登录
1.如图，A，B，C，D四个点均在$\odot O$上，$∠ AOD=50°$，$AO// DC$，则$∠ B$的度数为（
A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
C
）.A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
1.C
解析
【分析】
要求圆周角∠B的度数，根据圆周角定理，需先求出∠B所对弧AC对应的圆心角∠AOC的度数。已知∠AOD=50°，因此只需算出∠COD的度数即可得到∠AOC的大小：首先利用AO//DC的平行线性质，可得内错角∠ODC=∠AOD；再结合OD、OC都是⊙O的半径，可知△ODC为等腰三角形，利用等腰三角形等角对等边及三角形内角和即可求出∠COD的度数，最后代入圆周角定理计算即可得到∠B的度数。
【解析】
1. 由AO//DC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ODC=∠AOD=50°。
2.
∵OD、OC均为⊙O的半径，
∴OD=OC，△ODC为等腰三角形，
∴∠OCD=∠ODC=50°。
3. 根据三角形内角和为180°，可得∠COD=180°-∠ODC-∠OCD=180°-50°-50°=80°。
4. 则∠AOC=∠AOD+∠COD=50°+80°=130°。
5.
∵∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠B=½∠AOC=½×130°=65°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，将平行线、等腰三角形、圆周角定理多个知识点结合考查，解题的关键是找准所求圆周角对应的圆心角，逐步推导角度即可，属于圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要求圆周角∠B的度数，根据圆周角定理，需先求出∠B所对弧AC对应的圆心角∠AOC的度数。已知∠AOD=50°，因此只需算出∠COD的度数即可得到∠AOC的大小：首先利用AO//DC的平行线性质，可得内错角∠ODC=∠AOD；再结合OD、OC都是⊙O的半径，可知△ODC为等腰三角形，利用等腰三角形等角对等边及三角形内角和即可求出∠COD的度数，最后代入圆周角定理计算即可得到∠B的度数。
【解析】
1. 由AO//DC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ODC=∠AOD=50°。
2.
∵OD、OC均为⊙O的半径，
∴OD=OC，△ODC为等腰三角形，
∴∠OCD=∠ODC=50°。
3. 根据三角形内角和为180°，可得∠COD=180°-∠ODC-∠OCD=180°-50°-50°=80°。
4. 则∠AOC=∠AOD+∠COD=50°+80°=130°。
5.
∵∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠B=½∠AOC=½×130°=65°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，将平行线、等腰三角形、圆周角定理多个知识点结合考查，解题的关键是找准所求圆周角对应的圆心角，逐步推导角度即可，属于圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
2.如图，AB是$\odot O$的直径，弦$AD=DE$，AE与BD相交于点C，连接OD，OE，BE，则图中与$∠ BCE$相等的角的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
D
).A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2.D
解析
【分析】
要找出与∠BCE相等的角，可按以下思路推导：首先利用对顶角性质得到第一个相等角；再结合AD=DE推出等弧，利用圆周角、圆心角相关定理得到角的等量关系；最后结合直径的性质、三角形外角性质、等腰三角形性质逐一推导相等的角，统计个数即可。
【解析】
解：
1. ∠BCE与∠ACD是对顶角，因此∠BCE=∠ACD，这是第1个相等的角；
2. 由AD=DE，可得弧AD=弧DE，根据圆心角定理得∠AOD=∠DOE；根据圆周角定理得∠ABD=∠DBE=∠DAE；
3. AB是⊙O的直径，因此直径所对的圆周角∠ADB=∠AEB=90°；
4. 由三角形外角定理，∠BCE是△ABC的外角，故∠BCE=∠BAE+∠ABD；结合等腰三角形等边对等角的性质、圆心角与圆周角的数量关系，可依次推得∠AOD、∠DOE、∠OAD、∠ABE均与∠BCE相等；
综上，共有5个角和∠BCE相等，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，圆心角定理，对顶角性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形相关知识，解题时需要熟练运用等弦对等弧、角的等量转换方法，注意不要漏算符合条件的角。
【难度系数】
0.6
要找出与∠BCE相等的角，可按以下思路推导：首先利用对顶角性质得到第一个相等角；再结合AD=DE推出等弧，利用圆周角、圆心角相关定理得到角的等量关系；最后结合直径的性质、三角形外角性质、等腰三角形性质逐一推导相等的角，统计个数即可。
【解析】
解：
1. ∠BCE与∠ACD是对顶角，因此∠BCE=∠ACD，这是第1个相等的角；
2. 由AD=DE，可得弧AD=弧DE，根据圆心角定理得∠AOD=∠DOE；根据圆周角定理得∠ABD=∠DBE=∠DAE；
3. AB是⊙O的直径，因此直径所对的圆周角∠ADB=∠AEB=90°；
4. 由三角形外角定理，∠BCE是△ABC的外角，故∠BCE=∠BAE+∠ABD；结合等腰三角形等边对等角的性质、圆心角与圆周角的数量关系，可依次推得∠AOD、∠DOE、∠OAD、∠ABE均与∠BCE相等；
综上，共有5个角和∠BCE相等，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，圆心角定理，对顶角性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形相关知识，解题时需要熟练运用等弦对等弧、角的等量转换方法，注意不要漏算符合条件的角。
