4.如图,一个大的正六边形,它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCDEF的中心O重合,且与边AB,CD相交于点G,H.图中阴影部分的面积记为S,三条线段GB,BC,CH的长度之和记为l,在大正六边形绕点O旋转过程中,S=,l=.

4.$2\sqrt{3},4$

【分析】
解决本题需利用正六边形的性质和旋转不变性，首先明确正六边形的核心特征：边长等于外接圆半径，中心角为60°，内角为120°。我们可以通过连接小正六边形中心O与顶点B、D，证明三角形全等，将动态的阴影面积转化为固定四边形的面积，将分散的线段GB、CH转化为固定长度的线段和，即可快速求解。
【解析】
解：连接OB、OD。
∵ 正六边形ABCDEF的中心为O，边长为2，
∴ OB=OD=2，∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，∠OBG=∠ODH=60°，BC=CD=2，
∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD=120°。
∵ 大正六边形的内角为120°，即∠GOH=120°，
∴ ∠GOH=∠BOD，两边同时减去∠BOH可得：∠BOG=∠DOH。
在△BOG和△DOH中：
$\{\begin{array}{l}∠OBG=∠ODH \\OB=OD \\∠BOG=∠DOH\end{array} $
∴ △BOG≌△DOH（ASA），
∴ BG=DH，$S_{△ BOG}=S_{△ DOH}$。
1. 求阴影面积S：
阴影部分面积$S=S_{四边形OGBCH}=S_{四边形OBCD}+S_{△ DOH}-S_{△ BOG}=S_{四边形OBCD}$。
四边形OBCD由2个边长为2的等边三角形组成，单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，
∴ $S=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
2. 求线段和l：
$l=GB+BC+CH=DH+CH+BC=CD+BC$，
代入BC=CD=2得：$l=2+2=4$。
【答案】
$2\sqrt{3},4$
【知识点】
正多边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将旋转变化和正多边形性质结合，通过全等三角形实现动态量向固定量的转化，解题核心是找到全等关系完成面积、线段和的代换，是正多边形相关的典型考题。
【难度系数】
0.6

5.如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下（第4题）
列问题：
作法如图②：①作直径AF；②以点F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连接AM，MN，NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值.

5.【解】
(1)$∵$五边形$ABCDE$是正五边形,
$∴∠ABC=180°-\frac{360°}{5}=108°$.
(2)$△AMN$是正三角形.理由如下:
如图①,连接$ON,NF$.
$∵FN=ON=OF$,
$∴△FON$是等边三角形.$∴∠NFA=60°$.
在$\odot O$中,$∠NMA=∠NFA=60°$.
同理可得$∠ANM=60°$.
$∴∠MAN=180°-∠ANM-∠AMN=60°$.
$∴△MAN$是等边三角形.
(3)如图②,连接$OD,OE$.
$∵∠AMN=60°,∴∠AON=2∠AMN=120°$.
$∵$五边形$ABCDE$是正五边形,
$∴∠AOE=∠DOE=\frac{360°}{5}=72°$.
$∴∠NOD=∠AOE+∠DOE-∠AON=72°+72°-120°=24°$.
$∴n=\frac{360°}{24°}=15$.

【分析】
(1) 求正五边形的内角，可利用正多边形外角和恒为360°的性质，先计算每个外角的度数，再根据内角与外角互补即可求出∠ABC的度数。
(2) 判断△AMN是否为正三角形，需证明三个内角均为60°：首先根据作图可知FN=FO，结合ON、OF都是⊙O的半径，可得△FON是等边三角形，得到∠NFA=60°，再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AMN=∠ANM=60°，即可推出△AMN三个内角都是60°，为正三角形。
(3) 求正n边形的n值，需要先求出DN边对应的圆心角的度数，再用圆周角360°除以该圆心角度数即可。首先根据圆周角定理求出∠AON的度数，再结合正五边形的中心角为72°，计算出∠DON的度数，最后代入公式计算n。
【解析】
(1) $∵$五边形$ABCDE$是正五边形，
$∴$正五边形每个外角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$，
$∴∠ABC=180°-72°=108°$。
(2) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
如图①，连接$ON,NF$。
由作图可知$FN=FO$，又$∵ON=OF$（都是$\odot O$的半径），
$∴FN=ON=OF$，$∴△ FON$是等边三角形，
$∴∠NFA=60°$。
在$\odot O$中，同弧$AN$所对的圆周角相等，$∴∠NMA=∠NFA=60°$，
同理可得$∠ANM=60°$，
$∴∠MAN=180°-∠ANM-∠AMN=180°-60°-60°=60°$，
$∴△ MAN$三个内角均为60°，即$△ MAN$是等边三角形。
(3) 如图②，连接$OD,OE$。
$∵∠AMN=60°$，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$∴∠AON=2∠AMN=120°$。
$∵$五边形$ABCDE$是正五边形，
$∴$正五边形的中心角$∠AOE=∠DOE=\frac{360°}{5}=72°$，
$∴∠NOD=∠AOE+∠DOE-∠AON=72°+72°-120°=24°$，
$∴n=\frac{360°}{24°}=15$。
【答案】

【知识点】
正多边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查了正多边形与圆的相关知识，结合尺规作图考查了等边三角形的判定、圆周角定理、正多边形中心角的计算等内容，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角和圆心角的关系，以及正多边形中心角的计算方法。
【难度系数】
0.65