登录
1.如图,点$P_1$~$P_8$是$\odot O$的八等分点.若$△ P_1P_3P_7$,四边形$P_3P_4P_6P_7$的周长分别为$a,b$,则下列正确的是(
A.$a＜b$
B.$a=b$
C.$a＞b$
D.$a,b$大小无法比较
A
).A.$a＜b$
B.$a=b$
C.$a＞b$
D.$a,b$大小无法比较
答案
1.A
解析
【分析】
要比较a和b的大小，首先结合八等分点的性质，得到等弧对等弦，先找到两个图形的公共边$P_3P_7$，将问题转化为比较两个图形去掉公共边后剩余边长的和。再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，比较剩余部分的大小，即可得到a和b的大小关系。
【解析】
设$\odot O$的八等分点中，相邻两点对应的弦长为$m$（1段弧对应的弦长），间隔1个点的两点对应的弦长为$n$（2段弧对应的弦长），直径长为$d$（4段弧对应的弦长）。
1. 计算$△ P_1P_3P_7$的周长$a$：
$P_1P_3$、$P_1P_7$都是2段弧对应的弦长，长度均为$n$；$P_3P_7$是直径，长度为$d$，因此：
$a = P_1P_3 + P_3P_7 + P_7P_1 = n + d + n = 2n + d$
2. 计算四边形$P_3P_4P_6P_7$的周长$b$：
$P_3P_4$、$P_6P_7$都是1段弧对应的弦长，长度均为$m$；$P_4P_6$是2段弧对应的弦长，长度为$n$；$P_3P_7$是直径，长度为$d$，因此：
$b = P_3P_4 + P_4P_6 + P_6P_7 + P_7P_3 = m + n + m + d = 2m + n + d$
3. 比较$a$和$b$的大小：
两边同时减去公共的$d$，只需比较$2n$和$2m + n$的大小，即比较$n$和$2m$的大小。
取弧$P_3P_5$的端点$P_3$、$P_5$，中间分点为$P_4$，在$△ P_3P_4P_5$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$P_3P_4 + P_4P_5 ＞ P_3P_5$，代入$P_3P_4=P_4P_5=m$、$P_3P_5=n$，得$2m ＞ n$。
因此$2m + n ＞ n + n = 2n$，两边同时加$d$得：$2m + n + d ＞ 2n + d$，即$b ＞ a$，也就是$a ＜ b$。
【答案】
A
【知识点】
弦与弧的关系；三角形三边关系；正多边形与圆
【点评】
本题考查正多边形和圆的性质应用，解题的关键是利用转化思想消去公共边，将复杂的周长比较转化为简单的弦长和比较，再结合三角形三边关系即可得出结论，避免了繁琐的弦长计算，考查了知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要比较a和b的大小，首先结合八等分点的性质，得到等弧对等弦，先找到两个图形的公共边$P_3P_7$，将问题转化为比较两个图形去掉公共边后剩余边长的和。再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，比较剩余部分的大小，即可得到a和b的大小关系。
【解析】
设$\odot O$的八等分点中，相邻两点对应的弦长为$m$（1段弧对应的弦长），间隔1个点的两点对应的弦长为$n$（2段弧对应的弦长），直径长为$d$（4段弧对应的弦长）。
1. 计算$△ P_1P_3P_7$的周长$a$：
$P_1P_3$、$P_1P_7$都是2段弧对应的弦长，长度均为$n$；$P_3P_7$是直径，长度为$d$，因此：
$a = P_1P_3 + P_3P_7 + P_7P_1 = n + d + n = 2n + d$
2. 计算四边形$P_3P_4P_6P_7$的周长$b$：
$P_3P_4$、$P_6P_7$都是1段弧对应的弦长，长度均为$m$；$P_4P_6$是2段弧对应的弦长，长度为$n$；$P_3P_7$是直径，长度为$d$，因此：
$b = P_3P_4 + P_4P_6 + P_6P_7 + P_7P_3 = m + n + m + d = 2m + n + d$
3. 比较$a$和$b$的大小：
两边同时减去公共的$d$，只需比较$2n$和$2m + n$的大小，即比较$n$和$2m$的大小。
取弧$P_3P_5$的端点$P_3$、$P_5$，中间分点为$P_4$，在$△ P_3P_4P_5$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$P_3P_4 + P_4P_5 ＞ P_3P_5$，代入$P_3P_4=P_4P_5=m$、$P_3P_5=n$，得$2m ＞ n$。
因此$2m + n ＞ n + n = 2n$，两边同时加$d$得：$2m + n + d ＞ 2n + d$，即$b ＞ a$，也就是$a ＜ b$。
【答案】
A
【知识点】
弦与弧的关系；三角形三边关系；正多边形与圆
【点评】
本题考查正多边形和圆的性质应用，解题的关键是利用转化思想消去公共边，将复杂的周长比较转化为简单的弦长和比较，再结合三角形三边关系即可得出结论，避免了繁琐的弦长计算，考查了知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图，$\odot O$的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计$\odot O$的面积，可得π的估计值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，若用圆内接正十二边形作近似估计，则可得π的估计值为(
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
C
).A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题解题核心是用圆内接正十二边形的面积近似代替圆的面积：已知圆半径为1，圆的面积为$π×1^2=π$，因此计算出半径为1的圆内接正十二边形的面积，该面积就是π的估计值。第一步先求正十二边形的中心角度数，第二步将正十二边形拆分为12个全等的等腰三角形，计算单个等腰三角形的面积，第三步乘12得到正十二边形的总面积即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径为1：
