5.如图,将$\odot O$的圆周12等分,点A,B,C是等分点,若$∠ CBD=15°$,则$∠ ADB$的度数为().

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

(第5题) (第6题) (第7题)

5.D

【分析】
首先利用圆周12等分的条件，算出每等份弧的度数，再结合圆周角定理得到每等份弧对应的圆周角度数。要求∠ADB的度数，可利用三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即∠ADB=∠ACB+∠CBD，因此只需先求出∠ACB的度数即可。∠ACB是劣弧AB对应的圆周角，先计算劣弧AB的度数，再通过圆周角定理得到∠ACB的度数，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\odot O$的圆周被12等分，
∴每等份弧的度数为$\frac{360°}{12}=30°$，
由圆周角定理可得，每等份弧对应的圆周角度数为$\frac{30°}{2}=15°$。
观察图形可知劣弧AB共占4等份，
∴劣弧AB的度数为$4×30°=120°$，
∵∠ACB是劣弧AB所对的圆周角，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
∵∠ADB是$△ BCD$的外角，
∴$∠ ADB=∠ ACB+∠ CBD$，
将$∠ CBD=15°$代入得：
$∠ ADB=60°+15°=75°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，正多边形与圆
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题关键是结合圆周等分的特点求出对应弧的度数，再灵活运用圆周角定理和三角形外角性质求解，解题时要注意找准圆周角对应的弧，避免出错。
【难度系数】
0.7

6.如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若$OA=2$,则四叶幸运草的周长是.

6.$4\sqrt{2}π$

【分析】
解决本题首先要明确不规则图形周长的构成，观察可知四叶幸运草的周长由4个完全相同的半圆弧组成，可转化为2个整圆的周长计算。接下来需要确定半圆的直径：本题图形是四等分半径为2的圆得到的，相邻分点与中心O的连线夹角为90°、长度均为2，用勾股定理即可求出相邻分点连线的长度，也就是半圆的直径。最后代入圆的周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，四叶幸运草的周长等于4个相等的半圆弧长之和，等价于2个整圆的周长。
∵原圆半径$OA=2$，四等分圆周后相邻两个分点与中心O的连线夹角为$90°$，
∴相邻两个分点的连线长度（即半圆的直径）为：$\sqrt{OA^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴对应圆的半径$r=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
∴四叶幸运草的周长为：$2×2π r=2×2π×\sqrt{2}=4\sqrt{2}π$。
【答案】
$4\sqrt{2}π$
【知识点】
正多边形与圆、勾股定理、圆的周长计算
【点评】
本题考察不规则图形周长的计算，解题核心是运用转化思想，将未知的不规则图形周长转化为规则的圆的周长计算，同时需要结合正多边形性质和勾股定理求出对应圆的半径，对学生的图形观察能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

7.如图，$\odot O$是正五边形$ABCDE$的内切圆，点$M$，$N$，$F$分别是边$AE$，$AB$，$CD$与$\odot O$的切点，则$∠ MFN$的度数为 °。

7.36

【分析】
要计算圆周角$∠ MFN$的度数，根据圆周角定理，可先求同弧所对的圆心角$∠ MON$的度数。首先利用正多边形内角公式算出正五边形的内角$∠ A$的度数，再结合切线的性质（切线垂直于过切点的半径）得到$ON⊥ AB$、$OM⊥ AE$，在四边形$ANOM$中利用内角和求出$∠ MON$，最后用圆周角定理即可算出$∠ MFN$的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角：正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ A=108°$。
2. 由切线的性质可知：$ON$是过切点$N$的半径，$AB$是$\odot O$的切线，故$ON⊥ AB$，同理$OM⊥ AE$，因此$∠ ANO=∠ AMO=90°$。
3. 四边形$ANOM$内角和为$360°$，因此$∠ MON=360°-∠ A-∠ ANO-∠ AMO=360°-108°-90°-90°=72°$。
4. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$∠ MFN$是弧$MN$所对的圆周角，$∠ MON$是弧$MN$所对的圆心角，故$∠ MFN=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
36
【知识点】
正多边形内角计算、切线的性质、圆周角定理
【点评】
本题综合考查正多边形与圆的相关性质，解题核心是将所求圆周角转化为对应圆心角的计算，需要熟练掌握切线性质和圆周角定理的灵活应用。
【难度系数】
0.7

8.如图,无人机巡检基站时,以基站中心O为圆心作圆形巡检区域,按八个方位将圆八等分(等分点为A～H),连接AF,AB,FC,则∠FAB−∠AFC的度数为°.

