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1.如图,已知A,B,C,D四点都在$\odot O$上,$OB⊥ AC$,$BC=CD$,下列四个说法:①$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{CD}$;②$AC=2CD$;③$OC⊥ BD$;④$∠ AOD=3∠ BOC$.其中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
C
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件调用圆的相关性质推导弧的等量关系：首先根据垂径定理，由OB⊥AC可推出OB平分弧AC，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$；再根据同圆中相等的弦对应相等的弧，由$BC=CD$得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，再基于弧、弦、圆心角的对应关系逐一判断4个结论是否正确即可。
【解析】
1. 推导弧的等量关系：
∵$OB⊥AC$，OB是$\odot O$的半径，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
又
∵$BC=CD$，同圆中相等的弦所对的弧相等
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$
即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$
2. 逐一判断结论：
①$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{CD}$，故①正确；
②设$\odot O$半径为r，若每段小弧的度数为$n°$，则弦长$CD=2r\sin\frac{n}{2}$，弦长$AC=2r\sin n$，显然$2r\sin n≠2×2r\sin\frac{n}{2}$（举特例验证：$n=60°$时，$CD=r$，$AC=\sqrt{3}r$，$AC≠2CD$），故②错误；
③
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，即OC平分弧BD，根据垂径定理推论，平分非直径的弧的半径垂直于弧所对的弦
∴$OC⊥BD$，故③正确；
④
∵圆心角的度数等于其所对弧的度数，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}=3\overset{\frown}{BC}$
∴$∠ AOD=3∠ BOC$，故④正确。
综上，①③④正确，共3个正确结论。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；弧弦圆心角的关系
【点评】
本题主要考查圆的基本性质的应用，解题关键是先推出三段小弧相等，再结合垂径定理和弧弦圆心角的对应关系判断结论，注意弦长和弧长的变化不成正比，避免误判②。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件调用圆的相关性质推导弧的等量关系：首先根据垂径定理，由OB⊥AC可推出OB平分弧AC，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$；再根据同圆中相等的弦对应相等的弧，由$BC=CD$得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，再基于弧、弦、圆心角的对应关系逐一判断4个结论是否正确即可。
【解析】
1. 推导弧的等量关系：
∵$OB⊥AC$，OB是$\odot O$的半径，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
又
∵$BC=CD$，同圆中相等的弦所对的弧相等
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$
即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$
2. 逐一判断结论：
①$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{CD}$，故①正确；
②设$\odot O$半径为r，若每段小弧的度数为$n°$，则弦长$CD=2r\sin\frac{n}{2}$，弦长$AC=2r\sin n$，显然$2r\sin n≠2×2r\sin\frac{n}{2}$（举特例验证：$n=60°$时，$CD=r$，$AC=\sqrt{3}r$，$AC≠2CD$），故②错误；
③
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，即OC平分弧BD，根据垂径定理推论，平分非直径的弧的半径垂直于弧所对的弦
∴$OC⊥BD$，故③正确；
④
∵圆心角的度数等于其所对弧的度数，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}=3\overset{\frown}{BC}$
∴$∠ AOD=3∠ BOC$，故④正确。
综上，①③④正确，共3个正确结论。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；弧弦圆心角的关系
【点评】
本题主要考查圆的基本性质的应用，解题关键是先推出三段小弧相等，再结合垂径定理和弧弦圆心角的对应关系判断结论，注意弦长和弧长的变化不成正比，避免误判②。
【难度系数】
0.7
2.如图，A，B，C三点在$\odot O$上，$∠ BAC=50°$，$∠ ABC=60°$，$\odot O$的直径BD交弦AC于点P，则$∠ APB$的度数是（
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$140°$
B
）.A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$140°$
答案
2.B
解析
【分析】解题时先利用三角形内角和求出△ABC中∠ACB的度数，再结合直径所对圆周角为直角的性质求出∠CAD的度数，借助同弧所对圆周角相等得到∠CBD的度数，最后根据三角形外角的性质即可求出∠APB的度数。