1. 计算正十二边形的中心角：正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$；
2. 正十二边形可拆分为12个腰长为1、顶角为$30°$的全等等腰三角形，单个等腰三角形的面积为：
$S_1=\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$；
3. 正十二边形的总面积为：
$S=12× S_1=12×\frac{1}{4}=3$；
用正十二边形面积近似代替圆的面积，因此π的估计值为3。
【答案】
C
【知识点】
正多边形和圆，三角形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合古代“割圆术”的数学背景，考查正多边形与圆的相关计算，解题关键是将正多边形拆分为多个等腰三角形求解面积，同时需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
本题解题核心是用圆内接正十二边形的面积近似代替圆的面积：已知圆半径为1，圆的面积为$π×1^2=π$，因此计算出半径为1的圆内接正十二边形的面积，该面积就是π的估计值。第一步先求正十二边形的中心角度数，第二步将正十二边形拆分为12个全等的等腰三角形，计算单个等腰三角形的面积，第三步乘12得到正十二边形的总面积即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径为1：
1. 计算正十二边形的中心角：正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$；
2. 正十二边形可拆分为12个腰长为1、顶角为$30°$的全等等腰三角形，单个等腰三角形的面积为：
$S_1=\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$；
3. 正十二边形的总面积为：
$S=12× S_1=12×\frac{1}{4}=3$；
用正十二边形面积近似代替圆的面积，因此π的估计值为3。
【答案】
C
【知识点】
正多边形和圆，三角形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合古代“割圆术”的数学背景，考查正多边形与圆的相关计算，解题关键是将正多边形拆分为多个等腰三角形求解面积，同时需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
3.为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数为
99
°。答案
3.99
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用正多边形内角公式计算正五边形的每个内角度数；第二步，结合正方形对角线平分内角的性质，求出对角线与边的夹角度数；第三步，找到包含所求角$∠ FME$的四边形，利用四边形内角和为$360°$的性质，减去已知三个角的度数，即可得到$∠ FME$的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正$n$边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形的每个内角度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
因此正五边形$ABCDE$中，$∠ CDE=∠ E=108°$。
2. 求正方形对角线和边的夹角：
正方形$CDFG$中，对角线$CF$平分内角$∠ BCD$，因此$∠ DCF=\frac{90°}{2}=45°$。
3. 计算$∠ FME$的度数：
四边形$CDEM$的内角和为$360°$，且$∠ CME=∠ FME$，代入已知角度计算：
$∠ FME=360°-∠ DCF-∠ CDE-∠ E$
$=360°-45°-108°-108°=99°$
【答案】
99
【知识点】
正多边形的内角计算、正方形的性质、四边形内角和
【点评】
本题属于角度计算的综合题，解题的关键是熟练掌握正多边形内角计算公式和特殊四边形的性质，准确找到包含所求角的多边形进行角度运算。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用正多边形内角公式计算正五边形的每个内角度数；第二步，结合正方形对角线平分内角的性质，求出对角线与边的夹角度数；第三步，找到包含所求角$∠ FME$的四边形，利用四边形内角和为$360°$的性质，减去已知三个角的度数，即可得到$∠ FME$的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正$n$边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形的每个内角度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
因此正五边形$ABCDE$中，$∠ CDE=∠ E=108°$。
2. 求正方形对角线和边的夹角：
正方形$CDFG$中，对角线$CF$平分内角$∠ BCD$，因此$∠ DCF=\frac{90°}{2}=45°$。
3. 计算$∠ FME$的度数：
四边形$CDEM$的内角和为$360°$，且$∠ CME=∠ FME$，代入已知角度计算：
$∠ FME=360°-∠ DCF-∠ CDE-∠ E$
$=360°-45°-108°-108°=99°$
【答案】
99
【知识点】
正多边形的内角计算、正方形的性质、四边形内角和
【点评】
本题属于角度计算的综合题，解题的关键是熟练掌握正多边形内角计算公式和特殊四边形的性质，准确找到包含所求角的多边形进行角度运算。
【难度系数】
0.7
4.如图，$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$，点$A,B,C,D,E,F$是$\odot O$的六等分点.过点$D$作$\odot O$的切线$DG$交$AE$的延长线于点$G$.若点$P$是$\odot O$上任意一点，连接$PG$，则$PG$长的最小值为________.
