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7.如图，AB是⊙O的直径，弦AC=12 cm，BC=16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则AD=
$10\sqrt{2}$
cm.答案
7.$10\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先看到AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可知△ACB是直角三角形，利用勾股定理可先求出直径AB的长度；②CD是∠ACB的角平分线，可得∠ACD=∠BCD，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可推出弧AD与弧BD相等，进而得到AD=BD；③再根据直径所对的圆周角为直角，可知△ADB也是直角三角形，结合AD=BD可判断它是等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ACB中，AC=12cm，BC=16cm，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=12^2+16^2=400$，
∴$AB=20\mathrm{cm}$。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵同圆中相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AD=BD$。
在Rt△ADB中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
将$BD=AD$、$AB=20$代入得：
$2AD^2=400$，
解得$AD=10\sqrt{2}\mathrm{cm}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$10\sqrt{2}$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的常规综合题，将圆的圆周角相关性质和直角三角形的计算结合考查，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合角平分线推出边的相等关系进而求解，解题逻辑清晰，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①首先看到AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可知△ACB是直角三角形，利用勾股定理可先求出直径AB的长度；②CD是∠ACB的角平分线，可得∠ACD=∠BCD，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可推出弧AD与弧BD相等，进而得到AD=BD；③再根据直径所对的圆周角为直角，可知△ADB也是直角三角形，结合AD=BD可判断它是等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ACB中，AC=12cm，BC=16cm，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=12^2+16^2=400$，
∴$AB=20\mathrm{cm}$。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵同圆中相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AD=BD$。
在Rt△ADB中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
将$BD=AD$、$AB=20$代入得：
$2AD^2=400$，
解得$AD=10\sqrt{2}\mathrm{cm}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$10\sqrt{2}$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的常规综合题，将圆的圆周角相关性质和直角三角形的计算结合考查，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合角平分线推出边的相等关系进而求解，解题逻辑清晰，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
8.如图，$∠ DCE$是$\odot O$的内接四边形$ABCD$的一个外角.如果$∠ DCE=72°$，那么$∠ BOD$的度数是
$144°$
.答案
8.$144°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察到∠DCE是圆内接四边形ABCD的外角，根据圆内接四边形的性质，外角等于它的内对角，可先求出∠A的度数；再结合∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠A是弧BD对应的圆周角，利用圆周角定理即可求出∠BOD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ ∠A + ∠BCD = 180°
又
∵ ∠DCE + ∠BCD = 180°（平角的定义）
∴ ∠A = ∠DCE = 72°（同角的补角相等）
∵ ∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠A是弧BD所对的圆周角
∴ 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
可得∠BOD = 2∠A = 2×72° = 144°
【答案】
144°
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是基础几何题，重点考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察到∠DCE是圆内接四边形ABCD的外角，根据圆内接四边形的性质，外角等于它的内对角，可先求出∠A的度数；再结合∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠A是弧BD对应的圆周角，利用圆周角定理即可求出∠BOD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ ∠A + ∠BCD = 180°
又
∵ ∠DCE + ∠BCD = 180°（平角的定义）
∴ ∠A = ∠DCE = 72°（同角的补角相等）
∵ ∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠A是弧BD所对的圆周角
∴ 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
可得∠BOD = 2∠A = 2×72° = 144°
【答案】
144°
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是基础几何题，重点考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9.如图，AB是$\odot O$的弦，C是$\odot O$上一点，且$∠ ACB=60°$，$OD⊥ AB$于点E，交$\odot O$于点D。若$\odot O$的半径为6，则弦AB的长为
$6\sqrt{3}$
。答案
9.$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：1. 已知圆周角∠ACB的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；2. 由OD⊥AB，结合垂径定理可知OD平分弦AB，又因为△AOB是等腰三角形，可得OD平分∠AOB，得到含特殊角的Rt△AOE；3. 在直角三角形中利用三角函数求出AE的长度，AB长度为AE的2倍，即可得最终结果。
【解析】
解：
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴根据圆周角定理，$∠ AOB=2∠ ACB=2×60°=120°$
∵$OD⊥ AB$，OD是$\odot O$的半径，$OA=OB=6$
∴根据垂径定理，$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，且OE平分$∠ AOB$
∴$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$
在$Rt△ AOE$中，$∠ AEO=90°$，$OA=6$，$∠ AOE=60°$
∴$AE=OA·\sin∠ AOE=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
∴$AB=2AE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握圆周角定理和垂径定理，通过构造特殊直角三角形将圆的问题转化为直角三角形边长计算问题，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：1. 已知圆周角∠ACB的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；2. 由OD⊥AB，结合垂径定理可知OD平分弦AB，又因为△AOB是等腰三角形，可得OD平分∠AOB，得到含特殊角的Rt△AOE；3. 在直角三角形中利用三角函数求出AE的长度，AB长度为AE的2倍，即可得最终结果。
【解析】
解：
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴根据圆周角定理，$∠ AOB=2∠ ACB=2×60°=120°$
∵$OD⊥ AB$，OD是$\odot O$的半径，$OA=OB=6$
∴根据垂径定理，$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，且OE平分$∠ AOB$
∴$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$
在$Rt△ AOE$中，$∠ AEO=90°$，$OA=6$，$∠ AOE=60°$
∴$AE=OA·\sin∠ AOE=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
