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11.如图,已知平面上4个点A,B,C,D,按下列要求画出图形,并回答问题:
(1)画$△ ABC$;
(2)画$△ ACD$;
(3)延长$CA$至点$E$,使$CE=BC$,画$△ BCE$;
(4)画线段$BM⊥ BC$,点$M$在$CD$上,画$△ BCM$;
(5)根据以上作图过程,判断$△ BCE$和$△ BCM$的形状,并说明理由.
(1)画$△ ABC$;
(2)画$△ ACD$;
(3)延长$CA$至点$E$,使$CE=BC$,画$△ BCE$;
(4)画线段$BM⊥ BC$,点$M$在$CD$上,画$△ BCM$;
(5)根据以上作图过程,判断$△ BCE$和$△ BCM$的形状,并说明理由.
答案
11.解:(1)～(4)如图所示.
(5)$△BCE$是等腰三角形;$△BCM$是直角三角形.
理由:$∵CE=BC$,
$∴△BCE$是等腰三角形.
$∵BM⊥BC$,
$∴∠CBM=90°$.
$∴△BCM$是直角三角形.
解析
【分析】
本题分为作图和三角形形状判断两部分。作图部分遵循几何基本作图规则即可：①画三角形只需顺次连接三个对应顶点；②延长CA到E时，可借助圆规截取BC的长度，保证CE=BC；③作BM垂直BC时，要确保垂足为B，且交点M落在CD上。形状判断部分直接结合作图得到的条件，对应等腰三角形、直角三角形的定义就能得出结论。
【解析】
(1) 顺次连接点A、B、C，即可画出△ABC；
(2) 顺次连接点A、C、D，即可画出△ACD；
(3) 沿CA方向延长CA，以点C为圆心、BC的长度为半径画弧，弧与CA延长线的交点即为E，连接BE，即可画出△BCE；
(4) 过点B作BC的垂线，垂线与CD的交点记为M，连接BM，即可画出△BCM；
(5) 判断形状：
① 对于△BCE：由作图过程可知CE=BC，根据等腰三角形“有两边相等的三角形是等腰三角形”的判定规则，可得△BCE是等腰三角形；
② 对于△BCM：由作图过程可知BM⊥BC，因此∠CBM=90°，根据直角三角形“有一个角为直角的三角形是直角三角形”的判定规则，可得△BCM是直角三角形。
【答案】
(1)～(4)如图所示.
(5)$△BCE$是等腰三角形;$△BCM$是直角三角形.
理由:$∵CE=BC$,
$∴△BCE$是等腰三角形.
$∵BM⊥BC$,
$∴∠CBM=90°$.
$∴△BCM$是直角三角形.
【知识点】
尺规作图；等腰三角形判定；直角三角形判定
【点评】
本题是基础作图与概念结合的题型，侧重考查基础几何作图能力和特殊三角形的判定规则，掌握作图规范和对应概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题分为作图和三角形形状判断两部分。作图部分遵循几何基本作图规则即可：①画三角形只需顺次连接三个对应顶点；②延长CA到E时，可借助圆规截取BC的长度，保证CE=BC；③作BM垂直BC时，要确保垂足为B，且交点M落在CD上。形状判断部分直接结合作图得到的条件，对应等腰三角形、直角三角形的定义就能得出结论。
【解析】
(1) 顺次连接点A、B、C，即可画出△ABC；
(2) 顺次连接点A、C、D，即可画出△ACD；
(3) 沿CA方向延长CA，以点C为圆心、BC的长度为半径画弧，弧与CA延长线的交点即为E，连接BE，即可画出△BCE；
(4) 过点B作BC的垂线，垂线与CD的交点记为M，连接BM，即可画出△BCM；
(5) 判断形状：
① 对于△BCE：由作图过程可知CE=BC，根据等腰三角形“有两边相等的三角形是等腰三角形”的判定规则，可得△BCE是等腰三角形；
② 对于△BCM：由作图过程可知BM⊥BC，因此∠CBM=90°，根据直角三角形“有一个角为直角的三角形是直角三角形”的判定规则，可得△BCM是直角三角形。
【答案】
(1)～(4)如图所示.
