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1.正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是(
A.把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形
B.把圆n等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
C.各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形
D.用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
A
)。A.把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形
B.把圆n等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
C.各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形
D.用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
答案
1.A
解析
【分析】
拿到这道题，首先要明确题干核心：询问“将圆五等分后顺次连接分点得到正五边形”这一画法的理论依据。思考时可按以下步骤走：第一步，先拆解题干的两个关键操作：①把圆分成5等份；②顺次连接五等分点得到正五边形。第二步，逐一匹配选项，排除不符合的内容：首先排除涉及作切线的外切正多边形相关选项，因为题干没有作切线的操作；再排除正多边形定义类选项，因为定义不是借助圆画正五边形的特有依据；最后排除描述等分圆方法的选项，因为题干问的是理论依据而非方法本身，最终锁定正确选项。
【解析】
题干中的画法操作是：先将圆五等分，再顺次连接各等分点得到正五边形。我们对各选项逐一分析：
A选项：描述的是“把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形”，完全匹配题干的操作逻辑和原理，符合要求；
B选项：描述的是圆外切正n边形的画法，需要过各分点作圆的切线，题干未涉及作切线的操作，不符合题意，排除；
C选项：是正多边形的通用定义，不是这种借助等分圆画正五边形的特有理论依据，不符合题意，排除；
D选项：表述的是等分圆的一种方法，不是画法的理论依据，答非所问，排除。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆的关系；圆内接正多边形
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查正多边形和圆的对应关系，需要学生区分圆内接、外切正多边形的画法原理，明确画法与理论依据的对应关系，避免混淆概念。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先要明确题干核心：询问“将圆五等分后顺次连接分点得到正五边形”这一画法的理论依据。思考时可按以下步骤走：第一步，先拆解题干的两个关键操作：①把圆分成5等份；②顺次连接五等分点得到正五边形。第二步，逐一匹配选项，排除不符合的内容：首先排除涉及作切线的外切正多边形相关选项，因为题干没有作切线的操作；再排除正多边形定义类选项，因为定义不是借助圆画正五边形的特有依据；最后排除描述等分圆方法的选项，因为题干问的是理论依据而非方法本身，最终锁定正确选项。
【解析】
题干中的画法操作是：先将圆五等分，再顺次连接各等分点得到正五边形。我们对各选项逐一分析：
A选项：描述的是“把圆n等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形”，完全匹配题干的操作逻辑和原理，符合要求；
B选项：描述的是圆外切正n边形的画法，需要过各分点作圆的切线，题干未涉及作切线的操作，不符合题意，排除；
C选项：是正多边形的通用定义，不是这种借助等分圆画正五边形的特有理论依据，不符合题意，排除；
D选项：表述的是等分圆的一种方法，不是画法的理论依据，答非所问，排除。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆的关系；圆内接正多边形
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查正多边形和圆的对应关系，需要学生区分圆内接、外切正多边形的画法原理，明确画法与理论依据的对应关系，避免混淆概念。
【难度系数】
0.8
2.下列用尺规等分圆周说法正确的有(
①在圆上依次截取等于半径的弦,就可以六等分圆;②作相互垂直的两条直径,就可以四等分圆;③按①的方法将圆六等分,六个等分点中三个不相邻的点三等分圆;④按②的方法将圆四等分,再平分四条弧,就可以八等分圆周.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
).①在圆上依次截取等于半径的弦,就可以六等分圆;②作相互垂直的两条直径,就可以四等分圆;③按①的方法将圆六等分,六个等分点中三个不相邻的点三等分圆;④按②的方法将圆四等分,再平分四条弧,就可以八等分圆周.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查尺规等分圆周的相关判断，解题核心依据是：同圆中相等的圆心角所对的弧、弦均相等，因此只需验证每种操作得到的相邻等分点对应的圆心角是否相等、是否符合等分要求即可。我们可以逐个分析4个说法的合理性：
1. 分析①时，可结合等边三角形的性质判断弦长等于半径时对应的圆心角度数，再看360°是否能被该圆心角度数整除；
2. 分析②时，直接计算互相垂直的直径分出的圆心角度数，判断是否符合四等分要求；
3. 分析③时，先得到六等分对应的单个圆心角，再计算不相邻等分点之间的圆心角度数，判断是否符合三等分要求；