∴$AB=2AE=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握圆周角定理和垂径定理，通过构造特殊直角三角形将圆的问题转化为直角三角形边长计算问题，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中,$∠ BCD=105°$,连接$OB$,$OC$,$OD$,$BD$,$∠ BOC=2∠ COD$,则$∠ CBD$的度数是
$25°$
.答案
10.$25°$
解析
【分析】
解题思路可分四步走：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠BAD的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠BAD推出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；第三步，结合已知∠BOC=2∠COD，通过角的和差关系求出∠COD的度数；第四步，再次利用圆周角定理，∠CBD是弧CD对应的圆周角，等于对应圆心角∠COD的一半，即可求出结果。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=105°$，代入得$∠ BAD=180°-105°=75°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD所对的圆周角为$∠ BAD$，圆心角为$∠ BOD$，因此$∠ BOD=2∠ BAD=2×75°=150°$。
3. 已知$∠ BOC=2∠ COD$，且$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD$，将$∠ BOC=2∠ COD$代入得：$2∠ COD+∠ COD=150°$，即$3∠ COD=150°$，解得$∠ COD=50°$。
4. $∠ CBD$是弧CD所对的圆周角，$∠ COD$是弧CD所对的圆心角，根据圆周角定理可得$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，角度运算
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，核心是熟练掌握圆内接四边形性质和圆周角定理，找准圆周角对应的圆心角即可顺利求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分四步走：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠BAD的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠BAD推出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；第三步，结合已知∠BOC=2∠COD，通过角的和差关系求出∠COD的度数；第四步，再次利用圆周角定理，∠CBD是弧CD对应的圆周角，等于对应圆心角∠COD的一半，即可求出结果。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=105°$，代入得$∠ BAD=180°-105°=75°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BD所对的圆周角为$∠ BAD$，圆心角为$∠ BOD$，因此$∠ BOD=2∠ BAD=2×75°=150°$。
3. 已知$∠ BOC=2∠ COD$，且$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD$，将$∠ BOC=2∠ COD$代入得：$2∠ COD+∠ COD=150°$，即$3∠ COD=150°$，解得$∠ COD=50°$。
4. $∠ CBD$是弧CD所对的圆周角，$∠ COD$是弧CD所对的圆心角，根据圆周角定理可得$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，角度运算
【点评】
本题属于圆的性质的基础综合题，核心是熟练掌握圆内接四边形性质和圆周角定理，找准圆周角对应的圆心角即可顺利求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$\odot O$中,弦$AB=BC=CD$,BA 和 CD 的延长线相交于点 P,且$∠ P=40°$.求$∠ ACD$的度数.
答案
11.【解】$\because AB=CD,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}.$
$\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD},$
$\therefore \overset{\frown}{BAD}=\overset{\frown}{CDA}. \therefore ∠ABC=∠DCB.$
$\therefore △PBC$ 是等腰三角形.
$\because ∠P=40°,\therefore ∠PBC=∠PCB=70°.$
$\because AB=BC,\therefore ∠BAC=∠BCA=55°.$
$\therefore ∠ACD=∠BCD-∠BCA=15°.$
$\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD},$
$\therefore \overset{\frown}{BAD}=\overset{\frown}{CDA}. \therefore ∠ABC=∠DCB.$
$\therefore △PBC$ 是等腰三角形.
$\because ∠P=40°,\therefore ∠PBC=∠PCB=70°.$
$\because AB=BC,\therefore ∠BAC=∠BCA=55°.$
$\therefore ∠ACD=∠BCD-∠BCA=15°.$
解析
【分析】
解题时先从已知的弦相等条件入手，根据同圆中等弦对等弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，进一步推导得到等弧$\overset{\frown}{BAD}=\overset{\frown}{CDA}$，再由等弧对等圆周角推出$∠ABC=∠DCB$，即可判定$△ PBC$为等腰三角形，结合$∠P=40°$求出$∠PCB$的度数；再利用$AB=BC$得到$△ ABC$为等腰三角形，求出$∠BCA$的度数，最后通过角的和差关系计算$∠ACD$即可。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，相等的弦所对的劣弧相等，$AB=CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{BAD}=\overset{\frown}{CDA}$，
∵ 同圆中相等的弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ABC=∠DCB$，
∴ $△ PBC$为等腰三角形，$∠PBC=∠PCB$，
∵ $∠P=40°$，根据三角形内角和为$180°$，
∴ $∠PBC=∠PCB=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
又
∵ $AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，
∴ $∠BAC=∠BCA=\frac{180°-∠ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$，
∴ $∠ACD=∠BCD - ∠BCA=70° - 55°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
弦弧角对等关系，等腰三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与等腰三角形的相关知识，核心是掌握同圆中弦、弧、圆周角的转化逻辑，通过角的和差关系求解未知角，能较好地考查学生的几何推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的弦相等条件入手，根据同圆中等弦对等弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，进一步推导得到等弧$\overset{\frown}{BAD}=\overset{\frown}{CDA}$，再由等弧对等圆周角推出$∠ABC=∠DCB$，即可判定$△ PBC$为等腰三角形，结合$∠P=40°$求出$∠PCB$的度数；再利用$AB=BC$得到$△ ABC$为等腰三角形，求出$∠BCA$的度数，最后通过角的和差关系计算$∠ACD$即可。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，相等的弦所对的劣弧相等，$AB=CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{BAD}=\overset{\frown}{CDA}$，
∵ 同圆中相等的弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ABC=∠DCB$，
∴ $△ PBC$为等腰三角形，$∠PBC=∠PCB$，
∵ $∠P=40°$，根据三角形内角和为$180°$，
∴ $∠PBC=∠PCB=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
又
∵ $AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，
∴ $∠BAC=∠BCA=\frac{180°-∠ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$，
∴ $∠ACD=∠BCD - ∠BCA=70° - 55°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
弦弧角对等关系，等腰三角形性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与等腰三角形的相关知识，核心是掌握同圆中弦、弧、圆周角的转化逻辑，通过角的和差关系求解未知角，能较好地考查学生的几何推导能力。
【难度系数】
0.7
12.如图，△ABC的三个顶点在⊙O上(∠BAC是钝角)，高AD，BE相交于点H，直线AD交⊙O于点F.求证:DH=DF.
