1.如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，E为$\overset{\frown}{BC}$上一点.若$∠ CEA＝28°$，则$∠ ABD$的度数是（）.

A.$14°$
B.$28°$
C.$56°$
D.$62°$

1.B

【分析】
解题时先观察题目条件：AB是圆的直径且垂直于弦CD，首先联想到垂径定理，可得到弧AC与弧AD相等；接下来要找∠CEA和∠ABD的关系，回忆圆周角定理：等弧所对的圆周角相等，∠CEA是弧AC所对的圆周角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，因此两个角相等，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$，
∴根据垂径定理，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$。
∵∠CEA是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠ABD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，
根据圆周角定理：等弧所对的圆周角相等，
∴$∠ ABD=∠ CEA=28°$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，通过等弧建立两个圆周角的等量关系，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8

2.(2024,吉林,6)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,过点B作$BE// AD$,交CD于点E.若$∠ BEC=50°$,则$∠ ABC$的度数是().

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$150°$

2.C

【分析】
解题时首先观察已知条件：存在平行线BE//AD，还有圆内接四边形ABCD。第一步先利用平行线的性质，找到与已知∠BEC相等的角，即∠ADC，得到∠ADC的度数；第二步再利用圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
∵ BE//AD，根据两直线平行，同位角相等，
∴ ∠ADC = ∠BEC = 50°，
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，圆内接四边形对角互补，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
∴ ∠ABC = 180° - 50° = 130°。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础类几何题，综合考察平行线的角性质和圆内接四边形的性质，解题的关键是通过平行线的同位角关系搭建已知角和未知角所在四边形内角的关联，再用圆内接四边形性质求解即可。
【难度系数】
0.8

3.如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB为$\odot O$的直径,$∠ABD=20°$,则$∠BCD$的度数是().

A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$

3.C

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，先利用“直径所对的圆周角为直角”的性质，得到△ABD是直角三角形，结合已知的∠ABD=20°，算出∠BAD的度数；第二步，根据圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去∠BAD的度数，即可得到∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABD中，∠ABD=20°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-20°=70°。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BCD=180°-70°=110°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，圆内接四边形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角的特征、圆内接四边形的性质，通过角度的转化即可快速求出结果。
【难度系数】
0.7

4.(2025,泸州,8)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径.若$AB=AC$,$∠ ACB=70°$,则$∠ CBD$的度数为().

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

4.B

【分析】
解题时先从已知的等腰△ABC入手，利用等腰三角形等边对等角的性质得到两个底角相等，结合三角形内角和求出∠BAC的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，得到与∠BAC同弧的∠BDC的度数；最后结合直径所对的圆周角是直角的性质，在Rt△BCD中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：①
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=70°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
②
∵∠BAC和∠BDC均为弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴∠BDC=∠BAC=40°。
③
∵BD是⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角∠BCD=90°。
④在Rt△BCD中，直角三角形两锐角互余，因此：
∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用考题，核心是通过圆周角相等实现角度的转化，结合等腰三角形和直角三角形的角度计算规律求解，解题时要找准同弧对应的圆周角，不要混淆角度关系。
【难度系数】
0.7

5.(2025,甘肃,7)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,连接BD,若$∠ ABC=70°$,则$∠ BDC$的度数为().

A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$

(第5题) (第6题)

5.C

【分析】
解题时首先回忆圆内接四边形的性质和圆周角定理：第一步，根据圆内接四边形对角互补，结合已知∠ABC的度数先求出∠ADC的度数；第二步，根据等弧所对的圆周角相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$得出∠ADB=∠BDC，即BD平分∠ADC；第三步，将∠ADC的度数除以2即可得到∠BDC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$（圆内接四边形对角互补）
已知$∠ ABC=70°$，代入得：
$∠ ADC=180° - 70°=110°$
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
∴$∠ ADB=∠ BDC$（同圆中，等弧所对的圆周角相等）
即BD平分$∠ ADC$
∴$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}×110°=55°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的对角互补，以及等弧对应的圆周角相等这两个核心性质，通过角的等量关系推导即可求出结果。
【难度系数】
0.7

6.如图，AC是$\odot O$的直径，弦$AB// DC$.若$∠ BAC=32°$，则$∠ AOD$的度数是.

6.$64°$

【分析】
解题思路如下：首先利用平行线内错角相等的性质，由AB//DC得到∠ACD与已知的∠BAC相等，再根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，找到∠ACD（圆周角）和∠AOD（同弧对应的圆心角）的数量关系，代入数值计算即可得到∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AB//DC，
∴∠ACD = ∠BAC = 32°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠ACD是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠AOD = 2∠ACD = 2×32° = 64°。
【答案】
64°
【知识点】
平行线的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础常考题，结合了平行线性质与圆的角度计算知识，解题的核心是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角，解题步骤简单，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8