【解析】
解：1. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-50°-60°=70°$
2. 因为BD是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ BAD=90°$。
已知$∠ BAC=50°$，因此$∠ CAD=∠ BAD-∠ BAC=90°-50°=40°$
3. 由于$∠ CBD$和$∠ CAD$都是弧CD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ CBD=∠ CAD=40°$
4. $∠ APB$是△BPC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，可得：
$∠ APB=∠ ACB+∠ CBD=70°+40°=110°$
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；三角形外角性质
【点评】本题是圆的性质和三角形性质的综合基础题，解题核心是通过圆周角定理实现角的等量转化，将未知角和已知角建立关联求解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：1. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-50°-60°=70°$
2. 因为BD是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ BAD=90°$。
已知$∠ BAC=50°$，因此$∠ CAD=∠ BAD-∠ BAC=90°-50°=40°$
3. 由于$∠ CBD$和$∠ CAD$都是弧CD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ CBD=∠ CAD=40°$
4. $∠ APB$是△BPC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，可得：
$∠ APB=∠ ACB+∠ CBD=70°+40°=110°$
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；三角形外角性质
【点评】本题是圆的性质和三角形性质的综合基础题，解题核心是通过圆周角定理实现角的等量转化，将未知角和已知角建立关联求解。
【难度系数】0.7
3.已知$\odot O$的直径AB的长为2，弦AC的长为$\sqrt{2}$，那么弦AC所对的圆周角的度数是
$45°$或$135°$
.（第2题）答案
3.$45°$或$135°$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，因此先连接BC构造直角三角形。接下来在Rt△ABC中利用三角函数求出劣弧AC所对的一个圆周角的度数，再结合同弦所对的圆周角有两类（分别在弦的两侧，且两类圆周角互补），即可求出所有符合要求的圆周角度数，注意不要漏解。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，AB=2，AC=√2，
∴$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ABC=45°。
弦AC所对的圆周角分两种情况：
①当圆周角的顶点在优弧AC上时，圆周角度数为45°；
②当圆周角的顶点在劣弧AC上时，根据圆内接四边形对角互补，该圆周角度数为$180°-45°=135°$。
综上，弦AC所对的圆周角的度数是45°或135°。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
圆周角定理及其推论；解直角三角形；圆内接四边形的性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略弦所对的圆周角有两种位置情况，仅求出45°而漏解，解题时要结合图形全面分析弦两侧的圆周角，掌握同弦所对的两类圆周角互补的规律。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，因此先连接BC构造直角三角形。接下来在Rt△ABC中利用三角函数求出劣弧AC所对的一个圆周角的度数，再结合同弦所对的圆周角有两类（分别在弦的两侧，且两类圆周角互补），即可求出所有符合要求的圆周角度数，注意不要漏解。
【解析】
解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，AB=2，AC=√2，
∴$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ABC=45°。
弦AC所对的圆周角分两种情况：
①当圆周角的顶点在优弧AC上时，圆周角度数为45°；
②当圆周角的顶点在劣弧AC上时，根据圆内接四边形对角互补，该圆周角度数为$180°-45°=135°$。
综上，弦AC所对的圆周角的度数是45°或135°。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
圆周角定理及其推论；解直角三角形；圆内接四边形的性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略弦所对的圆周角有两种位置情况，仅求出45°而漏解，解题时要结合图形全面分析弦两侧的圆周角，掌握同弦所对的两类圆周角互补的规律。
【难度系数】
0.6
4.如图，点A，B在半径为5的$\odot O$上，$∠ AOB=60°$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，P是OB上的一个动点，则$PA+PC$的最小值是
$5\sqrt{2}$
。答案
4.$5\sqrt{2}$ 【提示】如图,作点C关于OB所在直线的对称点$C'$,连接$AC'$交OB于点P,点P即为使$PA+PC$为最小值的点.
连接$OC,OC'$,由C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠ AOB=60°$,可得$∠ COB=∠ C'OB=30°$,$\therefore∠ AOC'=90°$.