答案
4.$\sqrt{7}-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决本题可按以下思路推导：1. 回忆圆的性质：圆外一点到圆上所有点的最短距离，等于该点到圆心的距离减去圆的半径，因此核心是先求点G到圆心O的距离OG，再减去半径√3即可得到PG的最小值。2. 结合已知条件分析：圆被六等分，每段弧对应圆心角为60°，过切点的切线垂直于半径，可通过作辅助线构造直角三角形，结合等边三角形性质、勾股定理逐步求出OG的长度。
【解析】
1. 作辅助线：连接OD，过点O作$OH⊥ AE$于点H。
2. 求等分圆心角：$\because$点A,B,C,D,E,F是$\odot O$的六等分点，$\therefore$每段弧对应的圆心角为$360°÷6=60°$，即$∠ AOE=2×60°=120°$，$∠ DOE=60°$。
3. 解$Rt△ OEH$：$OA=OE=\sqrt{3}$，$OH⊥ AE$，$\therefore∠ EOH=\frac{1}{2}∠ AOE=60°$，
$OH=OE·\cos60°=\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$HE=OE·\sin60°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$。
4. 结合切线性质求EG：$\because$DG是$\odot O$的切线，$\therefore OD⊥ DG$，$∠ ODG=90°$。
又$OD=OE$，$∠ DOE=60°$，$\therefore△ ODE$是等边三角形，$∠ OED=60°$，$DE=OD=\sqrt{3}$。
$\because∠ OEH=90°-∠ EOH=30°$，$\therefore∠ GED=180°-∠ OED-∠ OEH=90°$，即$△ GED$是直角三角形。
$∠ GDE=∠ ODG-∠ ODE=90°-60°=30°$，在$Rt△ GED$中，$EG=DE·\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$。
5. 计算OG长度：$HG=HE+EG=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$，在$Rt△ OHG$中由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OH^2+HG^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{5}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{25}{4}}=\sqrt{7}$。
6. 求PG最小值：圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心距离减半径，因此$PG_{\mathrm{最小}}=OG-r=\sqrt{7}-\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{7}-\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与直角三角形的应用，解题关键是掌握圆外一点到圆上点最短距离的计算方法，结合等分圆的角度特征逐步推导线段长度，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
要解决本题可按以下思路推导：1. 回忆圆的性质：圆外一点到圆上所有点的最短距离，等于该点到圆心的距离减去圆的半径，因此核心是先求点G到圆心O的距离OG，再减去半径√3即可得到PG的最小值。2. 结合已知条件分析：圆被六等分，每段弧对应圆心角为60°，过切点的切线垂直于半径，可通过作辅助线构造直角三角形，结合等边三角形性质、勾股定理逐步求出OG的长度。
【解析】
1. 作辅助线：连接OD，过点O作$OH⊥ AE$于点H。
2. 求等分圆心角：$\because$点A,B,C,D,E,F是$\odot O$的六等分点，$\therefore$每段弧对应的圆心角为$360°÷6=60°$，即$∠ AOE=2×60°=120°$，$∠ DOE=60°$。
3. 解$Rt△ OEH$：$OA=OE=\sqrt{3}$，$OH⊥ AE$，$\therefore∠ EOH=\frac{1}{2}∠ AOE=60°$，
$OH=OE·\cos60°=\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$HE=OE·\sin60°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$。
4. 结合切线性质求EG：$\because$DG是$\odot O$的切线，$\therefore OD⊥ DG$，$∠ ODG=90°$。
又$OD=OE$，$∠ DOE=60°$，$\therefore△ ODE$是等边三角形，$∠ OED=60°$，$DE=OD=\sqrt{3}$。
$\because∠ OEH=90°-∠ EOH=30°$，$\therefore∠ GED=180°-∠ OED-∠ OEH=90°$，即$△ GED$是直角三角形。
$∠ GDE=∠ ODG-∠ ODE=90°-60°=30°$，在$Rt△ GED$中，$EG=DE·\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$。
5. 计算OG长度：$HG=HE+EG=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$，在$Rt△ OHG$中由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OH^2+HG^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{5}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{25}{4}}=\sqrt{7}$。
6. 求PG最小值：圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心距离减半径，因此$PG_{\mathrm{最小}}=OG-r=\sqrt{7}-\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{7}-\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与直角三角形的应用，解题关键是掌握圆外一点到圆上点最短距离的计算方法，结合等分圆的角度特征逐步推导线段长度，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