【难度系数】
0.6
3.(2024,北京,14)如图,⊙O 的直径 AB 平分弦 CD(不是直径).若∠D＝35°,则∠C＝
(第3题)
55
°. (第3题)答案
3.55
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：直径AB平分非直径的弦CD，优先想到垂径定理的推论，可得到AB与CD垂直的关系；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠CAB与已知的∠D度数相等；最后在直角三角形中利用两锐角互余的性质，即可计算出∠C的度数。
【解析】
设AB与CD的交点为E。
1. 根据垂径定理的推论：平分非直径弦的直径垂直于该弦，已知AB是⊙O的直径且平分弦CD（CD不是直径），因此AB⊥CD，可得∠AEC=90°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠CAB和∠CDB都对应弧BC，因此∠CAB=∠D=35°。
3. 在Rt△AEC中，直角三角形的两个锐角互余，因此∠C + ∠CAB = 90°，代入∠CAB=35°，可得∠C=90°-35°=55°。
【答案】
55
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是先通过垂径定理得到垂直关系，再结合圆周角的性质和直角三角形的角度关系计算结果，考查学生对圆基础性质的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件：直径AB平分非直径的弦CD，优先想到垂径定理的推论，可得到AB与CD垂直的关系；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠CAB与已知的∠D度数相等；最后在直角三角形中利用两锐角互余的性质，即可计算出∠C的度数。
【解析】
设AB与CD的交点为E。
1. 根据垂径定理的推论：平分非直径弦的直径垂直于该弦，已知AB是⊙O的直径且平分弦CD（CD不是直径），因此AB⊥CD，可得∠AEC=90°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠CAB和∠CDB都对应弧BC，因此∠CAB=∠D=35°。
3. 在Rt△AEC中，直角三角形的两个锐角互余，因此∠C + ∠CAB = 90°，代入∠CAB=35°，可得∠C=90°-35°=55°。
【答案】
55
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是先通过垂径定理得到垂直关系，再结合圆周角的性质和直角三角形的角度关系计算结果，考查学生对圆基础性质的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，它的3个外角$∠ EAB$，$∠ FBC$，$∠ GCD$的度数之比为1：2：4，则$∠ D$的度数为
$72°$
。答案
4.$72°$
解析
【分析】
遇到圆内接四边形的角度计算问题，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，且任意外角等于它的内对角。本题已知三个外角的度数比，我们可以先设未知数表示三个外角，再利用外角与内对角的对应关系，得到一组对角的度数表达式，结合对角互补的性质列方程求解未知数，最后求出∠D的度数。
【解析】
设∠EAB=x，由三个外角的度数比1:2:4可得：∠FBC=2x，∠GCD=4x。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得：
∠BCD=∠EAB=x，∠BAD=∠GCD=4x，∠D=∠FBC=2x；
又
∵ 圆内接四边形对角互补，即$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
代入得：$4x + x = 180°$，
解得$x=36°$，
∴ $∠ D=2x=2×36°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
圆内接四边形的性质，比例计算，方程思想
【点评】
本题是圆内接四边形性质的基础应用考题，解题的关键是熟练掌握外角与内对角的对应关系，结合对角互补的性质建立方程求解，整体思路清晰，是圆这部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
遇到圆内接四边形的角度计算问题，首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，且任意外角等于它的内对角。本题已知三个外角的度数比，我们可以先设未知数表示三个外角，再利用外角与内对角的对应关系，得到一组对角的度数表达式，结合对角互补的性质列方程求解未知数，最后求出∠D的度数。
【解析】
设∠EAB=x，由三个外角的度数比1:2:4可得：∠FBC=2x，∠GCD=4x。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得：
∠BCD=∠EAB=x，∠BAD=∠GCD=4x，∠D=∠FBC=2x；
又
∵ 圆内接四边形对角互补，即$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
代入得：$4x + x = 180°$，
解得$x=36°$，
∴ $∠ D=2x=2×36°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
圆内接四边形的性质，比例计算，方程思想
【点评】
本题是圆内接四边形性质的基础应用考题，解题的关键是熟练掌握外角与内对角的对应关系，结合对角互补的性质建立方程求解，整体思路清晰，是圆这部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
5.在$\odot O$中，弦$AB ⊥ AC$，且$AB=AC=6$，$D$是$\odot O$上一点（不在$\overset{\frown}{BAC}$上），连接$AD$，$BD$，$CD$.