(5)$△BCE$是等腰三角形;$△BCM$是直角三角形.
理由:$∵CE=BC$,
$∴△BCE$是等腰三角形.
$∵BM⊥BC$,
$∴∠CBM=90°$.
$∴△BCM$是直角三角形.
【知识点】
尺规作图；等腰三角形判定；直角三角形判定
【点评】
本题是基础作图与概念结合的题型，侧重考查基础几何作图能力和特殊三角形的判定规则，掌握作图规范和对应概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
12.如图,在$△ ABC$中,D,E是BC上的点,$AD⊥ BC$,$AE⊥ AB$,根据图形回答问题:
(1)图中共有多少个三角形?
(2)写出$△ ABC$的三个内角.
(3)写出图中以$∠ B$为角的三角形,并写出$∠ B$所对的边.
(4)写出图中以AE为边的三角形,并写出AE所对的角.
(5)写出图中的锐角三角形,直角三角形和钝角三角形.
(1)图中共有多少个三角形?
(2)写出$△ ABC$的三个内角.
(3)写出图中以$∠ B$为角的三角形,并写出$∠ B$所对的边.
(4)写出图中以AE为边的三角形,并写出AE所对的角.
(5)写出图中的锐角三角形,直角三角形和钝角三角形.
答案
12.解:(1)共有6个三角形.
(2)$∠ABC,∠ACB,∠BAC$.
(3)以$∠B$为角的三角形:$△ABD,△ABE,△ABC$;
$∠B$所对的边分别为:$AD,AE,AC$.
(4)以AE为边的三角形:$△AEC,△AED,△AEB$;
AE所对的角分别为:$∠ACE,∠ADE,∠ABE$.
(5)锐角三角形:无;
直角三角形:$△ABD,△AED,△ADC,△ABE$;
钝角三角形:$△ABC,△AEC$.
(2)$∠ABC,∠ACB,∠BAC$.
(3)以$∠B$为角的三角形:$△ABD,△ABE,△ABC$;
$∠B$所对的边分别为:$AD,AE,AC$.
(4)以AE为边的三角形:$△AEC,△AED,△AEB$;
AE所对的角分别为:$∠ACE,∠ADE,∠ABE$.
(5)锐角三角形:无;
直角三角形:$△ABD,△AED,△ADC,△ABE$;
钝角三角形:$△ABC,△AEC$.
解析
【分析】
1. 数三角形个数时，可固定公共顶点A，通过数底边BC上的线段数量得到三角形总数，按顺序计数能避免漏数或重复；2. 三角形的内角是三角形内部相邻两边组成的角，△ABC的内角就是三个顶点处属于该三角形的角；3. 找以∠B为角的三角形，只需三角形顶点包含B即可，角的对边是不经过该角顶点的边；4. 找以AE为边的三角形，只需三角形同时包含顶点A、E即可，边的对角是不经过这条边两个顶点的角；5. 按角分类时，三个角均为锐角的是锐角三角形，有一个直角的是直角三角形，有一个钝角的是钝角三角形，结合图中的直角标识和角度特征判断即可。
【解析】
(1) BC上共有B、D、E、C4个点，可组成的线段有BD、BE、BC、DE、DC、EC共6条，每条线段对应一个以A为顶点的三角形，因此共有6个三角形。
(2) 根据三角形内角的定义，△ABC的三个内角分别是顶点B、C、A处的内角，即∠ABC、∠ACB、∠BAC。
(3) 含顶点B的三角形即为以∠B为角的三角形，共3个：△ABD、△ABE、△ABC；按照角对边的定义，∠B在三个三角形中对应的边分别是不经过点B的边：AD、AE、AC。
(4) 同时含顶点A和E的三角形即为以AE为边的三角形，共3个：△AEC、△AED、△AEB；按照边对角的定义，AE在三个三角形中对应的角分别是不经过点A、E的角：∠ACE、∠ADE、∠ABE。
(5) 结合图形中角度特征判断：没有三个角都是锐角的三角形，故锐角三角形无；有直角的三角形为：△ABD（∠ADB=90°）、△AED（∠ADE=90°）、△ADC（∠ADC=90°）、△ABE（∠BAE=90°）；有钝角的三角形为：△ABC（∠BAC为钝角）、△AEC（∠AEC为钝角）。
【答案】
(1)共有6个三角形.