4. 分析④时，先得到四等分对应的弧的度数，平分后计算新的弧的度数，判断是否符合八等分要求。
【解析】
设圆的半径为R，圆周对应的圆心角为360°：
① 若在圆上截取弦长等于R，则该弦与两条半径构成等边三角形，相邻两个等分点对应的圆心角为60°，$360° ÷ 60° = 6$，恰好可以六等分圆，故①正确；
② 作两条互相垂直的直径，可将周角分为4个90°的圆心角，$360° ÷ 90° =4$，恰好可以四等分圆，故②正确；
③ 按①的方法六等分圆时，每个圆心角为60°，取三个不相邻的等分点，相邻两点间的圆心角为$60° × 2=120°$，$360° ÷120°=3$，恰好可以三等分圆，故③正确；
④ 按②的方法四等分圆时，每条弧的度数为90°，平分四条弧后每条弧的度数为45°，$360° ÷45°=8$，恰好可以八等分圆周，故④正确。
综上，4个说法均正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 尺规等分圆周
3. 正多边形与圆
【点评】
本题属于基础概念题，考查常见的等分圆周的尺规操作方法，解题关键是理解等分圆周的本质是等分圆心角，熟练掌握3、4、6、8等分圆的操作原理即可快速判断。
【难度系数】
0.8
本题考查尺规等分圆周的相关判断，解题核心依据是：同圆中相等的圆心角所对的弧、弦均相等，因此只需验证每种操作得到的相邻等分点对应的圆心角是否相等、是否符合等分要求即可。我们可以逐个分析4个说法的合理性：
1. 分析①时，可结合等边三角形的性质判断弦长等于半径时对应的圆心角度数，再看360°是否能被该圆心角度数整除；
2. 分析②时，直接计算互相垂直的直径分出的圆心角度数，判断是否符合四等分要求；
3. 分析③时，先得到六等分对应的单个圆心角，再计算不相邻等分点之间的圆心角度数，判断是否符合三等分要求；
4. 分析④时，先得到四等分对应的弧的度数，平分后计算新的弧的度数，判断是否符合八等分要求。
【解析】
设圆的半径为R，圆周对应的圆心角为360°：
① 若在圆上截取弦长等于R，则该弦与两条半径构成等边三角形，相邻两个等分点对应的圆心角为60°，$360° ÷ 60° = 6$，恰好可以六等分圆，故①正确；
② 作两条互相垂直的直径，可将周角分为4个90°的圆心角，$360° ÷ 90° =4$，恰好可以四等分圆，故②正确；
③ 按①的方法六等分圆时，每个圆心角为60°，取三个不相邻的等分点，相邻两点间的圆心角为$60° × 2=120°$，$360° ÷120°=3$，恰好可以三等分圆，故③正确；
④ 按②的方法四等分圆时，每条弧的度数为90°，平分四条弧后每条弧的度数为45°，$360° ÷45°=8$，恰好可以八等分圆周，故④正确。
综上，4个说法均正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 尺规等分圆周
3. 正多边形与圆
【点评】
本题属于基础概念题，考查常见的等分圆周的尺规操作方法，解题关键是理解等分圆周的本质是等分圆心角，熟练掌握3、4、6、8等分圆的操作原理即可快速判断。
【难度系数】
0.8
3.把一个圆三等分,经过三个分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的三角形,叫作这个圆的外切正三角形.若这个圆的半径为$R$,则它的外切正三角形的边长为(
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}R$
B.$R$
C.$\sqrt{3}R$
D.$2\sqrt{3}R$
D
).A.$\frac{\sqrt{3}}{2}R$
B.$R$
C.$\sqrt{3}R$
D.$2\sqrt{3}R$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先明确题中的圆是外切正三角形的内切圆，半径R为圆心到正三角形各边的距离。我们可以通过连接圆心与切点、圆心与正三角形的顶点构造直角三角形，结合切线的性质、切线长定理、正三角形的内角特点，利用直角三角形的边角关系求出正三角形的半边长，进而得到完整边长。
【解析】
设圆的圆心为$ O $，该圆的外切正三角形为$ △ ABC $，圆与$ AB $边的切点为$ D $，连接$ OB $、$ OD $。
1. 根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$ OD ⊥ AB $，且$ OD = R $。
2. 因为$ △ ABC $是正三角形，所以$ ∠ ABC = 60° $。由切线长定理可知，$ OB $平分$ ∠ ABC $，因此$ ∠ OBD = 30° $，且$ D $为$ AB $的中点。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ OBD $中，$ ∠ ODB = 90° $，$ ∠ OBD = 30° $，$ OD = R $。
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$ OB = 2OD = 2R $。
再由勾股定理计算得：$ BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{3}R $。
4. 因为$ D $是$ AB $中点，所以正三角形的边长$ AB = 2BD = 2\sqrt{3}R $。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；切线长定理；正多边形与圆
【点评】
本题是正多边形与圆相关计算的典型题型，解题核心是通过作辅助线构造特殊直角三角形，将正多边形边长、内切圆半径的关系转化为直角三角形的边角关系求解，能有效考察学生对基础定理的应用和几何作图分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题中的圆是外切正三角形的内切圆，半径R为圆心到正三角形各边的距离。我们可以通过连接圆心与切点、圆心与正三角形的顶点构造直角三角形，结合切线的性质、切线长定理、正三角形的内角特点，利用直角三角形的边角关系求出正三角形的半边长，进而得到完整边长。