答案
12.【证明】如图,连接 BF.
$\because AD,BE$ 是$△ ABC$ 的高,
$\therefore ∠H=90°-∠HBD,$
$∠C=90°-∠CBE.$
$\therefore ∠H=∠C.$
$\because ∠C=∠AFB,$
$\therefore ∠H=∠AFB. \therefore BH=BF.$
$\because AD⊥BC,\therefore DH=DF.$
解析
【分析】
要证明DH=DF，已知AD⊥BC，即BD垂直于HF，因此只需证明△BHF是等腰三角形（BH=BF），即可根据等腰三角形三线合一的性质得到结论。首先结合三角形高的性质，利用同角的余角相等推导∠H=∠C；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠AFB，进而推出∠H=∠AFB，即可证得BH=BF，最终结合垂直关系得到DH=DF。
【解析】
1. 作辅助线连接BF；
2. 由AD、BE是△ABC的高，可得∠H+∠HBD=90°，∠C+∠CBE=90°，根据同角的余角相等，推出∠H=∠C；
3. ∠C和∠AFB都是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠AFB；
4. 等量代换得∠H=∠AFB，根据等角对等边，得到BH=BF，即△BHF为等腰三角形；
5. 已知AD⊥BC，即BD是等腰△BHF底边HF上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得DH=DF。
【答案】
【证明】如图,连接 BF.
$\because AD,BE$ 是$△ ABC$ 的高,
$\therefore ∠H=90°-∠HBD,$
$∠C=90°-∠CBE.$
$\therefore ∠H=∠C.$
$\because ∠C=∠AFB,$
$\therefore ∠H=∠AFB. \therefore BH=BF.$
$\because AD⊥BC,\therefore DH=DF.$
【知识点】
同角的余角相等；圆周角定理；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是圆与三角形综合的基础证明题，解题关键是合理构造辅助线BF，将线段相等的证明转化为等腰三角形的判定，过程中用到的均为几何基础性质，逻辑连贯性强，有助于锻炼学生辅助线构造和性质综合运用的能力。
【难度系数】
0.7
要证明DH=DF，已知AD⊥BC，即BD垂直于HF，因此只需证明△BHF是等腰三角形（BH=BF），即可根据等腰三角形三线合一的性质得到结论。首先结合三角形高的性质，利用同角的余角相等推导∠H=∠C；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠AFB，进而推出∠H=∠AFB，即可证得BH=BF，最终结合垂直关系得到DH=DF。
【解析】
1. 作辅助线连接BF；
2. 由AD、BE是△ABC的高，可得∠H+∠HBD=90°，∠C+∠CBE=90°，根据同角的余角相等，推出∠H=∠C；
3. ∠C和∠AFB都是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠AFB；
4. 等量代换得∠H=∠AFB，根据等角对等边，得到BH=BF，即△BHF为等腰三角形；
5. 已知AD⊥BC，即BD是等腰△BHF底边HF上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得DH=DF。
【答案】
【证明】如图,连接 BF.
$\because AD,BE$ 是$△ ABC$ 的高,
$\therefore ∠H=90°-∠HBD,$
$∠C=90°-∠CBE.$
$\therefore ∠H=∠C.$
$\because ∠C=∠AFB,$
$\therefore ∠H=∠AFB. \therefore BH=BF.$
$\because AD⊥BC,\therefore DH=DF.$
【知识点】
同角的余角相等；圆周角定理；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是圆与三角形综合的基础证明题，解题关键是合理构造辅助线BF，将线段相等的证明转化为等腰三角形的判定，过程中用到的均为几何基础性质，逻辑连贯性强，有助于锻炼学生辅助线构造和性质综合运用的能力。
【难度系数】
0.7