$\therefore PA+PC=PA+PC'=AC'=\sqrt{OA^2+OC'^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这是一道结合圆的性质的最短路径类几何题，解题思路可按以下步骤梳理：首先，本题属于“将军饮马”模型，要在直线OB上找动点P使PA+PC的和最小，核心方法是利用对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度。第一步作点C关于OB的对称点$C'$，根据对称性质$PC=PC'$，因此$PA+PC=PA+PC'$，当A、P、$C'$三点共线时，$PA+PC'$的最小值就是线段$AC'$的长度。第二步结合圆的性质计算角度：已知C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可得$∠ COB$是$∠ AOB$的一半，再由对称得$∠ C'OB=∠ COB$，进而推出$∠ AOC'$的度数。最后在直角三角形中用勾股定理计算$AC'$的长度，即可得到所求最小值。
【解析】
1. 作点C关于OB所在直线的对称点$C'$，连接$AC'$交OB于点P，此时$PA+PC$取得最小值（两点之间线段最短）。
2. 连接$OC$、$OC'$：
因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=60°$，所以$∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$。
根据对称的性质可得$∠ C'OB=∠ COB=30°$，且$OC'=OC=OA=5$（同圆半径相等）。
因此$∠ AOC'=∠ AOB+∠ C'OB=60°+30°=90°$，即$△ AOC'$为直角三角形。
3. 在$Rt△ AOC'$中，由勾股定理得：
$AC'=\sqrt{OA^2+OC'^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
所以$PA+PC=PA+PC'=AC'=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
1. 最短路径模型
2. 圆心角与弧的关系
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查了最短路径模型和圆的基本性质，解题关键是通过对称实现线段的转化，再结合圆心角的计算构造直角三角形求解，能较好地检验学生对几何模型的应用能力和几何综合运算能力。
【难度系数】
0.6
这是一道结合圆的性质的最短路径类几何题，解题思路可按以下步骤梳理：首先，本题属于“将军饮马”模型，要在直线OB上找动点P使PA+PC的和最小，核心方法是利用对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度。第一步作点C关于OB的对称点$C'$，根据对称性质$PC=PC'$，因此$PA+PC=PA+PC'$，当A、P、$C'$三点共线时，$PA+PC'$的最小值就是线段$AC'$的长度。第二步结合圆的性质计算角度：已知C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可得$∠ COB$是$∠ AOB$的一半，再由对称得$∠ C'OB=∠ COB$，进而推出$∠ AOC'$的度数。最后在直角三角形中用勾股定理计算$AC'$的长度，即可得到所求最小值。
【解析】
1. 作点C关于OB所在直线的对称点$C'$，连接$AC'$交OB于点P，此时$PA+PC$取得最小值（两点之间线段最短）。
2. 连接$OC$、$OC'$：
因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=60°$，所以$∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$。
根据对称的性质可得$∠ C'OB=∠ COB=30°$，且$OC'=OC=OA=5$（同圆半径相等）。
因此$∠ AOC'=∠ AOB+∠ C'OB=60°+30°=90°$，即$△ AOC'$为直角三角形。
3. 在$Rt△ AOC'$中，由勾股定理得：
$AC'=\sqrt{OA^2+OC'^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
所以$PA+PC=PA+PC'=AC'=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
1. 最短路径模型
2. 圆心角与弧的关系
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查了最短路径模型和圆的基本性质，解题关键是通过对称实现线段的转化，再结合圆心角的计算构造直角三角形求解，能较好地检验学生对几何模型的应用能力和几何综合运算能力。
【难度系数】
0.6
5.如图，A，P，B，C是$\odot O$上的四个点，$∠ APC=∠ CPB=60°$，$CP$交$AB$于点$E$.
(1)判断$△ ABC$的形状，证明你的结论.
(2)①若$P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，求证：$PC=PA+PB$；
②若$P$在$\overset{\frown}{AB}$上移动，判断$PC=PA+PB$是否成立，证明你的结论.
(1)判断$△ ABC$的形状，证明你的结论.
(2)①若$P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，求证：$PC=PA+PB$；
②若$P$在$\overset{\frown}{AB}$上移动，判断$PC=PA+PB$是否成立，证明你的结论.
答案
5.(1)【解】$△ ABC$是等边三角形.