【解析】
设圆的圆心为$ O $，该圆的外切正三角形为$ △ ABC $，圆与$ AB $边的切点为$ D $，连接$ OB $、$ OD $。
1. 根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$ OD ⊥ AB $，且$ OD = R $。
2. 因为$ △ ABC $是正三角形，所以$ ∠ ABC = 60° $。由切线长定理可知，$ OB $平分$ ∠ ABC $，因此$ ∠ OBD = 30° $，且$ D $为$ AB $的中点。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ OBD $中，$ ∠ ODB = 90° $，$ ∠ OBD = 30° $，$ OD = R $。
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$ OB = 2OD = 2R $。
再由勾股定理计算得：$ BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{3}R $。
4. 因为$ D $是$ AB $中点，所以正三角形的边长$ AB = 2BD = 2\sqrt{3}R $。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；切线长定理；正多边形与圆
【点评】
本题是正多边形与圆相关计算的典型题型，解题核心是通过作辅助线构造特殊直角三角形，将正多边形边长、内切圆半径的关系转化为直角三角形的边角关系求解，能有效考察学生对基础定理的应用和几何作图分析能力。
【难度系数】
0.7
4.司南(如图①)是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖.司南的中间为一圆形，如图②，圆心为O，根据八个方位将$\odot O$八等分(图②中的点A～H为八个等分点)，连接AD，AH，DG，AH与DG的延长线交于点P，则$∠ P$的度数为(
A.$60°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$30°$
C
).A.$60°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
4.C
解析
【分析】
首先，⊙O被八等分，可先求出每段等分弧的度数为$360°÷8=45°$。要求$∠ P$的度数，可结合圆周角定理和三角形外角的性质求解：先将$∠ P$转化为两个圆周角的差，再分别计算两个圆周角对应的弧的度数，代入圆周角公式即可算出结果。
【解析】
解：$\because \odot O$被点$A∼ H$八等分，
$\therefore$ 相邻两个等分点之间的弧的度数为$\frac{360°}{8}=45°$，
$\therefore$ 劣弧$AD$的度数为$3×45°=135°$，弧$HG$的度数为$45°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，可得：
$∠ AHD=\frac{1}{2}×$劣弧$AD$的度数$=\frac{1}{2}×135°=67.5°$，
$∠ HDG=\frac{1}{2}×$弧$HG$的度数$=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
$\because ∠ AHD$是$△ DPH$的外角，
$\therefore ∠ AHD=∠ P+∠ HDG$，
$\therefore ∠ P=∠ AHD-∠ HDG=67.5°-22.5°=45°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆，三角形外角性质
【点评】
本题结合古代司南的背景考查圆的相关计算，解题的关键是明确等分圆后每段弧的度数，再通过外角性质将所求角转化为圆周角的差求解，难度适中，能很好地考查学生对圆相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
首先，⊙O被八等分，可先求出每段等分弧的度数为$360°÷8=45°$。要求$∠ P$的度数，可结合圆周角定理和三角形外角的性质求解：先将$∠ P$转化为两个圆周角的差，再分别计算两个圆周角对应的弧的度数，代入圆周角公式即可算出结果。
【解析】
解：$\because \odot O$被点$A∼ H$八等分，
$\therefore$ 相邻两个等分点之间的弧的度数为$\frac{360°}{8}=45°$，
$\therefore$ 劣弧$AD$的度数为$3×45°=135°$，弧$HG$的度数为$45°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，可得：
$∠ AHD=\frac{1}{2}×$劣弧$AD$的度数$=\frac{1}{2}×135°=67.5°$，
$∠ HDG=\frac{1}{2}×$弧$HG$的度数$=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
$\because ∠ AHD$是$△ DPH$的外角，
$\therefore ∠ AHD=∠ P+∠ HDG$，
$\therefore ∠ P=∠ AHD-∠ HDG=67.5°-22.5°=45°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆，三角形外角性质
【点评】
本题结合古代司南的背景考查圆的相关计算，解题的关键是明确等分圆后每段弧的度数，再通过外角性质将所求角转化为圆周角的差求解，难度适中，能很好地考查学生对圆相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