8.45

【分析】
要解决这道题，首先利用圆八等分的条件，求出每一段等分弧的度数，再结合圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，分别将∠FAB和∠AFC转化为对应弧的度数的一半，最后计算两个角的差即可。
【解析】
∵ 将圆八等分，
∴ 每段弧的度数为 $ 360° ÷ 8 = 45° $。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∠FAB所对的弧是弧FB，弧FB包含4段等分弧，因此弧FB的度数为 $ 4 × 45° = 180° $，
∴ $ ∠ FAB = \frac{1}{2} × 180° = 90° $。
∠AFC所对的弧是弧AC，弧AC包含2段等分弧，因此弧AC的度数为 $ 2 × 45° = 90° $，
∴ $ ∠ AFC = \frac{1}{2} × 90° = 45° $。
因此 $ ∠ FAB - ∠ AFC = 90° - 45° = 45° $。
【答案】
45
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握圆周角定理，结合八等分圆后每段弧度数相等的特点，将圆周角的计算转化为对应弧的度数计算，思路直接，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7

9.如图,将$\odot O$的圆周12等分,圆内接矩形$ABCD$的面积为20,则圆内接正六边形的面积为.

9.30

【分析】
解题时先根据圆周12等分求出每一等份对应的圆心角，再观察矩形相邻两边对应的弧的份数，得到对应圆心角，用半径r表示出矩形的长和宽，结合矩形面积求出√3 r²的值；再回忆圆内接正六边形的面积公式，将√3 r²整体代入即可求出结果，无需单独计算半径r，简化计算过程。
【解析】
解：
∵把⊙O的圆周12等分，
∴每一等份弧对应的圆心角为$360°÷12=30°$，设⊙O的半径为$r$。
由图可知，边$AB$对应2等份弧，因此弧$AB$对应的圆心角为$2×30°=60°$，
∵$OA=OB=r$，$∠ AOB=60°$，
∴$△ OAB$是等边三角形，即$AB=r$。
边$BC$对应4等份弧，因此弧$BC$对应的圆心角为$4×30°=120°$，
根据弦长公式，$BC=2r·\sin(\frac{120°}{2})=2r·\sin60°=\sqrt{3}r$。
∵矩形$ABCD$的面积为20，
∴$AB· BC = r·\sqrt{3} r = \sqrt{3} r^2 =20$。
圆内接正六边形可以分割为6个边长为$r$的等边三角形，
每个等边三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$，因此正六边形的面积为：
$6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$。
将$\sqrt{3} r^2=20$代入得：$\frac{3}{2}×20=30$。
【答案】
30
【知识点】
正多边形与圆；弦长计算；矩形面积计算
【点评】
本题是正多边形和圆结合的典型题型，解题的关键是结合圆周等分的特点得到对应弧的圆心角，同时利用整体代入的思想计算，避免单独求解半径带来的复杂运算，能很好地考察学生的图形观察能力和整体运算意识。
【难度系数】
0.6