证明:$\because∠ BAC=∠ BPC,∠ ABC=∠ APC$,
$∠ APC=∠ CPB=60°$,
$\therefore∠ BAC=∠ ABC=60°$.
$\therefore△ ABC$是等边三角形.
(2)①【证明】$\because P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
$\therefore\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PB}$.
$\therefore∠ ACP=∠ BCP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
$\therefore∠ PAC=∠ PBC=90°$.
$\therefore PA=\frac{1}{2}PC,PB=\frac{1}{2}PC$.
$\therefore PC=PA+PB$.
②【解】$PC=PA+PB$成立.
证明:如图,在PC上截取$PF=PB$,连接BF.
$\because∠ CPB=60°$,
$\therefore△ PBF$是等边三角形.
$\therefore∠ PBF=∠ ABC=60°$,
$BP=BF$.
$\therefore∠ PBA=∠ CBF$.
$\because AB=CB,\therefore△ PBA≌△ FBC(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AP=CF$.
$\therefore PC=CF+FP=PA+PB$.
解析
【分析】
(1)判断△ABC的形状可从内角角度入手，结合已知的两个60°圆周角，利用同弧所对圆周角相等的性质，推导△ABC的内角大小即可得到结论。
(2)①已知P是弧AB中点，先由等弧对应圆周角相等得到∠ACP、∠BCP的度数，再结合三角形内角和得到直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可推导线段和的关系。
②证明线段和差关系可采用截长补短法，在PC上截取与PB等长的线段，结合已知60°角构造等边三角形，再通过证明全等将PA转化为PC上的另一段，即可完成证明。
【解析】
(1)△ABC是等边三角形，证明：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此$∠ BAC=∠ BPC$，$∠ ABC=∠ APC$。
已知$∠ APC=∠ CPB=60°$，代入可得$∠ BAC=∠ ABC=60°$，因此$∠ ACB=180°-60°-60°=60°$，△ABC三个内角均为60°，故为等边三角形。
(2)①证明：
$\because P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PB}$，等弧所对圆周角相等，因此$∠ ACP=∠ BCP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。
在$△ PAC$中，$∠ APC=60°$，$∠ ACP=30°$，$\therefore ∠ PAC=90°$，同理可得$∠ PBC=90°$。
根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，得$PA=\frac{1}{2}PC$，$PB=\frac{1}{2}PC$，因此$PA+PB=\frac{1}{2}PC+\frac{1}{2}PC=PC$，即$PC=PA+PB$。
②$PC=PA+PB$成立，证明：
在PC上截取$PF=PB$，连接BF。
$\because ∠ CPB=60°$，$PF=PB$，$\therefore △ PBF$是等边三角形，因此$∠ PBF=60°$，$BP=BF$。
由(1)知△ABC是等边三角形，故$∠ ABC=60°$，$AB=CB$，因此$∠ PBF=∠ ABC$，等式两边同时减去$∠ ABF$得$∠ PBA=∠ CBF$。
在$△ PBA$和$△ FBC$中：
$\begin{cases} BP=BF \\ ∠ PBA=∠ CBF \\ AB=CB \end{cases}$
$\therefore △ PBA≌△ FBC(\mathrm{SAS})$，因此$AP=CF$。
$\because PC=CF+FP$，且$FP=PB$，$\therefore PC=PA+PB$。
【答案】
(1)$△ ABC$是等边三角形，证明如下：
$\because∠ BAC=∠ BPC,∠ ABC=∠ APC$,
$∠ APC=∠ CPB=60°$,
$\therefore∠ BAC=∠ ABC=60°$.
$\therefore△ ABC$是等边三角形.
(2)①证明：
$\because P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
$\therefore\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PB}$.
$\therefore∠ ACP=∠ BCP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
$\therefore∠ PAC=∠ PBC=90°$.
$\therefore PA=\frac{1}{2}PC,PB=\frac{1}{2}PC$.
$\therefore PC=PA+PB$.
②$PC=PA+PB$成立，证明如下：
如图,在PC上截取$PF=PB$,连接BF.
$\because∠ CPB=60°$,
$\therefore△ PBF$是等边三角形.
$\therefore∠ PBF=∠ ABC=60°$,
$BP=BF$.
