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7.如图,点A,B,C均在$\odot O$上,当$∠ OBC=40°$时,$∠ A$的度数是
50°
.答案
7.$50°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，OB、OC都是圆的半径，长度相等，因此△OBC是等腰三角形，已知底角∠OBC的度数，可求出另一个底角∠OCB，再结合三角形内角和定理求出圆心角∠BOC的度数；第二步，∠A和∠BOC是同一段弧BC所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ OB、OC是⊙O的半径
∴ OB=OC
∴ △OBC为等腰三角形，∠OCB=∠OBC=40°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°
又
∵ ∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得：
∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×100°=50°
【答案】
50°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础常考题，核心是结合等腰三角形的性质和圆周角定理求解角度，解题的关键是先利用半径相等得到等腰三角形，求出对应圆心角的度数，再通过圆周角和圆心角的关系得到结果。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，OB、OC都是圆的半径，长度相等，因此△OBC是等腰三角形，已知底角∠OBC的度数，可求出另一个底角∠OCB，再结合三角形内角和定理求出圆心角∠BOC的度数；第二步，∠A和∠BOC是同一段弧BC所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ OB、OC是⊙O的半径
∴ OB=OC
∴ △OBC为等腰三角形，∠OCB=∠OBC=40°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°
又
∵ ∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得：
∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×100°=50°
【答案】
50°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础常考题，核心是结合等腰三角形的性质和圆周角定理求解角度，解题的关键是先利用半径相等得到等腰三角形，求出对应圆心角的度数，再通过圆周角和圆心角的关系得到结果。
【难度系数】
0.8
8.如图，AB为$\odot O$的直径，弦CD和AB相交.若$∠ BCD = 30°$，则$∠ ABD$的度数是________.
答案
8.$60°$
解析
【分析】
解题时首先关注题干中“AB为⊙O的直径”这一条件，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，因此可构造辅助线连接AD得到直角∠ADB；再观察已知角∠BCD和待求角所在的三角形中的角的关系，发现∠BCD和∠BAD是同弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理可推出二者相等，得到∠BAD的度数；最后在直角三角形ABD中利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠ABD的度数。
【解析】
解：连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）
∵∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角
∴∠BAD=∠BCD=30°（同弧所对的圆周角相等）
在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°
∴∠ABD=90°-30°=60°
【答案】
$60°$
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查圆周角定理及推论的应用，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等这两个圆中常用的角度推导结论，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先关注题干中“AB为⊙O的直径”这一条件，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，因此可构造辅助线连接AD得到直角∠ADB；再观察已知角∠BCD和待求角所在的三角形中的角的关系，发现∠BCD和∠BAD是同弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理可推出二者相等，得到∠BAD的度数；最后在直角三角形ABD中利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠ABD的度数。
【解析】
解：连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）
∵∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角
∴∠BAD=∠BCD=30°（同弧所对的圆周角相等）
在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°
∴∠ABD=90°-30°=60°
【答案】
$60°$
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查圆周角定理及推论的应用，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等这两个圆中常用的角度推导结论，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
9.如图，在$\odot O$中，弦AB，CD所对的圆心角分别是$∠ AOB$，$∠ COD$.若$∠ AOB$和$∠ COD$互补，且$AB=2$，$CD=4$，则$\odot O$的半径是
$\sqrt{5}$
.答案
9.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
题目给出两个互补的圆心角，以及它们所对的弦长，我们可以利用互补角的性质，结合圆的性质构造辅助线：延长AO交圆于点E，连接BE，此时∠BOE与∠AOB互补，可推得∠BOE=∠COD，根据同圆中相等圆心角对应弦相等，得到BE=CD；再利用直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABE，最后通过勾股定理求出直径，即可得到半径长度。
【解析】
解：延长AO交$\odot O$于点E，连接BE。
∵ AE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABE=90°$（直径所对的圆周角为直角），且$∠ AOB + ∠ BOE = 180°$。
∵ $∠ AOB$与$∠ COD$互补，即$∠ AOB + ∠ COD = 180°$，
∴ $∠ BOE = ∠ COD$。
∵ 同圆中相等的圆心角所对的弦相等，