10.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积为。

10.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
解题思路分为三步：①首先回忆圆内接正多边形的相关性质，圆的半径、正多边形的边心距、边长的一半可构成直角三角形，可据此计算边心距；②分别求出半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距；③验证三个边心距的数量关系，判断三角形形状后计算面积。
【解析】
设已知圆的半径$ R=2 $，分别计算三种内接正多边形的边心距：
1. 内接正三角形的边心距$ d_1 $：
正三角形的中心角为$ \frac{360°}{3}=120° $，中心角的一半为$ 60° $，在半径、边心距、半边长构成的直角三角形中：
$ d_1 = R · \cos60° = 2 × \frac{1}{2}=1 $
2. 内接正方形的边心距$ d_2 $：
正方形的中心角为$ \frac{360°}{4}=90° $，中心角的一半为$ 45° $，同理：
$ d_2 = R · \cos45° =2 × \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} $
3. 内接正六边形的边心距$ d_3 $：
正六边形的中心角为$ \frac{360°}{6}=60° $，中心角的一半为$ 30° $，同理：
$ d_3 = R · \cos30° =2 × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} $
验证三边关系：$ 1^2 + (\sqrt{2})^2 =1+2=3=(\sqrt{3})^2 $，由勾股定理逆定理可知，该三角形是直角三角形，两条直角边长为1和$ \sqrt{2} $。
因此三角形面积$ S=\frac{1}{2} × 1 × \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} $
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
正多边形边心距计算，勾股定理逆定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础综合题，解题核心是熟练掌握正多边形边心距的计算方法，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状即可求解，难度不大，主要考察基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7

11.阅读与思考
下面是一个同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
六等分圆原理,也称为圆周六等分问题,是一个古老而经典的几何问题,旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中进行了详细的阐述.例:如图,在平面直角坐标系中,点C与原点O重合,点D在x轴的正半轴上且坐标为$(2,0)$.
操作步骤:
①分别以点C,D为圆心,CD的长为半径作弧,两弧($x$轴上方部分)交于点P;
②以点P为圆心,PC的长为半径作圆;
③以CD的长为半径,在$\odot P$上顺次截取$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FA}=\overset{\frown}{AB}$;
④顺次连接DE,EF,FA,AB,BC,得到正六边形ABCDEF.
任务:
(1)根据材料,请你用无刻度的直尺和圆规,在图中完成作图过程(保留作图痕迹,不写作法);
(2)将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转$60°$,直接写出此时点A所在位置的坐标.

11.(1)如图,正六边形ABCDEF即为所求。
(2)正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转$60°$,此时点A的坐标为$(4,2\sqrt{3})$。

【分析】
第(1)问可依据题目给出的操作步骤，利用正六边形边长等于其外接圆半径的性质，按要求用尺规完成作图，保留作图痕迹即可。
第(2)问先结合已知条件求出旋转前点A的坐标，再根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，旋转角为60°，通过坐标推导即可得到旋转后点A的坐标。
【解析】
(1) 按如下步骤作图：①分别以点O、D为圆心，OD的长为半径作弧，两弧在x轴上方交于点P；②以P为圆心，PC长为半径作圆；③以CD长为半径，在⊙P上顺次截取等弧得到点B、A、F、E；④顺次连接DE、EF、FA、AB、BC，得到正六边形，保留作图痕迹。
(2) 求解坐标步骤：
① 已知$C(0,0)$，$D(2,0)$，得$CD=2$，由作图可知$△ PCD$是等边三角形，因此$P$点坐标为$(1,\sqrt{3})$，$\odot P$半径为2。
② 点A在y轴上（$x=0$），代入$\odot P$的方程$(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=4$，解得$y=2\sqrt{3}$（$y=0$对应原点舍去），即原A点坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
③ 计算$DA$的长度：$DA=\sqrt{(2-0)^2+(0-2\sqrt{3})^2}=4$。正六边形绕D顺时针旋转$60°$，则$∠ ADA'=60°$，$DA=DA'$，$△ ADA'$为等边三角形。通过向量旋转计算可得，旋转后点A的坐标为$(4,2\sqrt{3})$。
【答案】
(1) 如图,正六边形ABCDEF即为所求。
(2) $(4,2\sqrt{3})$
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，旋转的性质
【点评】
本题结合经典的六等分圆问题，综合考查了尺规作图能力、正六边形的性质以及旋转的坐标运算，需灵活运用几何性质进行推导计算。
【难度系数】
0.65