筛选出符合$5＜m＜10$的整数，即为所求的m的值。
【解析】
第一步：确定m的可能取值
$\because$ m为整数，且$5＜m＜10$
$\therefore$ m的可能值为6、7、8、9
第二步：对$3^{17}-3$因式分解
先提取公因式3，再反复运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$\begin{aligned}3^{17}-3&=3×(3^{16}-1)\\&=3×(3^8 - 1)(3^8 + 1)\\&=3×(3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\\&=3×(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\\&=3×8×10×82×(3^8 + 1)\end{aligned}$
第三步：筛选符合条件的m
从分解结果可知，因式中包含6（分解结果同时有因数2和3，$2×3=6$）、8，不含因数7、9（分解结果中3的指数仅为1，无法得到$9=3^2$，也没有7的因子），因此$3^{17}-3$能被6和8整除。
【答案】
6或8
【知识点】
因式分解、平方差公式、整除的概念
【点评】
本题将因式分解与整除问题结合考查，解题时先通过取值范围缩小目标，再通过因式分解将多项式拆分为多个因数相乘的形式，即可快速筛选出符合条件的m，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5.利用因式分解计算：
(1)$(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})···(1-\dfrac{1}{99^2})(1-\dfrac{1}{100^2});$
(2)$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + 96^2 - 95^2 + ··· + 2^2 - 1.$

5.解:(1)原式=$(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})…(1-\dfrac{1}{100})(1+\dfrac{1}{100})$
=$\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×…×\dfrac{99}{100}×\dfrac{101}{100}=\dfrac{101}{200}$.
(2)原式=$(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)$
=$100+99+98+97+…+2+1$
=$101×50=5050$.

【分析】
（1）观察式子中每个因式的结构均为$1-\frac{1}{n^2}$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式，因此先利用平方差公式将每个因式拆分为两个分数的乘积，拆分后可发现中间的分数能交叉约分，最后仅需计算剩余首尾两项的乘积即可得到结果。
（2）观察式子是相邻两个正整数的平方差交替相加的形式，可将每两个相邻平方项分为一组，每组均符合平方差公式的结构，拆分后每组的减项结果为1，因此式子可转化为从1到100的连续正整数求和，再用首尾配对的方法简便计算总和即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式拆分每个因式：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})\dots(1-\dfrac{1}{100})(1+\dfrac{1}{100})$
计算每个小括号的结果：
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×…×\dfrac{99}{100}×\dfrac{101}{100}$
交叉约分后剩余首尾两项：
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{101}{100}=\dfrac{101}{200}$
(2) 相邻两项为一组，利用平方差公式拆分：
原式$=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+…+(2^2 - 1^2)$
$=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1)$
每组的减项结果为1，因此化简为连续整数求和：
$=100+99+98+97+…+2+1$
首尾配对，共50组和为101的数：
$=(100+1)×100÷2=101×50=5050$
【答案】
(1)$\dfrac{101}{200}$；(2)$5050$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 分数约分计算
3. 有理数简便运算
【点评】
这两道题是利用因式分解进行简便运算的典型题型，解题核心是观察式子的结构特征，灵活运用平方差公式拆分或分组，通过约分、凑整的方法简化计算过程，避免直接硬算导致的失误。
【难度系数】
0.7