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12.等分圆是指将一个圆周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对应的圆心角相等.小南学习了等分圆后，尝试着编了一道题:如图，已知$\odot O$的半径为2，点$A,B,C,D,E,F$将$\odot O$六等分，连接$AB,AF,CA,CF$，发现$CF$恰好过圆心$O$，过点$C$作$AB$的垂线，交$AB$的延长线于点$G$，连接$FG$.
(1)求证:$CG$是$\odot O$的切线;
(2)求$FG$的长.
(1)求证:$CG$是$\odot O$的切线;
(2)求$FG$的长.
答案
12.(1)【证明】如图,连接$OA,OB$。
$\because CG⊥ AG,\therefore ∠ AGC=90°$。
$\because$点$A,B,C,D,E,F$是$O$的六等分点，
$\therefore ∠ AOF=∠ AOB=∠ BOC=\frac{360°}{6}=60°$。
在$\odot O$中,$∠ ACF=\frac{1}{2}∠ AOF,∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
$\therefore ∠ ACF=∠ BAC=30°.\therefore AB// CF$。
$\therefore ∠ AGC+∠ FCG=180°$。
$\therefore ∠ FCG=180°-∠ AGC=90°$。
$\therefore ∠ FCG=90°$,即$FC⊥ CG$。
$\therefore CG$是$\odot O$的切线。
(2)【解】如图,连接$BC$。
$\because OA=OB=2,∠ BOC=60°$，
$\therefore △ BOC$是等边三角形。
$\therefore ∠ OCB=60°,BC=OB=OC=2$。
$\because ∠ OCG=90°$，
$\therefore ∠ BCG=90°-∠ OCB=30°$。
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BGC$中,$BG=\frac{1}{2}BC=1$。
$\therefore CG=\sqrt{BC^2-BG^2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ FCG$中,可得$FG=\sqrt{FC^2+CG^2}=\sqrt{19}$。
解析
【分析】
(1) 要证CG是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证CG垂直于过点C的半径OC，即FC⊥CG。已知CG⊥AB，因此只需推导AB//CF即可。结合六等分圆的性质，每个弧对应的圆心角为60°，利用圆周角定理可得∠BAC=∠ACF=30°，内错角相等推出AB//CF，进而得到FC⊥CG，完成切线证明。
(2) 求FG的长度时，观察到△FCG是直角三角形，FC为⊙O的直径，长度为4，因此只需算出CG的长度即可用勾股定理求解FG。先由六等分圆的性质得△BOC为等边三角形，求出BC=2，再结合∠BCG=30°，在Rt△BGC中用勾股定理算出CG=√3，最后在Rt△FCG中计算FG的长度即可。
【解析】
(1) 证明：连接$OA,OB$。
$\because CG⊥ AG,\therefore ∠ AGC=90°$。
$\because$点$A,B,C,D,E,F$是$\odot O$的六等分点，
$\therefore ∠ AOF=∠ AOB=∠ BOC=\frac{360°}{6}=60°$。
在$\odot O$中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此$∠ ACF=\frac{1}{2}∠ AOF,∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
$\therefore ∠ ACF=∠ BAC=30°$，内错角相等，两直线平行，$\therefore AB// CF$。
$\therefore ∠ AGC+∠ FCG=180°$，
$\therefore ∠ FCG=180°-∠ AGC=90°$，即$FC⊥ CG$。
$\because FC$过圆心$O$，$OC$是$\odot O$的半径，$\therefore CG$是$\odot O$的切线。
(2) 解：连接$BC$。
$\because \odot O$的半径为2，$\therefore OB=OC=2$，直径$FC=2×2=4$。
$\because ∠ BOC=60°,OB=OC$，
$\therefore △ BOC$是等边三角形，
$\therefore ∠ OCB=60°,BC=OB=OC=2$。
$\because ∠ OCG=90°$，
$\therefore ∠ BCG=90°-∠ OCB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BGC$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=1$，
由勾股定理得$CG=\sqrt{BC^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ FCG$中，由勾股定理得$FG=\sqrt{FC^2+CG^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+3}=\sqrt{19}$。
【答案】
(1) 证明成立，CG是$\odot O$的切线
(2) $FG=\sqrt{19}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题以等分圆为载体，综合考查了圆的基本性质、切线的判定方法以及直角三角形的相关计算，解题时需要熟练掌握圆心角与圆周角的关系、切线的判定条件，能够结合特殊三角形的性质和勾股定理求解线段长度，是典型的圆与几何计算结合的基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证CG是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证CG垂直于过点C的半径OC，即FC⊥CG。已知CG⊥AB，因此只需推导AB//CF即可。结合六等分圆的性质，每个弧对应的圆心角为60°，利用圆周角定理可得∠BAC=∠ACF=30°，内错角相等推出AB//CF，进而得到FC⊥CG，完成切线证明。
(2) 求FG的长度时，观察到△FCG是直角三角形，FC为⊙O的直径，长度为4，因此只需算出CG的长度即可用勾股定理求解FG。先由六等分圆的性质得△BOC为等边三角形，求出BC=2，再结合∠BCG=30°，在Rt△BGC中用勾股定理算出CG=√3，最后在Rt△FCG中计算FG的长度即可。
【解析】
(1) 证明：连接$OA,OB$。
$\because CG⊥ AG,\therefore ∠ AGC=90°$。
$\because$点$A,B,C,D,E,F$是$\odot O$的六等分点，
$\therefore ∠ AOF=∠ AOB=∠ BOC=\frac{360°}{6}=60°$。
在$\odot O$中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此$∠ ACF=\frac{1}{2}∠ AOF,∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
$\therefore ∠ ACF=∠ BAC=30°$，内错角相等，两直线平行，$\therefore AB// CF$。
$\therefore ∠ AGC+∠ FCG=180°$，
$\therefore ∠ FCG=180°-∠ AGC=90°$，即$FC⊥ CG$。
$\because FC$过圆心$O$，$OC$是$\odot O$的半径，$\therefore CG$是$\odot O$的切线。
(2) 解：连接$BC$。
$\because \odot O$的半径为2，$\therefore OB=OC=2$，直径$FC=2×2=4$。
$\because ∠ BOC=60°,OB=OC$，
$\therefore △ BOC$是等边三角形，
$\therefore ∠ OCB=60°,BC=OB=OC=2$。
$\because ∠ OCG=90°$，
$\therefore ∠ BCG=90°-∠ OCB=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BGC$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=1$，
由勾股定理得$CG=\sqrt{BC^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ FCG$中，由勾股定理得$FG=\sqrt{FC^2+CG^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+3}=\sqrt{19}$。
【答案】
(1) 证明成立，CG是$\odot O$的切线
(2) $FG=\sqrt{19}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题以等分圆为载体，综合考查了圆的基本性质、切线的判定方法以及直角三角形的相关计算，解题时需要熟练掌握圆心角与圆周角的关系、切线的判定条件，能够结合特殊三角形的性质和勾股定理求解线段长度，是典型的圆与几何计算结合的基础题。
【难度系数】
0.7