(2)$∠ABC,∠ACB,∠BAC$.
(3)以$∠B$为角的三角形:$△ABD,△ABE,△ABC$;
$∠B$所对的边分别为:$AD,AE,AC$.
(4)以AE为边的三角形:$△AEC,△AED,△AEB$;
AE所对的角分别为:$∠ACE,∠ADE,∠ABE$.
(5)锐角三角形:无;
直角三角形:$△ABD,△AED,△ADC,△ABE$;
钝角三角形:$△ABC,△AEC$.
【知识点】
三角形的基本概念，三角形边角对应关系，三角形按角分类
【点评】
本题是三角形基础概念的常规考察题，解题的关键是按顺序计数三角形不重不漏，熟练掌握边角的对应规则和三角形按角分类的判定标准，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
1. 数三角形个数时，可固定公共顶点A，通过数底边BC上的线段数量得到三角形总数，按顺序计数能避免漏数或重复；2. 三角形的内角是三角形内部相邻两边组成的角，△ABC的内角就是三个顶点处属于该三角形的角；3. 找以∠B为角的三角形，只需三角形顶点包含B即可，角的对边是不经过该角顶点的边；4. 找以AE为边的三角形，只需三角形同时包含顶点A、E即可，边的对角是不经过这条边两个顶点的角；5. 按角分类时，三个角均为锐角的是锐角三角形，有一个直角的是直角三角形，有一个钝角的是钝角三角形，结合图中的直角标识和角度特征判断即可。
【解析】
(1) BC上共有B、D、E、C4个点，可组成的线段有BD、BE、BC、DE、DC、EC共6条，每条线段对应一个以A为顶点的三角形，因此共有6个三角形。
(2) 根据三角形内角的定义，△ABC的三个内角分别是顶点B、C、A处的内角，即∠ABC、∠ACB、∠BAC。
(3) 含顶点B的三角形即为以∠B为角的三角形，共3个：△ABD、△ABE、△ABC；按照角对边的定义，∠B在三个三角形中对应的边分别是不经过点B的边：AD、AE、AC。
(4) 同时含顶点A和E的三角形即为以AE为边的三角形，共3个：△AEC、△AED、△AEB；按照边对角的定义，AE在三个三角形中对应的角分别是不经过点A、E的角：∠ACE、∠ADE、∠ABE。
(5) 结合图形中角度特征判断：没有三个角都是锐角的三角形，故锐角三角形无；有直角的三角形为：△ABD（∠ADB=90°）、△AED（∠ADE=90°）、△ADC（∠ADC=90°）、△ABE（∠BAE=90°）；有钝角的三角形为：△ABC（∠BAC为钝角）、△AEC（∠AEC为钝角）。
【答案】
(1)共有6个三角形.
(2)$∠ABC,∠ACB,∠BAC$.
(3)以$∠B$为角的三角形:$△ABD,△ABE,△ABC$;
$∠B$所对的边分别为:$AD,AE,AC$.
(4)以AE为边的三角形:$△AEC,△AED,△AEB$;
AE所对的角分别为:$∠ACE,∠ADE,∠ABE$.
(5)锐角三角形:无;
直角三角形:$△ABD,△AED,△ADC,△ABE$;
钝角三角形:$△ABC,△AEC$.
【知识点】
三角形的基本概念，三角形边角对应关系，三角形按角分类
【点评】
本题是三角形基础概念的常规考察题，解题的关键是按顺序计数三角形不重不漏，熟练掌握边角的对应规则和三角形按角分类的判定标准，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