(1)如图①，若$AD$经过圆心$O$，求$BD$，$CD$的长；
(2)如图②，若$∠ BAD=2∠ DAC$，求$BD$，$CD$的长.
(1)如图①，若$AD$经过圆心$O$，求$BD$，$CD$的长；
(2)如图②，若$∠ BAD=2∠ DAC$，求$BD$，$CD$的长.
答案
5.【解】(1)$\because AD$ 是$\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠ACD=∠ABD=90°.$
$\because AB⊥AC,\therefore ∠BAC=90°.$
$\therefore$ 四边形 ABDC 是矩形.
$\because AB=AC=6,\therefore$ 四边形 ABDC 是正方形.
$\therefore BD=CD=6.$
(2)如图,连接 BC,OD.
$\because ∠BAD=2∠DAC,$
$\therefore ∠BAD=60°,∠DAC=30°,$ 且 BC 为$\odot O$ 的直径.
$\therefore ∠COD=2∠CAD=60°,$
$∠BDC=90°.$
$\therefore △ COD$ 是等边三角形. $\therefore CD=OC.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=6\sqrt{2}.$
$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{2}.$
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=3\sqrt{6}.$
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先由AD经过圆心可知AD是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠ABD=∠ACD=90°，结合已知AB⊥AC得∠BAC=90°，可判定四边形ABDC是矩形，再结合AB=AC的条件可判定该矩形为正方形，即可直接得到BD、CD的长度。
(2) 解题思路：先由∠BAC=90°和∠BAD=2∠DAC，计算出∠DAC=30°、∠BAD=60°；再作辅助线连接BC、OD，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可得BC为⊙O的直径，再根据圆周角定理得到圆心角∠COD=2∠CAD=60°，可判定△COD是等边三角形，得CD等于⊙O的半径；先在Rt△ABC中用勾股定理算出BC的长度，即可得到CD的长，最后在Rt△BCD中用勾股定理求出BD的长。
【解析】
(1)
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=∠ABD=90°。
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴四边形ABDC是矩形。
∵AB=AC=6，
∴四边形ABDC是正方形，
∴BD=CD=6。
(2) 如图，连接BC，OD。
∵∠BAD=2∠DAC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，且90°的圆周角所对的弦是直径，故BC为⊙O的直径。
根据圆周角定理，∠COD=2∠CAD=60°，且直径所对圆周角为直角，故∠BDC=90°。
∵OC=OD，∠COD=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC。
在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{2}$。
在Rt△BCD中，$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2}=3\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CD=6}$；
(2) $\boldsymbol{CD=3\sqrt{2}}$，$\boldsymbol{BD=3\sqrt{6}}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理，正方形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质和特殊几何图形的计算，需要熟练掌握圆周角定理的相关推论，第二问中合理构造辅助线确定直径是解题的突破口，整体难度适中，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先由AD经过圆心可知AD是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠ABD=∠ACD=90°，结合已知AB⊥AC得∠BAC=90°，可判定四边形ABDC是矩形，再结合AB=AC的条件可判定该矩形为正方形，即可直接得到BD、CD的长度。
(2) 解题思路：先由∠BAC=90°和∠BAD=2∠DAC，计算出∠DAC=30°、∠BAD=60°；再作辅助线连接BC、OD，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可得BC为⊙O的直径，再根据圆周角定理得到圆心角∠COD=2∠CAD=60°，可判定△COD是等边三角形，得CD等于⊙O的半径；先在Rt△ABC中用勾股定理算出BC的长度，即可得到CD的长，最后在Rt△BCD中用勾股定理求出BD的长。
【解析】
(1)
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=∠ABD=90°。
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴四边形ABDC是矩形。
∵AB=AC=6，
∴四边形ABDC是正方形，
∴BD=CD=6。
(2) 如图，连接BC，OD。
∵∠BAD=2∠DAC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，且90°的圆周角所对的弦是直径，故BC为⊙O的直径。
根据圆周角定理，∠COD=2∠CAD=60°，且直径所对圆周角为直角，故∠BDC=90°。
∵OC=OD，∠COD=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC。
在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{2}$。
在Rt△BCD中，$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2}=3\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=CD=6}$；
(2) $\boldsymbol{CD=3\sqrt{2}}$，$\boldsymbol{BD=3\sqrt{6}}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理，正方形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质和特殊几何图形的计算，需要熟练掌握圆周角定理的相关推论，第二问中合理构造辅助线确定直径是解题的突破口，整体难度适中，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