∴ $BE = CD = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=2$，$BE=4$，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
∴ $\odot O$的半径为$\frac{AE}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
圆心角与弦的关系，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合运用，解题的关键是通过构造直径，将互补的圆心角转化为相等的圆心角，再结合直角三角形的性质求解，解题时要注意条件的灵活转化。
【难度系数】
0.6
题目给出两个互补的圆心角，以及它们所对的弦长，我们可以利用互补角的性质，结合圆的性质构造辅助线：延长AO交圆于点E，连接BE，此时∠BOE与∠AOB互补，可推得∠BOE=∠COD，根据同圆中相等圆心角对应弦相等，得到BE=CD；再利用直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABE，最后通过勾股定理求出直径，即可得到半径长度。
【解析】
解：延长AO交$\odot O$于点E，连接BE。
∵ AE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABE=90°$（直径所对的圆周角为直角），且$∠ AOB + ∠ BOE = 180°$。
∵ $∠ AOB$与$∠ COD$互补，即$∠ AOB + ∠ COD = 180°$，
∴ $∠ BOE = ∠ COD$。
∵ 同圆中相等的圆心角所对的弦相等，
∴ $BE = CD = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=2$，$BE=4$，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
∴ $\odot O$的半径为$\frac{AE}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
圆心角与弦的关系，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合运用，解题的关键是通过构造直径，将互补的圆心角转化为相等的圆心角，再结合直角三角形的性质求解，解题时要注意条件的灵活转化。
【难度系数】
0.6
10.(2024,陕西,11)如图,BC是$\odot O$的弦,连接OB,OC,$∠ A$是BC所对的圆周角,则$∠ A$与$∠ OBC$的和的度数是
90°
.答案
10.$90°$
解析
【分析】
要求∠A与∠OBC的和，可结合圆周角定理与三角形内角和定理推导：首先，∠A是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，由圆周角定理可得到∠A与∠BOC的数量关系；其次OB、OC均为圆的半径，故△OBC为等腰三角形，两底角∠OBC=∠OCB；最后结合三角形内角和为180°，对角度做等量代换即可求出两角之和。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得：
$∠ A = \frac{1}{2}∠ BOC$
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径
∴ $OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，$∠ OBC = ∠ OCB$
在$△ OBC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOC + ∠ OBC + ∠ OCB = 180°$
将$∠ OCB=∠ OBC$、$∠ BOC=2∠ A$代入上式：
$2∠ A + 2∠ OBC = 180°$
两边同时除以2得：$∠ A + ∠ OBC = 90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题，解题的核心是利用圆周角定理实现圆周角和圆心角的转化，再结合等腰三角形的角度关系推导即可，是圆相关性质考查的常见题型。
【难度系数】
0.8
要求∠A与∠OBC的和，可结合圆周角定理与三角形内角和定理推导：首先，∠A是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，由圆周角定理可得到∠A与∠BOC的数量关系；其次OB、OC均为圆的半径，故△OBC为等腰三角形，两底角∠OBC=∠OCB；最后结合三角形内角和为180°，对角度做等量代换即可求出两角之和。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得：
$∠ A = \frac{1}{2}∠ BOC$
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径
∴ $OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，$∠ OBC = ∠ OCB$
在$△ OBC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOC + ∠ OBC + ∠ OCB = 180°$
将$∠ OCB=∠ OBC$、$∠ BOC=2∠ A$代入上式：
$2∠ A + 2∠ OBC = 180°$
两边同时除以2得：$∠ A + ∠ OBC = 90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题，解题的核心是利用圆周角定理实现圆周角和圆心角的转化，再结合等腰三角形的角度关系推导即可，是圆相关性质考查的常见题型。
【难度系数】
0.8
11.如图，AB是$\odot O$的直径，BD是$\odot O$的弦，C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，$∠ BCD=120°$，$DC=6$，求$\odot O$的半径和弦AC的长.
答案
11.【解】$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点,$\therefore\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$.
$\therefore∠ BDC=∠ DBC,BC=DC=6$.
$\because∠ BCD=120°,\therefore∠ BDC=∠ DBC=30°$.
$\because∠ BAC=∠ BDC,\therefore∠ BAC=30°$.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore∠ ACB=90°$.
$\therefore AB=2BC=12.\therefore\odot O$的半径为6.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=12,BC=6$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=6\sqrt{3}$.
$\therefore∠ BDC=∠ DBC,BC=DC=6$.
$\because∠ BCD=120°,\therefore∠ BDC=∠ DBC=30°$.
$\because∠ BAC=∠ BDC,\therefore∠ BAC=30°$.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore∠ ACB=90°$.