$\therefore∠ PBA=∠ CBF$.
$\because AB=CB,\therefore△ PBA≌△ FBC(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AP=CF$.
$\therefore PC=CF+FP=PA+PB$.
【知识点】
圆周角定理、等边三角形判定与性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，第一问难度较低，直接利用圆周角的性质即可求解；第二问考查线段和差关系的证明，截长补短法是这类问题的常用解题思路，需要结合已知的特殊角构造等边三角形和全等三角形完成推导，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1)判断△ABC的形状可从内角角度入手，结合已知的两个60°圆周角，利用同弧所对圆周角相等的性质，推导△ABC的内角大小即可得到结论。
(2)①已知P是弧AB中点，先由等弧对应圆周角相等得到∠ACP、∠BCP的度数，再结合三角形内角和得到直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可推导线段和的关系。
②证明线段和差关系可采用截长补短法，在PC上截取与PB等长的线段，结合已知60°角构造等边三角形，再通过证明全等将PA转化为PC上的另一段，即可完成证明。
【解析】
(1)△ABC是等边三角形，证明：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此$∠ BAC=∠ BPC$，$∠ ABC=∠ APC$。
已知$∠ APC=∠ CPB=60°$，代入可得$∠ BAC=∠ ABC=60°$，因此$∠ ACB=180°-60°-60°=60°$，△ABC三个内角均为60°，故为等边三角形。
(2)①证明：
$\because P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PB}$，等弧所对圆周角相等，因此$∠ ACP=∠ BCP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。
在$△ PAC$中，$∠ APC=60°$，$∠ ACP=30°$，$\therefore ∠ PAC=90°$，同理可得$∠ PBC=90°$。
根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，得$PA=\frac{1}{2}PC$，$PB=\frac{1}{2}PC$，因此$PA+PB=\frac{1}{2}PC+\frac{1}{2}PC=PC$，即$PC=PA+PB$。
②$PC=PA+PB$成立，证明：
在PC上截取$PF=PB$，连接BF。
$\because ∠ CPB=60°$，$PF=PB$，$\therefore △ PBF$是等边三角形，因此$∠ PBF=60°$，$BP=BF$。
由(1)知△ABC是等边三角形，故$∠ ABC=60°$，$AB=CB$，因此$∠ PBF=∠ ABC$，等式两边同时减去$∠ ABF$得$∠ PBA=∠ CBF$。
在$△ PBA$和$△ FBC$中：
$\begin{cases} BP=BF \\ ∠ PBA=∠ CBF \\ AB=CB \end{cases}$
$\therefore △ PBA≌△ FBC(\mathrm{SAS})$，因此$AP=CF$。
$\because PC=CF+FP$，且$FP=PB$，$\therefore PC=PA+PB$。
【答案】
(1)$△ ABC$是等边三角形，证明如下：
$\because∠ BAC=∠ BPC,∠ ABC=∠ APC$,
$∠ APC=∠ CPB=60°$,
$\therefore∠ BAC=∠ ABC=60°$.
$\therefore△ ABC$是等边三角形.
(2)①证明：
$\because P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
$\therefore\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PB}$.
$\therefore∠ ACP=∠ BCP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
$\therefore∠ PAC=∠ PBC=90°$.
$\therefore PA=\frac{1}{2}PC,PB=\frac{1}{2}PC$.
$\therefore PC=PA+PB$.
②$PC=PA+PB$成立，证明如下：
如图,在PC上截取$PF=PB$,连接BF.
$\because∠ CPB=60°$,
$\therefore△ PBF$是等边三角形.
$\therefore∠ PBF=∠ ABC=60°$,
$BP=BF$.
$\therefore∠ PBA=∠ CBF$.
$\because AB=CB,\therefore△ PBA≌△ FBC(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AP=CF$.
$\therefore PC=CF+FP=PA+PB$.
【知识点】
圆周角定理、等边三角形判定与性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，第一问难度较低，直接利用圆周角的性质即可求解；第二问考查线段和差关系的证明，截长补短法是这类问题的常用解题思路，需要结合已知的特殊角构造等边三角形和全等三角形完成推导，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