$\therefore AB=2BC=12.\therefore\odot O$的半径为6.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=12,BC=6$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=6\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件“C是$\overset{\frown}{BD}$的中点”入手，利用弧中点的性质得到等弧对应的弦相等、圆周角相等，先在$△ BCD$中求出底角度数和BC的长度；再借助圆周角定理将角的关系转移到直径AB所对的直角三角形$ACB$中，利用30°直角三角形的性质求出直径，进而得到半径，最后用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，$\therefore\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore∠BDC=∠DBC$，$BC=DC=6$。
$\because∠BCD=120°$，在$△ BCD$中根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore∠BDC=∠DBC=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，$∠BAC$与$∠BDC$均对应$\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore∠BAC=∠BDC=30°$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
$\therefore∠ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，30°角所对直角边是斜边的一半，
$\therefore AB=2BC=2×6=12$，即$\odot O$的半径为$\frac{12}{2}=6$。
再由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$\boldsymbol{6}$，弦$AC$的长为$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$。
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，解题关键是熟练运用弧中点性质、圆周角定理完成边角关系的转化，结合直径的性质构造直角三角形求解，能够有效考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“C是$\overset{\frown}{BD}$的中点”入手，利用弧中点的性质得到等弧对应的弦相等、圆周角相等，先在$△ BCD$中求出底角度数和BC的长度；再借助圆周角定理将角的关系转移到直径AB所对的直角三角形$ACB$中，利用30°直角三角形的性质求出直径，进而得到半径，最后用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，$\therefore\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore∠BDC=∠DBC$，$BC=DC=6$。
$\because∠BCD=120°$，在$△ BCD$中根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore∠BDC=∠DBC=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，$∠BAC$与$∠BDC$均对应$\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore∠BAC=∠BDC=30°$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
$\therefore∠ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，30°角所对直角边是斜边的一半，
$\therefore AB=2BC=2×6=12$，即$\odot O$的半径为$\frac{12}{2}=6$。
再由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$\odot O$的半径为$\boldsymbol{6}$，弦$AC$的长为$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$。
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，解题关键是熟练运用弧中点性质、圆周角定理完成边角关系的转化，结合直径的性质构造直角三角形求解，能够有效考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12.如图，AB是$\odot O$的直径，作AB和弦CD的延长线交于点P.若$∠ CAP=60°$，$∠ P=20°$，求$∠ DAP$的度数.
答案
12.【解】如图,连接BC.
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ ACB=90°$.
又$∠ CAP=60°$，
$\therefore∠ ABC=30°$.
$\because∠ ABC=∠ BCP+∠ P,∠ P=20°$,
$\therefore∠ BCP=∠ ABC-∠ P=10°$.
$\therefore∠ DAP=∠ BCP=10°$.
解析
【分析】
解题时首先关注题干中“AB是$\odot O$的直径”这一条件，可联想到直径所对的圆周角为直角，因此优先考虑连接BC构造直角三角形ACB。要求$∠DAP$的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可知$∠DAP$与$∠BCP$相等，因此只需先求出$∠BCP$的度数即可。先在直角三角形ACB中利用内角和计算$∠ABC$的度数，再结合三角形外角的性质，用$∠ABC$减去$∠P$的度数就能得到$∠BCP$，最终推出$∠DAP$的大小。
【解析】
如图，连接BC。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ ACB=90°$。
又$∠ CAP=60°$，
$\therefore∠ ABC=180°-∠ACB-∠CAP=30°$。
$\because∠ ABC$是$△ BCP$的外角，满足$∠ ABC=∠ BCP+∠ P$，且$∠ P=20°$,
$\therefore∠ BCP=∠ ABC-∠ P=30°-20°=10°$。
根据圆周角定理，同弧BD所对的圆周角相等，
$\therefore∠ DAP=∠ BCP=10°$。
【答案】
$∠DAP=10°$
【知识点】
直径所对圆周角性质，三角形外角性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造直径所对的直角三角形，结合三角形外角性质和圆周角定理完成角度的转化与计算，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时首先关注题干中“AB是$\odot O$的直径”这一条件，可联想到直径所对的圆周角为直角，因此优先考虑连接BC构造直角三角形ACB。要求$∠DAP$的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可知$∠DAP$与$∠BCP$相等，因此只需先求出$∠BCP$的度数即可。先在直角三角形ACB中利用内角和计算$∠ABC$的度数，再结合三角形外角的性质，用$∠ABC$减去$∠P$的度数就能得到$∠BCP$，最终推出$∠DAP$的大小。
【解析】
如图，连接BC。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ ACB=90°$。
又$∠ CAP=60°$，
$\therefore∠ ABC=180°-∠ACB-∠CAP=30°$。
$\because∠ ABC$是$△ BCP$的外角，满足$∠ ABC=∠ BCP+∠ P$，且$∠ P=20°$,
$\therefore∠ BCP=∠ ABC-∠ P=30°-20°=10°$。
根据圆周角定理，同弧BD所对的圆周角相等，
$\therefore∠ DAP=∠ BCP=10°$。
【答案】
$∠DAP=10°$
【知识点】
直径所对圆周角性质，三角形外角性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造直径所对的直角三角形，结合三角形外角性质和圆周角定理完成角度的转化与计算，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
